啟蒙的符號：數學符號的誕生、演化和隱藏的力量

'探索數學符號的根源，了解數學符號的力量
一部符號簡史，跨越想像世界和經驗世界的思維演化史！

數學符號怎麼來的？沒有數學符號的世界是什麼樣子？
數學符號涉及人類文明的起源、東西文化的交融、心理學的解釋、歷史的定義，
這個人類共通的語言如何演變為今日的形式？
這些符號為我們的世界帶來何種天翻地覆的變化，讓我們得到什麼、失去什麼？

★臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 領軍翻譯
★專業報刊、著名學者、暢銷科普作家一致好評推薦！
《出版人週刊》、《華盛頓郵報》、《圖書館學期刊》、歐洲數學學會
《數字的祕密生命》作者喬治‧史皮婁（George Szpiro）
《黃金比例》作者馬里歐‧李維歐（Mario Livio）
《大腦與閱讀》作者史坦尼斯勒斯•狄漢（Stanislas Dehaene）
加州大學柏克萊分校數學家肯尼斯‧黎貝（Kenneth A. Ribet）

◎ 符號簡史

2 + 3 = 5，一個完美的數學句子，有主詞、連接詞和動詞。只要一秒就能讀懂。
儘管我們所有人都經常使用基本運算符號，例如「+」、「−」、「=」，卻很少人知道大多數的數學符號是16世紀之後才開始出現的。
在這些符號誕生之前，數學家如何進行他們的工作？
沒有符號的「數學」對現代人來說顯然難以想像，「數學語言符號化」如何改變我們的思慮？
符號是不是我們認識外在世界、建立知識的必要條件？而數學符號作為一種特殊的知識，與其他知識有什麼不同？

從數千年前的美索不達米亞平原到17世紀科學革命至今，從絲路到波斯御道，從中國到西方，本書敘述了數學符號系統發展背後引人入勝的故事，說明符號剛開始是如何被運用的，一個符號如何逐漸取代另一個符號，最終成為獨立而放諸四海皆準的語言系統。
數學作為一種符號文字，在潛意識與心理等方面深深影響我們的思考、情緒和理解。數學符號是我們在面對看不見、摸不著的「未知」探索時，唯一具有形體的依據。

從文字、縮寫到記法，數學符號的演化，是人的思維的演進。
數學符號的力量，改變我們思考這個世界的方式。

◎ 符號三部曲

本書分為三部，第一部探討「數」的歷史和它與不同語言文化的關係；第二部的主角是「代數」，從符號的角度解析數學知識與自然知識之間的關聯；第三部深究符號的力量，討論「數學」作為一門知識、一種符號文字，跟我們的心理狀態、我們生為「人」的關係。

本書作者馬祖爾是著名數學科普作家，他在書中敘述了我們的數學符號系統發展曲折詭譎的歷程，檢視過去兩百年間史學家對數系起源的爭論，詳查細究各文化中關於數的數學史和基本原理。他從修辭學乃至符號的角度推導代數的變化過程，論證在16世紀之前，多是運用書寫的方式來表述數的名稱，寫成像散文或詩一樣的文體。

他也研究了數學符號在潛意識上和心理學上對數學思考、意義、表達方式、理解力的作用，並且探究這些符號如何透過「相似」、「結合」、「恆等」、「類似」、「重複意象」來影響我們，它們如何藉由潛意識的結合推得新概念，它們如何在經驗與未知之間建立連結，還有它們如何裨益基本數學的傳達。

當數學的語言漸漸開始符號化（加減乘除、等於、無限、未知數等符號出現），脫離口語文字的束縛，也象徵了人類的抽象知識提升到一個完全不同的層次。

◎對本書的讚譽

本書極富洞察力地綜觀歷史與心智上的革命，這些革命創造了人類最有用的符號――數學式。
――史坦尼斯勒斯•狄漢（Stanislas Dehaene），《大腦與閱讀》（Reading in the Brain）作者

本書追溯塑造今日數學教學、研究和思考方式的曲折過程……馬祖爾以諧趣的筆法探究這個主題，使本書提供興味盎然的閱讀經驗。
――蓋婭‧杜娜提（Gaia Donati），《科學》雜誌（Science）

本書深入介紹數學界一則獨有特色的發展史，同時讓我們更進一步了解數學的本質。
――愛德華‧葛拉斯（Eduard Glas），《數學評論剪報》（Mathematical Reviews Clippings）

加號和等號等符號早已根深柢固，很難想像沒有這些符號的數學會是什麼樣子。
――凱文‧哈奈特（Kevin Hartnett），《波士頓環球報》（Boston Globe）

馬祖爾追溯符號如何發展及逐步取得主導地位，統合算術、代數和幾何，為我們提供隱喻，而這些隱喻的力量與詩歌的隱喻一樣強大。一段引人入勝的歷史。
――菲利普‧霍爾姆斯（Philip Holmes），《天遇》（Celestial Encounters）作者

本書充滿有趣的故事、使人著迷的資料，以及讓人欣喜的觀察，使讀者更了解數學的本質，並概觀令人驚奇的數學史。
――多明尼克‧克萊弗（Dominic Klyve），中央華盛頓大學（Central Washington University）

數學符號絕不是鬼畫符，而是深入了解一種複雜絕妙語言的敲門磚。馬祖爾在本書中帶領我們踏上驚奇之旅，探究這些符號的起源。你找不到更好的嚮導了。
――馬里歐‧李維歐（Mario Livio），《黃金比例》（The Golden Ratio）、《無解方程式》（The Equation That Couldn't Be Solved）作者

一段樂趣十足又富教育性的數學史之旅，本書描述我們現代的記法系統如何形成我們今日使用的抽象概念。這則故事重要又有趣。
――安娜‧皮耶哈伯（Anna Pierrehumbert），紐約市聖三一學院（Trinity School）

馬祖爾讓我們了解，數學記法的歷史就是人類文明史。
――肯尼斯‧黎貝（Kenneth A. Ribet），加州大學柏克萊分校數學家

富教育性又深入淺出。
――布萊恩‧羅特曼（Brian Rotman），《文學評論》（Literary Review）

敘事引人入勝……這是一部精心構思的細膩編年史，蒐羅許多奇珍異文……簡言之，極具啟發性。
――喬治‧史皮婁（George Szpiro），《自然期刊》（Nature）

馬祖爾增添了新的發現和見解，使本書更富趣味。
――《歐洲數學學會》（European Mathematical Society）

馬祖爾詳實解說在數學史中舉足輕重的數學元素。
――《圖書館學期刊》（Library Journal）

馬祖爾為讀者娓娓道來數學符號背後令人著迷的發展歷程，我們天天使用這些符號，視為理所當然。數學記法把數變成敘述――或是對門外漢來說一種神祕又難以理解的密碼。……馬祖爾生動易讀的文字將枯燥難懂的歷史轉變成趣味橫生且資訊豐富的故事。
――《出版人週刊》（Publishers Weekly）

馬祖爾追溯除號、平方根、π、指數的歷史，以及其他在認知、信息傳達和分析的脈絡中的符號史。
――《華盛頓郵報》（Washington Post）

美國馬爾波羅學院（Marlboro College）榮譽數學教授，教授課程涵蓋與數學相關的各領域，包括數學史和數學哲學。
MIT數學博士，古根漢獎助金得主（Guggenheim Fellow）。
著作包括《雨林中的歐幾里德》（Euclid in the Rainforest，入選筆會╱瑪莎•阿爾布蘭德獎﹝PEN/Martha Albrand Award﹞決選名單）、《運動悖論》（The Motion Paradox）、《運氣有什麼用？》（What’s Luck Got to do With it?）等書，致力於普及科學。
其兄長為哈佛大學著名數學教授巴瑞•馬祖爾（Barry Mazur）。

導言
定義
插圖註記

第一部 數碼
1 引人好奇的開端
2 一些古代數系
3 絲路與波斯御道
4 印度的禮物
5 抵達歐洲
6 阿拉伯的禮物
7 《計算書》
8 起源之辯

第二部 代數
9 沒有符號
10 丟番圖的《數論》
11 大技術
12 符號嬰兒期
13 羞怯的符號
14 尊嚴的階級制度
15 母音與子音
16 爆發
17 符號目錄
18 符號大師
19 最後一位魔術師

第三部 符號的力量
20 在心靈交會之處
21 優良符號
22 看不見的大猩猩
23 心智圖像
24 結語

附錄A 萊布尼茲的記法
附錄B 牛頓的xn流數
附錄C 實驗
附錄D 將複數視覺化
附錄E 四元數
謝辭

第1章
引人好奇的開端

沒有人確切知道人類從何時開始有意地留下記號來與他人溝通。可以確定的是那是在蒙昧不明的時期，成群毛猛獁無拘無束地在歐洲大陸遊蕩，各種各樣的生物循著食物和植被，從非洲平原向北分布。隨著史上最大的氣候變遷之一緩慢地結束，歐洲的冰原已消退了數世紀。多數人類族群仍分布在南亞。
五萬年前至三萬年前間，當時人類必須日復一日思索生存所需。深層的本體論思想——諸如我從哪裡來？我究竟為什麼存在？——這些只能透過語言的力量和潛在的隱喻來形塑的思想，不可能存在。儘管沒有充分發展的語言，他們必定出於我們的天性本能來訴說故事，那是一種將心靈中存留的那些圖像傳達給他人的衝動。這些圖像可能是關於暴風雨、黑暗、野獸的想像或甚至對夢境的困惑，但這些是推動語言進一步發展所需的養分。
隨著語言發展，對於活著的體驗的深思亦如是發展。20世紀傑出民俗學者坎伯（Joseph Campbell）告訴我們，人類總是「追求一種活著的體驗，使得我們對純物質層面上的生活體驗產生共鳴，那些體驗正是我們自身內心深處的存有與真實，以讓我們實實在在感受到活著的狂喜」。
人類藉由本能與智慧的某種結合，能夠在他們險峻又充滿威脅的環境中生存，正如多數哺乳動物曾做過且至今依然採行的做法，無須觸發自然的人類語言迅速發展。他們可以在沒有書寫紀錄的情況下，在沒有記號、標誌、符號或繪畫的世界，於一個口述的世界中度過嚴冬酷夏。猴子如此，馴鹿亦同。
什麼原因讓那些新石器時代的洞穴畫家著了魔似地忽視日常生活的危險，坐在那裡銘刻、塗寫或畫畫？四萬多年前，西班牙城堡洞窟（Cave of El Castillo）附近的居民把手貼在穴壁上，對著手吹顏料，大費周章地模印出手的圖案。數萬年來，人類在周遭留下有意義的記號，在樹上鑿挖，在硬泥地上留下腳印，在皮膚上刻畫，甚至在岩石上著色。
一個簡單的記號可以代表一種思想、說明一個計畫或記錄一樁歷史事件。然而，關於人類的語言和書寫最重要的事，莫過於說話者和書寫者可以從有限多組記號和符號，創造出實際上無限多組讀音、說明、觀念和想法。動物或許有自己的語言，但牠們無法從有限數量的聲音和姿態，創造出無限數量的溝通意符（signifier）。
從在岩石上著色勾勒猛獁象到字母表的誕生，書寫的發展經歷許多轉變階段。圖像是圖畫文字（picture writing）的線索，圖形文字依序變成表意文字（ideogram）的線索，依此歷經不斷修改，直到成為早期隱喻性詩歌和現代書寫的線索。「象形圖案」是與它所要表示之物相似的圖像。在亞洲，這類書寫成為現代中文和日文漢字的基礎。在今日世界，一幅刀叉圖像可以代表餐廳，劃上斜線的刀叉圖像可能是一種「表意文字」：它意指禁止飲食。象形圖案描繪了物體，而表意文字則透過相似或類比來表達意義。舉例來說，早期的中國人為了以象形圖案來表示「家」這個字，會結合代表「屋頂」的象形圖案與代表「豬」的象形圖案，創造出「家」這個字。至少有三萬年的時間，故事是透過圖像的方式來傳誦，而隨著時間推移，故事變得越來越精巧。
幾年前，一個朋友從泰國回來，送我一幅苗族刺繡「故事織布」作為禮物，那是從住在難民營的一名織布工那裡買來的。它描繪了越戰期間日常生活的故事。從那幅刺繡中，人們可以「讀懂」生命的循環。故事裡有小孩誕生、在田地裡工作、墜入愛河、婚禮和新生命——整個故事沒有用到任何書寫的文字。
象形圖案讓我們輕易了解一個簡單世界裡的簡單故事。而當講述的故事較複雜時，問題隨之產生。想像一下用象形文字來「寫」的《奧德賽》會是什麼樣子。誰能完全讀懂它？用這種方式來理解太勞心費力，對於嚴肅詩歌所蘊涵的複雜隱喻來說也很可能過於僵化。更好的做法是使用表示語音音素（phoneme）的字符，這樣才能分辨一個話語與另一個話語——a表示「ah」、b表示「be」，依此類推。
擁有文字是一回事，思考文字本身的意思完全是另一回事。寫下句子跟說出句子截然不同；它必然伴隨在社會顯著成長之後，伴隨在第一個文明發展之後，伴隨在國王和君主之後，以及伴隨在富冒險精神的部落開始漫遊到熟悉的地點之外去探險和尋求貿易的久遠時間之後。
如果你在街上問一個人，他認為文明史上最重要的發明是什麼，你可能得到眾所周知的答案：輪子。令人驚訝的是，輪子到了新石器時代晚期之前仍未出現，而且可能遲至青銅器時代早期。那大概是介於西元前6000年至西元前3500年之間。1976年在波蘭布洛諾西（Bronocice）挖掘出土的陶罐上，可發現最早描繪帶有輪子的馬車的圖畫。這個陶罐的年代可追溯至西元前約3500年至西元前3350年。但隨著那個時期新農耕文化的發展，輪子應該是顯而易見的發明——畢竟圓形的陶器和樹幹切面必定提供了極佳的線索，讓人們了解滾動的圓盤狀物體所擁有的巨大效用優勢。可以確定的是，在真正簡易的輪子出現之前，人們已經使用滾木。但輪子不只是一個滾動的圓盤，它涉及輪與軸結合相當複雜的概念。
那字母表呢？它肯定是個競爭者。我將論述如果沒有字母表或至少其他某種寫下我們口說語言的聰明做法，其他多數促進我們生活的重要發明實際上都將不復存在。誠然，那個路人或許認為，不借助滾木形式的輪子，奴隸無法建造出埃及宏偉的金字塔，而沒有輪和軸，也無法打造出這個世界上高聳的石造建物。輪子遲早會出現，但寫下我們所發出的聲音的某種形式，其重要性勝過一切。
現代的字母書寫是對口語的一種粗略模仿。在關於字母表的任何證據出現之前，就有蘇美人的圖畫文字，其中蘇美語裡的每一個音節都是用楔形筆在黏土上刻印下的獨特圖像。一開始，壓痕意指圖像上的物件與所欲傳達的文字的聲音有相同的音節。這種書寫方式與純象形文字不同。幸運的是，口說的蘇美語是一種文字由許多音節組成的語言，而且音節本身往往是具體物件的名稱。這種書寫由記號組成，每一個記號表示一個音節。舉例來說，一個拿在手中的房子圖像，可以意指「家庭」。
與蘇美圖畫文字大約同時期，埃及周邊的地中海地區使用象形文字式的圖畫文字，這種文字經歷數個轉變階段後，從圖形字符悄悄演變為一種純聲音─符號系統，最終成為某種字母形式。到了腓尼基字母表傳入時，大約西元前第一個千禧年之前的某個時間，在世界上幾乎每一個地區的眾多文化都發展出運用圖形符號（pictorial symbol）的表徵書寫（representational writing）的某種形式。這賦予那些文化直接溝通的方法，以及一種同時為未來世代留下知識紀錄的工具。
和我們今日使用的表音文字（phonetic writing）不同，表音文字裡每一個文字的符號代表口語的聲音，圖形文字是口語意義的指示物，而非聲音的指示物。然而，到了西元前第一個千禧年中葉，圖形文字被表音文字取代。
圖像可以透過它們的聲音來用以代表文字。在英文中，你可以藉由並列一隻眼睛、一隻蜜蜂和一片葉子的圖像來寫下「我相信」。象形文字裡的意義是透過脈絡來表現，就像表音文字的情況一樣。然而，表音文字至少有一個勝過圖形文字的重要優點：它所能表達的遠多於思想與理念的組合。人們或許也認為，作家可以在更自由得多的活動領域發揮，創造更豐富的隱喻。
書寫的需求來自於需要記錄記憶而非記下故事，這點並不令人意外。最早的文件是記載帳目、名字、食譜和旅程。當書寫的技藝傳播開來，書寫的理由也越來越多。人們可以想像公共建物上的塗鴉、祕密筆記和傳給其他人的神奇處方，書寫幫助人們記憶，或為人們的墓碑寫上墓誌銘。這類記憶和墓誌銘「喚起男男女女對於正是生命本身一種更深的覺察，而且它們引導我們通過從出生到死亡的種種試煉和創傷」。
剛開始，書寫是僅限於受過初等知識教育者的活動，多半是神職教派或曾受訓練的特定階級；然而，一旦建立了一些書寫標準，它的力量對口語帶來深遠的影響。來自四面八方且擁有大致相似語言、受過教育的人，很快能夠分享一種共同的書寫語言，因而確立了言辭慣例，並且在完全不同的土地和時間軸之間創造共同的經驗連結。
文明和城市的發端，與神廟的建造及神職階層的崛起，兩者具有驚人的一致性，而那些神職階層是從尋常民眾中召募優秀人員。原始農業生活慢慢納入神廟生活，從而神職帝王建立了他們的帝國。這可能是農業文化成長所帶來的結果，這種文化仰賴祭司解讀曆法，以及神廟依據曆法舉行季節性儀式。因此，祭司——神在人間的代言人——統治著最早的文明。他們的神廟是觀測站、圖書館、醫療中心、博物館和藏寶室。雖然巴比倫人在西元前1200年製作了相當大規模的星表，但早在西元前3000年，相信上天有神性的埃及祭司已標出恆星和星座。星圖涉及的複雜計算，還有土地測量和稅務，需要的不只是點算田野上羊隻所用的簡單小數目，而是更大的數目。
原始人類需求簡單。首先，計數限於非常小的數目。牧羊人不需要計數，就能知道羊群裡少了一隻羊。任何猿類都能做到這點——也就是知道族群中少了一員。知道某個東西不見了是一種質性而非量化的集合觀念。事實上，原始生活不需要任何真正的數感。沒有人需要知道數目是什麼。
但儘管如此，基於某種看來堪稱費解、不可思議的原因，人類——甚至原始人類——總是有一種奇異的能力，可認知在他們的文字可表達的數值之外的數目。今日兒童在學齡前被教導要背誦數目，以了解與數量連結的文字的意義。他們能輕易背出從1到10的數目。然而，背誦數目與了解那些數目的真正涵義並不相同。一個三歲小孩不了解「一」、「二」、「三」、「四」、「五」這些字與一隻手上的五根手指之間的一對一對應關係，或許仍能數到5。無論是發展於兒童或成人階段，這種對應關係都是成熟運用智力的一個巨大躍進。我們沒有注意到那躍進發生的時刻。在那一刻，似乎不會有任何「啊哈！」的頓悟體驗。每隻手各有五根手指這件事，似乎不會自然地讓人聯想到它與前十個數目的一對一對應關係。直到上個世紀中葉，澳洲幾個原住民部落還沒有表示數目的文字，卻可以用在沙上做記號來計數。令人好奇的是，至少在上個世紀之前，澳洲、太平洋島嶼和美洲仍有一些土著部落沒有文字可以表示四以上的數目，代表一對一點數的現代數目概念尚未發展成熟。
在東方和西方，數學書寫出現的年代都比文學早了超過千年。它甚至先於現存最古老的書寫故事《吉爾伽美什史詩》（The Epic of Gilgamesh），這首蘇美詩歌寫作的時間比《伊里亞德》早了一千多年。我們沒有直接的證據可以知道數值的書寫最早在哪裡或何時出現，正如我們沒有直接的證據可知書寫最早從哪裡或何時開始發展。有些人認為數值書寫最早期的概念源於中國人，最遠可追溯到石器時代早期。這種說法似乎令人懷疑。但這樣的說法與可追溯到西元前3400年的蘇美人楔形文字數目書寫，或多或少有些巧合，因此顯得合理。
就像在南法和西班牙西北部洞穴中發現的工藝品一樣，數目的書寫出於人類為了記錄而做的努力。世界上現存最古老的書寫紀錄之一（德國考古研究院博物館﹝German Archaeological Institute Museum﹞，編號W 19408,76+），看起來像是一道計算兩塊土地面積的練習，寫於西元前第四個千禧年晚期的某個時間。那是烏魯克城 (Uruk) 廢墟中被拿來再利用的建物石塊裡找到的一組泥板碎片，後來拼湊出這塊泥板。它的碳年代測定(ca. 3350–3200 BC)早於任何已知的書寫證據，至少早於任何一種現代學者認為在語音上與口說語言相關的書寫之前。
從歐洲到亞洲，在洞穴中發現的蘇美人刻寫在泥板上的數目書寫，已經可以找到大如10,000的數目。埃及象形文字曾用一個明確的符號來表示數目10,000。到了西元前1600年，著名萊因德紙草書中的代數問題提出一元一次方程式，除了用來標示數目的那些符號之外，方程式中沒有其他任何符號。