怎樣解題

任何領域的每一個人，都必須學會怎樣解題。
本書作者波利亞，是數學教育史上極重要的數學教育家，《怎樣解題》可說是流傳最廣、影響最深遠的代表作，自出版以來，已經影響了一代又一代的讀者。在書中，波利亞提出了解題的四大步驟，並且穿插了範例，你可以跟著波利亞的腳步，學會如何從推理與提問，直搗證明題或求解題的核心，而這樣的數學方法，對解決任何問題都有幫助。
熟讀《怎樣解題》，你就能成為思考、分析、解題的頂尖高手。

波利亞G. Polya／著
1887年生於匈牙利布達佩斯，父母為猶太人。求學時期攻讀哲學、物理、數學，在布達佩斯大學取得數學博士學位。
第一次世界大戰期間，波利亞在蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）擔任教職，於1928年升為正教授。1933年曾前往美國普林斯頓大學訪問。
1940年，由於歐陸政治情勢，被迫移民美國，1943年起獲聘為史丹福大學的教授，直到1953年榮譽退休。退休後，波利亞仍十分忙碌，除了繼續在史丹福授課，更熱心數學教育，致力研究數學問題的解題策略。
波利亞是二十世紀極重要的數學家、數學教育家。在純數學領域，他與Gabor Szego合寫了《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis）這部傑作；在數學學習及教學方面，除了《怎樣解題》，還陸續出版了《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning，共兩卷）與《數學的發現》（Mathematical Discovery，共兩卷）。

蔡坤憲／譯
東海大學物理系畢業，國立交通大學電子物理所碩士，曾在中學服務三年，任教國中理化與高中物理等科目。目前在紐西蘭懷卡托大學（University of Waikato）科學與科技教育研究中心，攻讀科學教育博士學位，研究領域為科學教育、物理教學、師資培育與教育多媒體設計；也在懷大物理系兼任助教的工作。劍道是主要的課餘興趣。
譯有《觀念物理II：轉動力學、萬有引力》、《怎樣解題》，著有《觀念物理VI：習題解答》（皆為天下文化出版）。

《怎樣解題》是很棒的書！早在多年前，當我還是個學生，第一次讀這本書的時候，我就已經知道它是本好書了，但是，我卻花了很久的時間，才真正體會這本書有多麼棒！為什麼會這樣？部分的理由，是因為這本書很特別。在我做學生與當老師的這些年裡，我從來沒有讀過另外一本書，像波利亞這本書的書名所說的，教你怎麼樣解題。荀菲爾德（A. H. Schoenfeld）1987年在美國數學協會（MAA）的期刊發表的文章〈波利亞、解題與教育〉中，正確地描述出這本書的重要性：「在數學教育以及解題的世界裡，本書為兩個時期清楚地畫下了一條界線：波利亞之前的解題活動，與波利亞之後的解題活動。」
《怎樣解題》是有史以來最成功的數學書。從1945年首次出版以來，銷售已經超過百萬冊，並譯成十七種語言（編注：根據英文版出版社的資料，已經不只十七種了）。波利亞稍後還寫了兩本關於做數學研究這門藝術的書：《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）（1954）與《數學的發現》（Mathematical Discovery）（共兩卷，1962與1965）。
這本書的書名，讓它看起來好像只是一本為學生所寫的書，但是事實上，它寫給老師的內容，並沒有比較少。誠如波利亞自己在「前言」裡所說的，本書的第一部，大部分是站在老師的觀點來寫的。
不過，每個人都因此而獲益。如果是學生來讀這本書，將會「偷聽到」波利亞對書中那位事實上並不存在的老師所給的一些建議，彷彿身旁好像真的有這麼位好老師一樣。這就是我自己讀這本書的感覺，而且很自然地，在我幾年後開始教書時，我發現自己也不斷使用那些我認為重要的建議或意見。
然而一直到不久前，我有機會重讀此書，而且在讀完之後，我忽然了解到，這本書的價值比我以前所想像的還高！我自己是學生時，波利亞所給的許多意見，感覺並不太有幫助，然而，這些意見現在卻讓我變成一位比較好的老師，知道怎麼去幫助和我遭遇不一樣問題的人。
顯然，波利亞教過的學生比我多，而他也一直很努力地在思考，在數學的學習上，怎麼樣才能對學生最有幫助。也許，他最重要的觀點是：學習必須是「主動的」。誠如他在某一堂課裡提到的：「數學，不是一門讓人用來觀賞的活動。所謂的『了解』數學，意思是要有能力去『做』數學。什麼叫作（有能力）『做』數學呢？它的第一個意義就是：有能力去解決一個數學問題。」
我們常說，若要教好某個科目，教的人懂得的「至少得跟他的學生一樣多」。對教數學來說，有一個很弔詭的事實就是：老師還得知道學生可能會產生什麼樣的誤解！如果老師講述的內容，可以用兩種以上的方式來解讀，那麼必然會導致有些學生理解到其中一種，另外的學生各有體會，極好或極糟的情形皆有。
李特伍德（J. E. Littlewood）舉了兩個有趣的例子，說明我們可能不自覺地就對假設產生誤解。首先，他提到在藍姆（Lamb）的《力學》這本書裡，對座標軸的描述（「因為Ox與Oy是二維平面，所以Oz是垂直的」）是錯誤的，因為藍姆總是蹺著腳坐在椅子上工作！其次，藍姆要求他的讀者畫一條封閉曲線，讓它完全位於某條切線的一側，然後他說，總共只有四種主要不同的可能性（垂直切線的左方或右方，水平切線的上方或下方），而且在沒有圖形解說的情形下，他假定這條封閉曲線位於它的垂直切線的右方，而不知不覺地忽略了另外三種可能性。
因應這類假定的方法，我想不出有什麼建議比波利亞的更好：在試著解題之前，學生應該要能清楚、明確地展示出自己對問題的理解；最好是有位真實的老師在眼前，否則，也要自己想像有位老師在身旁。有經驗的數學家多半知道，數學研究最難的部分，往往就是不容易很明確地了解問題究竟在說些什麼。碰到這種狀況，他們通常也都遵循波利亞的建議：「如果你不能解決眼前的問題，試著從簡單一點的問題著手：把這個問題找出來。」
各位除了可以從這本書的內容學到東西之外，應該也會從作者波利亞的生平事蹟，得到很多啟示。
喬治‧波利亞（George Polya）於1887年12月13日生於匈牙利的布達佩斯。他出生時所取的名字是György Pólya，稍後才略去這些抑音符號。父親是Jakab Pólya，母親是Anna Deutsch。由於Jakab、Anna和他們的三個小孩（Jenő、Ilona和Flóra）於前一年放棄猶太教而改信天主教，所以喬治一出生就受洗為天主教徒。他們家的第五個小孩（László）則在四年後出生。
父親Jakab在喬治出生的五年前，把姓氏從Pollák改成聽起來比較像匈牙利文的Pólya，因為他認為，這樣有助於他在大學裡找到工作。他也的確謀得大學裡的教職，但他不幸於1897年突然逝世，所以只在大學裡服務了一段很短的時間。
小波利亞在中學時期，除了匈牙利文之外，還選讀了希臘文、拉丁文與德文。有點意外的是，他當時對數學並不特別感興趣，與他在文學、地理與其他科目的「傑出」表現相比，他在幾何學方面的表現只能算是「及格」而已。在文學之外，生物學則是他最喜歡的科目。
他於1905年就讀於布達佩斯大學（University of Budapest）法律系，不過，因為覺得很無聊，所以他很快就轉系了。之後，他取得了教師證書，可以在高中教授拉丁文與匈牙利文；雖然他從來沒有使用過這張教師證書，但這卻是他一直引以為傲的一件事。他之所以最後會學習數學，是因為他的指導教授亞歷桑德（Bernát Alexander）建議他，他應該選讀一些數學與物理的課程，以幫助他在哲學上的學習。後來他曾自嘲說：「我的物理不行，哲學又太好──數學剛好在它們中間。」
波利亞在布達佩斯大學的物理老師是厄特沃什（Eötvös），數學老師是費耶（Fejér）。1910至1911學年度，他前往維也納大學，受沃廷格（Wirtinger）和梅藤斯（Mertens）兩位老師指導，隨後回到布達佩斯，取得博士學位。隨後的兩年，他大都留在哥廷根；在那裡，他結識了許多數學家，例如：克萊因（Klein）、卡拉泰奧多里（Caratheodory）、希爾伯特（Hilbert）、龍格（Runge）、蘭道（Landau）、魏爾（Weyl）、庫朗（Courant）和托普利茨（Toeplitz）。
接下來的1914年，他到巴黎訪問研究，並與皮卡（Picard）與阿達瑪（Hadamard）逐漸熟識，並得悉胡維茲（Adolf Hurwitz）幫他在蘇黎士安排了一個工作機會。他接受了這個工作機會，並在稍後寫到：「我之所以會到蘇黎士，是為了能與胡維茲就近一起工作。從我於1914年抵達蘇黎士，一直到他辭世〔1919年〕之前，有六年的時間，我們有緊密的合作關係。我對他印象非常深刻，並編輯他的許多作品。」
當然，就在此時發生了第一次世界大戰。起初，這對波利亞沒有很大的影響，因為早期的足球運動傷害，他已經申請免除從軍，但是後來戰情吃緊，需要更多的新兵加入戰場，匈牙利政府曾要求他回國從軍，為國而戰。由於他強烈的和平主義觀點，因此拒絕了政府的要求，結果導致他有一段很長的時間被禁止回國；事實上，他一直到1976年才再次回到匈牙利，距離他離開祖國，已經54年了。
在這段期間，他入了瑞士國籍，並在1918年和瑞士女孩韋伯（Stella Vera Weber）小姐結婚。在1918和1919這兩年裡，他發表了許多篇的數學論文，涵蓋了許多不同的領域，例如：級數、數論、組合數學、投票表決系統、天文學，以及機率學等。他於1920年，升等為蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）副教授。稍後幾年，他與澤果（Gábor Szegó）共同出版了《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis），在亞歷山德森（G. L. Alexanderson）和藍格（L. H. Lange）悼念波利亞而寫的傳記中，把此書描述為「確立他們大師級地位的數學傑作」。
這本書於1925年問世。之後，波利亞得到洛克斐勒獎學金（Rockefeller Fellowship）並轉往英國工作，在那裡，他與哈地（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）共同合作，成果就是稍後出版的《不等式》（Inequalities，劍橋大學出版社1936年出版）。他利用第二次的洛克斐勒獎學金，於1933年前往普林斯頓大學訪問，當他還在美國的時候，應布利區費爾德（H. F. Blichfeldt）之邀，也到史丹福大學訪問；他非常喜愛史丹福，而史丹福最後也成了他的家。從1943年起，他獲聘為史丹福大學的教授，一直到1953年退休為止，但他繼續授課到1978年，開的最後一門課是組合數學。他於1985年9月7日逝世，享年97歲。
有些讀者可能會希望知道波利亞在數學上的貢獻。他大部分的貢獻都與分析學有關，但都是非常專門的數學研究，不在數學領域裡的社會大眾，可能難以理解，不過，有些貢獻還是值得在此一提。
在機率理論裡，現在已經是公定用語的「中央極限定理」（Central Limit Theorem），就是波利亞的貢獻。此外，他也證明出機率測度的傅立葉變換是一個特徵函數，以及證明了在整數晶格中隨機漫步（random walk）的機率接近1，若且唯若其維度的最大值為2。
在幾何學上，波利亞獨立地再次列舉出17個平面結晶體群（crystallographic groups）；首次完成這項工作的人是費多羅夫（E. S. Fedorov），但他的研究工作已經失傳。波利亞還與尼格利（P. Niggli）合作，發展出這些結晶體群的記法。
在組合數學裡，波利亞的計數定理（Enumeration Theorem）現在已經成為根據對稱性來計數構形的標準方法。里德（R. C. Read）曾把這個方法描述成「一篇非凡論文中的一個非凡定理，也是組合分析（combinatorial analysis）歷史上的重要里程碑」。
《怎樣解題》是波利亞還在蘇黎士的最後一年（1940年），以德文寫成的。稍後，由於歐洲的情況，他被迫遷往美國。雖然事後證明這本書非常成功，但是在普林斯頓大學出版社於1945年出版它的英文版之前，曾遭到四家出版社的拒絕。透過普林斯頓大學出版社，《怎樣解題》迅速且持續地成為有史以來最成功的數學書籍。
（本文作者為康威（John H. Conway），英國數學家，美國普林斯頓大學馮諾伊曼數學講座教授，生命遊戲（game of life）發明人）
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英文版初版序
大發現解決大問題，然而，並不是只有大發現才有存在的價值；每一個問題的解答，都需要有某個「發現」才行。你所面臨的也許只是個小問題，但是如果它能引起你的好奇心，引發你的創造力，而且，如果你是用自己的方法來解決這個問題的，那麼，你一樣會經歷到發現過程中的緊張情緒，以及享受到最後那份「勝利」的喜悅與興奮。這一類的經驗，也許會讓年輕人培養出智性上的品味，甚至烙印在心裡，成為陪伴終生的一種性格。
因此，數學老師也就掌握了大好良機。如果他（她）在教學過程中總是讓學生不斷做些機械性的計算，那無異於扼殺了學生的興趣，阻礙了學生的智能發展，同時浪費了大好良機。但是，如果他（她）能夠掌握良機，刺激學生的好奇心，能夠因材「出題」，刺激學生思考，協助他們解決問題，如此一來，也許就能夠讓學生培養出獨立思考的愛好，也學會獨立思考的方法。
如果大專院校的學生選修的學科還包括數學的話，可以說他們掌握了一個獨特的機會。然而，學生如果將數學單純視為修滿畢業學分所需的一門學科，只要通過期末測驗就可以立刻把所學拋到腦後、忘得乾乾淨淨的話，那當然可說是坐失良機了。就算學生在數理上頗具天分，機會還是可能從指尖溜走，因為這些天賦異稟的學生也跟其他人一樣，必須花點功夫探索自己的天分，培養自己的興趣。想想看，如果沒嚐過覆盆子派，哪裡會知道自己喜不喜歡呢？
然而，學生最後可能還是會發現，數學問題也許就像填字遊戲一樣好玩，他們還可能發現解數學題時的心智活動，也可以像一場勢均力敵的網球賽一樣讓人嚮往。學生一旦嚐過了數學的愉悅之處，就很難再忘記，而這樣一來，數學就有機會在他們的生命中占有一席之地，成為他們的嗜好、未來從事專業工作時必需的工具、成為他們的專業，或幻化成他們的抱負。
筆者還記得自己的學生時代稱得上是一個有理想、有抱負的有為青年，對於數學與物理相關知識，有強烈的求知慾。他上課聽講、也多方閱讀，試圖廣納老師所教以及書本上的知識，但是有個問題卻一再困擾著他。「嗯，沒錯，這樣解題似乎行得通，看起來是正確的答案，看起來也像是事實；但是這樣的解或事實是怎麼發現的？我要怎麼樣才能夠創造這些？就算不能創造，至少能夠自己發現這些解法？」
多年後的今天，筆者於大學任教，專門教授數學；他也希望自己的眾多學生中，能有一些積極進取的學生提出雷同的問題，而他則盡量滿足他們的好奇心。他不僅試圖了解各種各樣問題的解答，還希望能了解這些解答背後的動機和過程；他還試著解釋這些動機和過程讓他人了解，而這也是促成他完成這本書的原因。他希望本書能夠為每一位想要培養學生自行解決問題能力的老師，提供一些實用的知識，也為那些想要發展自我解題能力的學生，提供實際的幫助。
儘管筆者主要是以數學系師生的需求為本書的關注點，但實際上對於每一個關心發明及發現方法的人，這本書應該都能挑起大家閱讀的興趣。而這樣的人數量之多，可能完全出乎我們的意料，我們實在不應該未經思索就草率假設。填字遊戲和各種猜謎遊戲常見於報紙或雜誌上，這情形似乎顯示了人們也挺喜愛解答一些與日常生活不直接相關、不能帶來任何物質利益的問題。如果深究這種解題的欲望，我們也許能夠推測：人們內心深處應該是有更深切的好奇心，也急於了解問題解答的方法、動機及解題過程。
後面各章節可說刻意寫得十分精確，但是盡量用淺顯易懂的方式來寫，儘管寫得簡單，仍然根據了長期而嚴謹的解題方法研究為基礎。有些作者把這樣的研究稱為「啟發法」（heuristic），這種研究現今已經不再流行，但是由來已久，也許未來還會再領風騷呢。
在研究解題方法的過程中，我們察覺到數學的另一面。是的，數學有兩面，它不僅是嚴謹的歐幾里得學，還具有其他面向。以歐幾里得的方式所呈現的數學，看起來像是一門有系統的演繹科學；然而，發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學。這兩個觀點，其實都跟數學本身的歷史一樣久遠，不過，從某個角度來說，第二個觀點顯得比較新鮮一些，因為這種「創造數學的過程」，從來沒有這樣子呈現給學生、老師或社會大眾。
「啟發法」所涵蓋的範圍，可說是五花八門；數學家、邏輯學家、心理學家、教育學家，甚至哲學家，都能在其中找到屬於他們的專精領域。筆者相當了解可能來自相反立場的批評，也很願意承認自己所知有限，在此只想說明一件事：他自己有一些解題的經驗，也有許多不同程度的數學授課經驗。
筆者也正致力於另外一本書，希望能對啟發法這門學問，作更進一步的探討。
寫於史丹福大學，1944年8月1日
________________________________________第二版序
除了一些小修正之外，這一版主要新增了第四部「問題、提示與解答」。
就在本版即將付梓之際，一份由美國教育測驗服務社（ETS）所做的研究適切地指出一些現象（參考1956年6月18日的《時代》雜誌）：「……數學很『光榮地』成為學校課程中，最不受歡迎的一個科目……未來的老師在小學裡，學會怎麼討厭數學……長大之後，他們回到學校去，教導下一代該怎麼討厭數學。」對圈內人來說，這也許不是什麼新鮮事，但的確是該讓社會大眾知道的時候了。
我希望本書的這一版，能夠更為普及，也可以讓某些讀者了解到，學習數學，除了是為將來從事工程工作或學習科學知識預作準備之外，也可以是有趣的，還可以開啟高階心智活動的大門。
寫於蘇黎士，1956年6月30日

前言 前言
本書討論的重點，主要是針對「怎樣解題」提示表中的問題與建議。在本文中，遇到從提示表中直接引用的提問或建議，會以標楷體表示。
本書的主要內容，從討論我們整理這張「提示表」的目的開始，透過實際的例題，來說明如何使用這張表，以及解釋其中的觀念與相關的思考。用比較粗淺的解釋方式，我們可以這樣說：如果妥善使用這張表，仔細思考表中的提問與建議，對你的解題工作將會很有幫助。如果你能把這張表妥善運用到你的學生身上，那麼將會有助於他們的解題工作。
本書分成四個主要部分。
第一部的標題是「在教室裡」。這部分包含了20個小節。為方便交叉索引，我們將以「第一部第1節」或簡寫成「第1節」作為它們在本書中的「地址」。第1節到第5節，討論我們整理這張提示表的「目的」。第6節到第17節，說明這張表中的「主要步驟及提示問題」，並討論本書所舉的第一個例題。第18、19、20三個小節，則是列舉「更多的範例」。
第二部的篇幅很短，標題是「怎樣解題」。它以對話的形式，模擬師生之間針對「怎樣解題」的一段簡短的對話。
第三部為「啟發法小辭典」，占了本書最主要的篇幅，收列了67則短文或詞條。例如，「啟發法」的意義，就以一篇短文來做解釋。若有需要交叉參考的地方，會標示出類似「請參閱……」的字樣。某些比較專門、比較技術性的討論，會以*號標示出來，並附注說明。有一些詞條與第一部的內容較為相關，因而會包含更多的例題或更詳盡的解釋；某些詞條的內容與第一部沒有直接的關係，而是提供一些理解解題活動所需的背景知識。
其中最主要的一則是「現代啟發法」，它解釋了所有收錄在這部小辭典中的詞條之間的關係，以及如何從提示表中，找到某個特殊項目的方法。
有一點要特別強調一下，雖然這部小辭典的內容，表面上看起來差異頗大，但是在編撰的過程中，我們確實遵循一個共同的架構，而內容本身也有相當的統一性。有幾篇較長的短文，希望對於已經有過的簡短討論，作進一步且更有系統的討論；某些短文，則是包含一些特定主題的討論；另有一些則是單純的交叉索引，或是歷史陳述或小故事、名言佳句、格言，甚至也包括了笑話。
這部小辭典不應該以瀏覽的方式閱讀，它的文字大都很簡潔，有時候則是用很精緻的文字，來表達細微的思考部分。你可以用查閱的方式，來增加對特定主題的理解。如果這些特定的主題，是來自你自身的經驗，或是你的學生的經驗，那麼閱讀起來，應該會更有收穫。
第四部的標題是「問題、提示與解答」。它為比較認真或比較願意動腦筋的讀者，多列了幾道問題。每道問題都有個「提示」，希望能在解題的過程中，提供一點幫助。最後則是「解答」。
在全書的敘述中，我們一再地用到「學生」與「老師」這樣的字眼。比較好的方式，是把這個「學生」想像成是高中生或大學生，或只是正在學數學的人。同樣地，這位「老師」可以是一位高中老師，或大學老師，或是任何一位對數學教學技巧有興趣的人。筆者有時會從學生的觀點出發，有時則是從老師的觀點出發（本書的第一部大都以此角度出發）。然而大部分的時候，特別是在本書的第三部，筆者的角色只是熱切希望解決問題的人，既非學生，也不是老師。

英文版初版序
初版第七刷序
第二版序
「怎樣解題」提示表
序　康威（John H. Conway）
前言
第一部：在教室裡
目的
第1節： 幫助學生
第2節： 提問、建議、心智活動
第3節： 普遍性第4節 常識
第5節：老師與學生、模仿與練習
主要步驟及主要提問
第6節： 四個階段
第7節： 了解問題
第8節： 例子
第9節： 擬定計畫
第10節： 例子
第11節： 執行計畫
第12節： 例子第
第13節 驗算與回顧
第14節： 例子
第15節： 不同的做法
第16節： 老師提問的方法
第17節： 好的提問與壞的提問
更多的例子
第18節： 作圖題
第19節： 證明題
第20節： 速率問題
第二部：怎樣解題 一段對話
認識問題
進一步了解問題
尋找有用的好想法
執行計畫回顧
第三部　啟發法小辭典
類比／輔助元素／輔助問題／波爾察諾／靈感／
你能驗算結果嗎？／你能用不同的方法導出這個結果嗎？／
你能運用這個結果嗎？／執行計畫／條件／矛盾／系理／
你能從已知數中找到什麼線索？／你可以把問題重述一遍嗎？／
分解與重組／定義／笛卡兒／決心、希望與成功／診斷／
你是否使用了所有的已知數？／你知道什麼相關的問題嗎？／
畫個圖／檢查你的猜測／圖形／一般化／你以前見過它嗎？／
這裡有個已經解決過的相關問題／啟發法／啟發式推理／
如果不能解決眼前的問題／歸納與數學歸納法／發明者的悖論／
這個解能否滿足所給的條件？／萊布尼茲／引理／仔細看未知數／
現代啟發法／符號與記法／帕普斯／拘泥與精通／實際的問題／
求解題與證明題／進展與成就／字謎／歸謬法與間接證法／多餘的／
例行性的問題／發現的法則／表達風格的守則／教學的守則／
把條件的各個部分分開／列方程式／進度的象徵／特殊化／潛意識的工作／
對稱／解題的術語／量綱檢驗法／未來的數學家／聰明的解題高手／
聰明的讀者／傳統的數學教授／改變問題／未知數是什麼？／
為什麼要證明？／諺語的智慧／倒推法
第四部：問題、提示、解答

第一部　在教室裡
主要步驟及主要提問
6. 四個階段
在尋求解答的過程中，我們的想法往往會一再改變，看待問題的方式與觀點，也都會一再產生變化。在剛開始解題時，我們對問題的了解可能很有限，也不完整；在有些進展以後，會對問題產生不同的了解；到了快要知道答案的時候，對問題自然又有一番新的認識。
為了方便把「提示表」上的提問和建議分門別類，做個整理，我們把解題活動分成四個主要階段：首先，我們必須要了解問題：我們必須很清楚地知道，什麼是我們要尋找的解答。第二，我們必須要了解問題裡存在的各個關係，例如已知數和未知數之間有什麼關係，並據此擬定一個計畫，來求得解答。第三，我們確實動手來執行計畫（數學計算）。最後，我們要回顧整個解答過程，驗算答案並討論它的意義。
每個階段都有它的重要性。有時候，學生也許會靈光一閃，可以跳過所有的準備步驟，直接得出解答。當然很多人都希望能有這種幸運的時光；但是相對來說，沒有人會希望，在辛辛苦苦經歷這四個階段之後，卻還是無法得出什麼好點子。最糟的情形則是，學生在了解問題之前，就匆匆動手開始計算。一般來說，在不了解問題的整體關聯，或是心裡還沒有份計畫之前，就開始從事細節的計算工作，往往是無濟於事的。此外，在執行計畫（計算）的過程中，如果學生可以一步一步地檢查，往往可以避免很多錯誤與疏失。若少了驗算，或是沒有回顧一下解答的過程，則往往無法從解題的活動中，獲得最佳的結果。
7. 了解問題
去回答一個你不了解的問題，實在是件愚蠢的事情。為了你不想得到的結果，卻又必須辛勤工作，實在很令人沮喪。不論在學校裡或學校外，這類愚蠢而又令人沮喪的事，卻經常發生。老師實在應該避免讓這類的事情，在他的課堂上發生。學生應該要了解問題，但是，光只有了解問題是不夠的，他們還應該要有份渴望或動機，希望去把解答找出來。如果學生缺乏對問題的了解或興趣，這並不全然是他們的錯；選題或出題要恰當，不要太難，也不要太簡單，並要自然而有趣，而且要有足夠的時間，來對題目做自然而有趣的說明。
首先，題目的敘述，必須是學生所能理解的。在某個程度上，老師可以檢查這點；他可以要求學生再說一次問題，學生應該可以很流利地複述出問題。學生應該也可以指出問題裡的主要部分為何：未知數、已知數和已知的條件等。所以，老師實在很難會漏掉「什麼是未知數？」「什麼是已知數？」「有哪些已知條件？」這些問題。
學生應該要很小心地、反覆地、並從不同的角度來考慮問題的主要部分。如果題目需要圖形的輔助，就畫個圖，並在圖上標示出未知數和已知數。若需要對圖裡的物件（對象）命名，就要使用適當的符號或記號；花點心思選用合適的符號，也能使我們好好思考這些符號所代表的對象本身。在這個準備階段裡，其實我們並沒有預期一個確切的答案，所需要的只是一個猜測或暫時的答案，所以還有一個可能有用的提問：這個答案能否滿足所給的條件？
本書第二部裡把「了解問題」這一階段，又細分為兩個階段：「認識問題」與「進一步了解問題」。
8. 例子
我們舉些例子，來說明前面所說的要點。我們用下面這個簡單的題目為例：已知某長方體之長、寬、高，求對角線長度？
為了要讓討論更具意義些，學生最好已經熟悉畢氏定理以及此定理在平面幾何上的一些應用，但卻不熟悉三維空間的立體幾何。老師可以從學生還不甚熟悉的空間觀念出發。
老師可以把問題「具體化」，讓它變得有趣些。教室正好是個長方體，它的長、寬、高都可以直接測量或估計出來，因此，學生必須找出或「間接測量」出教室的對角線長度。老師可以透過手勢或肢體語言，比劃出教室的長、寬、高，及其與對角線之間的關係，並在黑板上畫圖；視學生的反應，這個過程也許需要重複個幾次。
師生之間的對話，可以這麼開始：
「未知數是什麼？」
「長方體的對角線長度。」
「有哪些已知數？」
「長方體的長、寬、高。」
「請你引入適當的記號。該用什麼字母來表示未知數？」
「x。」「你會想用哪些字母來表示長、寬、高呢？」
「a、b、c。」
「a、b、c與x之間，必須滿足什麼條件？」
「x是長方體的對角線長度，長方體的長、寬、高分別是a、b、c。」
「這個問題合理嗎？我的意思是，已知的條件足以決定未知數嗎？」
「足夠了。因為如果長、寬、高（a、b、c）已知，長方體就已知。如果長方體確定了，那麼它的對角線長度也就確定了。」
9. 擬定計畫
當我們知道（或至少大概知道）需要有哪些計算、演算步驟或圖形，才能求出未知數時，我們算是已經有個解題計畫了。從了解問題，到能夠產生解題計畫，可能是個漫長而崎嶇的過程。事實上，解題過程中的最主要成就，就是構思出解題計畫。解題的想法，可能是逐漸形成的，也可能是在經歷一連串的嘗試錯誤及猶豫遲疑之後，忽然靈光一閃而找到的「靈感」。老師能給學生的最大貢獻，就是不露痕跡地幫學生找到靈感。在這一節裡，我們所要討論的提問與建議，就是如何去激發出這些靈感。
為了能夠從學生的角度想事情，老師要去思索自己在解題過程中，所遭遇過的困難與成功經驗。
當然，我們知道，如果我們對問題所知有限，是很難產生什麼好想法的。若是對問題全然無知，則根本不可能會有任何想法產生。好的想法，是建築在過去的經驗，以及所學習過的知識之上的。單純地記憶知識，是不足以製造出好的想法的；然而，完全沒有知識，卻也無法產生任何想法。就像光只有磚頭、木材等材料，是不足以蓋好一間房子的，但是，少了這些必要的建築材料，也沒辦法蓋好房子。求解數學問題所需要的基本材料，就是課堂上正式教導的數學知識，例如正式介紹過的例題，或證明過的定理。因此，一個常見的恰當提問可以是：你知道有什麼相關的問題嗎？
但是，困難的地方是，有太多的問題，都和眼前待解的問題相關，也就是說，有太多的問題，和目前的問題有共同點。如何從這麼多的問題中，挑選出一個（或少數幾個）真正有用的問題，才是關鍵所在。有個建議可以幫助我們明確地找到真正的共同點：仔細看未知數！然後試著想想，有否有什麼類似題，帶有相同或相似的未知數。
如果可以想起以前解過的某個例題，非常類似目前的問題，那很幸運！我們應該好好珍惜這份幸運，好好地利用這道例題：這是個和目前相關，而且以前已經解過的問題，你可以怎麼利用它呢？
若能好好地了解並仔細考慮前述這些提問，通常都能引導出一系列有幫助的好想法；然而，它們並非萬靈丹，偶而還是無法引導出好的想法。這時候，我們必須試著由其他的角度出發，來探索問題；此時，我們需要改變、轉化或修改原本的問題。你可以重述問題嗎？提示表中的某些提問，就是專門用來改變問題的，例如：一般化、特殊化、利用類比、除去部分條件等等，這些細節當然很重要，但是我們現在暫時無法一一深究。對題目做些修改，可能可以引導出一些適當的輔助問題：如果你無法解出眼前的問題，那麼先試著解一些相關的問題。
試著運用不同的已知問題或定理，考慮各種可能的修改方式，實驗各種不同的輔助問題，種種這些嘗試也許會讓我們偏離原來的問題，甚至完全迷失方向。然而，有個很好的提問，可以幫我們找回焦點：你是否使用了所有的已知數？你是否使用了全部的條件？
10. 例子
再回到第8節所舉的例子。此時，學生剛剛成功地對問題有初步的了解，也對解題產生了一些興趣。他們現在可能有些自己的想法或初步的計畫。
然而，如果老師在仔細的觀察之後，仍然看不出學生有任何初步的解題計畫，那麼他就必須要小心地重新開啟和學生之間的對話。他必須準備去重複一些提問，而學生可能還是無法回答這些已經稍加修改過的提問。他也必須準備好，去處理學生因為困窘而產生的沉默（我們以刪節號「……」來表示學生的靜默）。
「你可知道有什麼相關的題目嗎？」
……
「仔細看未知數！有沒有什麼其他的問題，帶有相同的未知數？」
……
「好，未知數是什麼？」
「長方體的對角線。」
「有沒有什麼類似題，帶有相同的未知數？」
「不知道，我們還沒有學過任何關於長方體對角線的問題。」
「有沒有任何一個問題，有類似的未知數？」
……
「給你一點提示，對角線是一條線段，線段是條直線。你從來沒有解過未知數是條直線的問題嗎？」
「當然有，我們解過一些類似的問題，例如求直角三角形的邊長。」
「很好，這就是一個和眼前相關的題目，而且你已經解過了。你可以把它運用到現在的題目上嗎？」
……
「你很幸運能記得一個以前解過的問題，而且和現在這個問題有關係。你想不想運用一下呢？可不可以想到什麼輔助元素，來讓以前這個問題變得有用呢？」
……
「看，你記得的問題裡有個三角形。那麼這個問題中的長方體裡是否也有個三角形呢？」
我們希望最後的這個提示已經足夠清楚，可以幫助學生想到，解題的關鍵想法，就是引進一個直角三角形（如圖1所示），而長方體的對角線就是這個三角形的斜邊。然而，老師必須有心理準備，即使這個提示已經很明顯了，但對學生來說，可能還是不夠清楚，所以老師還需要再準備一個比一個更明顯的提示才行。譬如：
「你可以在圖中，畫出一個三角形嗎？」
「你希望圖中有什麼樣的三角形呢？」
「雖然你還無法解出對角線，不過你說，你可以找出一個三角形。現在你要試著找找看嗎？」
「你可以看得到對角線嗎？它是不是三角形的某一邊呢？」
不論老師幫了多少忙，當學生終於成功地體認到，圖1的直角三角形，是解題所需的關鍵輔助元素時，老師應該可以相信，在鼓勵學生實際動手計算之前，他們已經想得夠遠了。
 
「我想，在圖上畫出三角形是個好想法。現在你有三角形了，那麼你有未知數嗎？」
「未知數是三角形的斜邊，這可以由畢氏定理算出來。」
「是的，如果直角三角形的兩股已知的話！可是這兩股是已知數嗎？」
「有一股已知，就是c。至於另外一股，我想，它並不難求出。對了！它是另外一個直角三角形的斜邊長。」
「很好！現在我已經可以看到你的解題計畫了。」
摘自《怎樣解題》第一部：在教室裡