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商品簡介
目次
商品簡介
本書是一本經典的數論名著, 取材于作者在牛津大學、劍橋大學等大學授課的講義。主要包括素數理論、無理數、費馬定理、同余式理論、連分數、用有理數逼近無理數、不定方程、二次域、算術函數、數的分劃等內容。每章章末都提供了相關的附注, 書后還附有譯者編寫的相關內容的最新進展, 便于讀者進一步學習。 本書可供數學專業高年級學生、研究生、大學老師以及對數論感興趣的專業讀者學習參考。
目次
第1章 素數(1) 1
1.1 整除性 1
1.2 素數 2
1.3 算術基本定理的表述 3
1.4 素數序列 4
1.5 關於素數的某些問題 5
1.6 若干記號 6
1.7 對數函數 8
1.8 素數定理的表述 9
本章附注 10
第2章 素數(2) 11
2.1 Euclid第二定理的第一個證明 11
2.2 Euclid方法的推論 11
2.3 某種算術級數中的素數 12
2.4 Euclid定理的第二個證明 13
2.5 Fermat數和Mersenne數 14
2.6 Euclid定理的第三個證明 16
2.7 關於素數公式的進一步結果 17
2.8 關於素數的未解決的問題 18
2.9 整數模 19
2.10 算術基本定理的證明 20
2.11 基本定理的另一個證明 21
本章附注 21
第3章 Farey數列和Minkowski定理 23
3.1 Farey數列的定義和最簡單的性質 23
3.2 兩個特徵性質的等價性 24
3.3 定理28和定理29的第一個證明 25
3.4 定理28和定理29的第二個證明 25
3.5 整數格 26
3.6 基本格的某些簡單性質 27
3.7 定理28和定理29的第三個證明 29
3.8 連續統的Farey分割 29
3.9 Minkowski定理 30
3.10 Minkowski定理的證明 32
3.11 定理37的進一步拓展 33
本章附注 35
第4章 無理數 37
4.1 概論 37
4.2 已知的無理數 38
4.3 Pythagoras定理及其推廣 38
4.4 基本定理在定理43至定理45證明中的應用 40
4.5 歷史雜談 41
4.6 sqrt5無理性的幾何證明 42
4.7 更多的無理數 43
本章附注 45
第5章 同余和剩余 47
5.1 最大公約數和最小公倍數 47
5.2 同余和剩余類 48
5.3 同余式的初等性質 49
5.4 線性同余式 50
5.5 Euler函數φ(m) 52
5.6 把定理59和定理61應用到三角和中 54
5.7 一個一般性的原理 57
5.8 正十七邊形的構造 58
本章附注 62
第6章 Fermat定理及其推論 64
6.1 Fermat定理 64
6.2 二項系數的某些性質 65
6.3 定理72的第二個證明 67
6.4 定理22的證明 67
6.5 二次剩余 68
6.6 定理79的特例：Wilson定理 70
6.7 二次剩余和非剩余的初等性質 71
6.8 a(mod m)的階 73
6.9 Fermat定理的逆定理 74
6.10 2p-1-1是否能被p2整除 75
6.11 Gauss引理和2的二次特徵 76
6.12 二次互倒律 79
6.13 二次互倒律的證明 81
6.14 素數的判定 82
6.15 Mersenne數的因子和Euler定理 84
本章附注 84
第7章 同余式的一般性質 86
7.1 同余式的根 86
7.2 整多項式和恆等同余式 86
7.3 多項式(mod m)的整除性 88
7.4 素數模同余式的根 88
7.5 一般定理的某些應用 90
7.6 Fermat定理和Wilson定理的Lagrange證明 92
7.7 [1/2( p–1)]!的剩余 93
7.8 Wolstenholme定理 94
7.9 von Staudt定理 95
7.10 von Staudt定理的證明 97
本章附注 99
第8章 復合模的同余式 100
8.1 線性同余式 100
8.2 高次同余式 102
8.3 素數冪模的同余式 102
8.4 例子 104
8.5 Bauer的恆等同余式 105
8.6 Bauer的同余式：p=2的情形 107
8.7 Leudesdorf的一個定理 108
8.8 Bauer定理的進一步的推論 110
8.9 2p-1和(p-1)!關於模p2的同余式 112
本章附注 114
第9章 用十進制小數表示數 115
9.1 與給定的數相伴的十進制小數 115
9.2 有限小數和循環小數 118
9.3 用其他進位制表示數 119
9.4 用小數定義無理數 120
9.5 整除性判別法 122
9.6 有最大周期的十進制小數 122
9.7 Bachet的稱重問題 123
9.8 Nim博弈 125
9.9 缺失數字的整數 127
9.10 測度為零的集合 128
9.11 缺失數字的十進制小數 130
9.12 正規數 131
9.13 幾乎所有的數都是正規數的證明 133
本章附注 136
第10章 連分數 137
10.1 有限連分數 137
10.2 連分數的漸近分數 138
10.3 商為正的連分數 139
10.4 簡單連分數 140
10.5 用簡單連分數表示不可約有理分數 141
10.6 連分數算法和Euclid算法 143
10.7 連分數與其漸近分數的差 145
10.8 無限簡單連分數 147
10.9 用無限連分數表示無理數 148
10.10 一個引理 150
10.11 等價的數 151
10.12 周期連分數 154
10.13 某些特殊的二次根式 156
10.14 Fibonacci數列和Lucas數列 158
10.15 用漸近分數作逼近 161
本章附注 165
第11章 用有理數逼近無理數 166
11.1 問題的表述 166
11.2 問題的推廣 167
11.3 Dirichlet的一個論證方法 168
11.4 逼近的階 170
11.5 代數數和超越數 171
11.6 超越數的存在性 172
11.7 Liouville定理和超越數的構造 173
11.8 對任意無理數的最佳逼近的度量 175
11.9 有關連分數的漸近分數的另一個定理 176
11.10 具有有界商的連分數 177
11.11 有關逼近的進一步定理 180
11.12 聯立逼近 182
11.13 e的超越性 182
11.14 π的超越性 186
本章附注 189
第12章 k(1), k(i), k(p)zhongde算術基本定理
12.1 代數數和代數整數 191
12.2 有理整數、Gauss整數和k(p)中的整數 191
12.3 Euclid算法 193
12.4 將Euclid算法應用到k(1)中的基本定理 193
12.5 關於Euclid算法和基本定理的歷史注釋 195
12.6 Gauss整數的性質 195
12.7 k(i)中的素元 197
12.8 k(i)中的算術基本定理 199
12.9 k(p)中的整數 201
本章附注 204
第13章 某些Diophantus方程 205
13.1 Fermat大定理 205
13.2 方程x2+y2=z2 205
13.3 方程x4+y4=z4 206
13.4 方程x3+y3=z3 208
13.5 方程x3+y3=3z3 211
13.6 用有理數的三次冪之和表示有理數 213
13.7 方程x3+y3+z3=t3 215
本章附注 218
第14章 二次域(1) 220
14.1 代數數域 220
14.2 代數數和代數整數, 本原多項式 221
14.3 一般的二次域k(√m 222
14.4 單位和素元 223
14.5 k(√2）中的單位 225
14.6 基本定理不成立的數域 227
14.7 復Euclid域 228
14.8 實Euclid域 230
14.9 實Euclid域(續) 232
本章附注 234
第15章 二次域(2) 235
15.1 k(i)中的素元 235
15.2 k(i)中的Fermat定理 236
15.3 k(o)中的素元 237
15.4 k(sqrt 2)和k(sqrt 5)中的素元 238
15.5 Mersenne數M4n+3的素性的Lucas判別法 241
15.6 二次域算術上的一般性注釋 243
15.7 二次域中的理想 244
15.8 其他的域 247
本章附注 248
第16章 算術函數φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n) 249
16.1 函數φ(n) 249
16.2 定理63的進一步證明 250
16.3 M\oius函數 250
16.4 Moius反轉公式 252
16.5 進一步的反轉公式 253
16.6 Ramanujan和的估計 253
16.7 函數d(n)和σk(n) 255
16.8 完全數 256
16.9 函數r(n) 257
16.10 r(n)公式的證明 258
本章附注 259
第17章 算術函數的生成函數 261
17.1 由Dirichlet級數生成算術函數 261
17.2 ζ函數 262
17.3 ζ(s)在s→1時的性狀 263
17.4 Dirichlet級數的乘法 265
17.5 某些特殊算術函數的生成函數 267
17.6 Moius公式的解析說明 268
17.7 函數A\(n) 271
17.8 生成函數的進一步例子 273
17.9 r(n)的生成函數 274
17.10 其他類型的生成函數 275
本章附注 277
第18章 算術函數的階 279
18.1 d(n)的階 279
18.2 d(n)的平均階 282
18.3 σ(n)的階 285
18.4 φ(n)的階 286
18.5 φ(n)的平均階 287
18.6 無平方因子數的個數 288
18.7 r(n)的階 289
本章附注 291
第19章 分劃 292
19.1 加性算術的一般問題 292
19.2 數的分劃 292
19.3 p(n)的生成函數 293
19.4 其他的生成函數 295
19.5 Euler的兩個定理 296
19.6 進一步的代數恆等式 298
19.7 F(x)的另一個公式 299
19.8 Jacobi定理 300
19.9 Jacobi恆等式的特例 302
19.10 定理353的應用 304
19.11 定理358的初等證明 305
19.12 p(n)的同余性質 306
19.13 Rogers-Ramanujan恆等式 308
19.14 定理362和定理363的證明 310
19.15 Ramanujan連分數 312
本章附注 314
第20章 用兩個或四個平方和表示數 316
20.1 Waring問題：數g(k)和G(k) 316
20.2 平方和 317
20.3 定理366的第二個證明 318
20.4 定理366的第三個和第四個證明 319
20.5 四平方定理 320
20.6 四元數 322
20.7 關於整四元數的預備定理 324
20.8 兩個四元數的最高右公約數 326
20.9 素四元數和定理370的證明 327
20.10 g(2)和G(2)的值 329
20.11 定理369的第三個證明的引理 329
20.12 定理369的第三個證明：表法個數 330
20.13 用多個平方和表示數 333
本章附注 334
第21章 用立方數以及更高次冪,表示數 336
21.1 四次冪 336
21.2 三次冪：G(3)和g(3)的存在性 337
21.3 g(3)的界 338
21.4 更高次冪 339
21.5 g(k)的一個下界 340
21.6 G(k)的下界 341
21.7 受符號影響的和：數v(k) 344
21.8 v(k)的上界 345
21.9 Prouhet-Tarry問題：數P(k,j) 347
21.10 對特殊的k和j, P(k,j)的估計 349
21.11 Diophantus分析的進一步問題 351
本章附注 354
第22章 素數(3) 360
22.1 函數θ(x)和ψ(x) 360
22.2 θ(x)和ψ(x)的階為x的證明 361
22.3 Bertrand假設和一個關於素數的“公式” 363
22.4 定理7和定理9的證明 366
22.5 兩個形式變換 367
22.6 一個重要的和 368
22.7 ∑p-1與∏(1–p-1) 370
22.8 Mertens定理 372
22.9 定理323和定理328的證明 374
22.10 n的素因子個數 376
22.11 ω(n)和Ω(n)的正規階 377
22.12 關於圓整數的一個注解 379
22.13 d(n)的正規階 380
22.14 Selberg定理 381
22.15 函數R(x)和V(ξ) 383
22.16 定理434、定理6和定理8證明的完成 386
22.17 定理335的證明 389
22.18 k個素因子的乘積 389
22.19 區間中的素數 392
22.20 關於素數對p,p+2分布的一個猜想 393
本章附注 395
第23章 Kronecker定理 397
23.1 一維的Kronecker定理 397
23.2 一維定理的證明 398
23.3 反射光線的問題 400
23.4 一般定理的表述 402
23.5 定理的兩種形式 403
23.6 一個例證 405
23.7 Kronecker定理的Lettenmeyer證明 405
23.8 Kronecker定理的Estermann證明 407
23.9 Kronecker定理的Bohr證明 409
23.10 一致分布 411
本章附注 413
第24章 數的幾何 414
24.1 基本定理的導引和重新表述 414
24.2 簡單的應用 415
24.3 定理448的算術證明 417
24.4 最佳不等式 419
24.5 關於ξ2+ξ2的最佳不等式 420
24.6 關於ξ2+η2 的最佳不等式 421
24.7 關於非齊次型的一個定理 423
24.8 定理455的算術證明 425
24.9 Tchebotaref定理 426
24.10 Minkowski定理(定理446)的逆定理 428
本章附注 432
附錄 436
參考書目 438
特殊符號以及術語索引 441
常見人名對照表 444
總索引 446
補遺 457
1.1 整除性 1
1.2 素數 2
1.3 算術基本定理的表述 3
1.4 素數序列 4
1.5 關於素數的某些問題 5
1.6 若干記號 6
1.7 對數函數 8
1.8 素數定理的表述 9
本章附注 10
第2章 素數(2) 11
2.1 Euclid第二定理的第一個證明 11
2.2 Euclid方法的推論 11
2.3 某種算術級數中的素數 12
2.4 Euclid定理的第二個證明 13
2.5 Fermat數和Mersenne數 14
2.6 Euclid定理的第三個證明 16
2.7 關於素數公式的進一步結果 17
2.8 關於素數的未解決的問題 18
2.9 整數模 19
2.10 算術基本定理的證明 20
2.11 基本定理的另一個證明 21
本章附注 21
第3章 Farey數列和Minkowski定理 23
3.1 Farey數列的定義和最簡單的性質 23
3.2 兩個特徵性質的等價性 24
3.3 定理28和定理29的第一個證明 25
3.4 定理28和定理29的第二個證明 25
3.5 整數格 26
3.6 基本格的某些簡單性質 27
3.7 定理28和定理29的第三個證明 29
3.8 連續統的Farey分割 29
3.9 Minkowski定理 30
3.10 Minkowski定理的證明 32
3.11 定理37的進一步拓展 33
本章附注 35
第4章 無理數 37
4.1 概論 37
4.2 已知的無理數 38
4.3 Pythagoras定理及其推廣 38
4.4 基本定理在定理43至定理45證明中的應用 40
4.5 歷史雜談 41
4.6 sqrt5無理性的幾何證明 42
4.7 更多的無理數 43
本章附注 45
第5章 同余和剩余 47
5.1 最大公約數和最小公倍數 47
5.2 同余和剩余類 48
5.3 同余式的初等性質 49
5.4 線性同余式 50
5.5 Euler函數φ(m) 52
5.6 把定理59和定理61應用到三角和中 54
5.7 一個一般性的原理 57
5.8 正十七邊形的構造 58
本章附注 62
第6章 Fermat定理及其推論 64
6.1 Fermat定理 64
6.2 二項系數的某些性質 65
6.3 定理72的第二個證明 67
6.4 定理22的證明 67
6.5 二次剩余 68
6.6 定理79的特例：Wilson定理 70
6.7 二次剩余和非剩余的初等性質 71
6.8 a(mod m)的階 73
6.9 Fermat定理的逆定理 74
6.10 2p-1-1是否能被p2整除 75
6.11 Gauss引理和2的二次特徵 76
6.12 二次互倒律 79
6.13 二次互倒律的證明 81
6.14 素數的判定 82
6.15 Mersenne數的因子和Euler定理 84
本章附注 84
第7章 同余式的一般性質 86
7.1 同余式的根 86
7.2 整多項式和恆等同余式 86
7.3 多項式(mod m)的整除性 88
7.4 素數模同余式的根 88
7.5 一般定理的某些應用 90
7.6 Fermat定理和Wilson定理的Lagrange證明 92
7.7 [1/2( p–1)]!的剩余 93
7.8 Wolstenholme定理 94
7.9 von Staudt定理 95
7.10 von Staudt定理的證明 97
本章附注 99
第8章 復合模的同余式 100
8.1 線性同余式 100
8.2 高次同余式 102
8.3 素數冪模的同余式 102
8.4 例子 104
8.5 Bauer的恆等同余式 105
8.6 Bauer的同余式：p=2的情形 107
8.7 Leudesdorf的一個定理 108
8.8 Bauer定理的進一步的推論 110
8.9 2p-1和(p-1)!關於模p2的同余式 112
本章附注 114
第9章 用十進制小數表示數 115
9.1 與給定的數相伴的十進制小數 115
9.2 有限小數和循環小數 118
9.3 用其他進位制表示數 119
9.4 用小數定義無理數 120
9.5 整除性判別法 122
9.6 有最大周期的十進制小數 122
9.7 Bachet的稱重問題 123
9.8 Nim博弈 125
9.9 缺失數字的整數 127
9.10 測度為零的集合 128
9.11 缺失數字的十進制小數 130
9.12 正規數 131
9.13 幾乎所有的數都是正規數的證明 133
本章附注 136
第10章 連分數 137
10.1 有限連分數 137
10.2 連分數的漸近分數 138
10.3 商為正的連分數 139
10.4 簡單連分數 140
10.5 用簡單連分數表示不可約有理分數 141
10.6 連分數算法和Euclid算法 143
10.7 連分數與其漸近分數的差 145
10.8 無限簡單連分數 147
10.9 用無限連分數表示無理數 148
10.10 一個引理 150
10.11 等價的數 151
10.12 周期連分數 154
10.13 某些特殊的二次根式 156
10.14 Fibonacci數列和Lucas數列 158
10.15 用漸近分數作逼近 161
本章附注 165
第11章 用有理數逼近無理數 166
11.1 問題的表述 166
11.2 問題的推廣 167
11.3 Dirichlet的一個論證方法 168
11.4 逼近的階 170
11.5 代數數和超越數 171
11.6 超越數的存在性 172
11.7 Liouville定理和超越數的構造 173
11.8 對任意無理數的最佳逼近的度量 175
11.9 有關連分數的漸近分數的另一個定理 176
11.10 具有有界商的連分數 177
11.11 有關逼近的進一步定理 180
11.12 聯立逼近 182
11.13 e的超越性 182
11.14 π的超越性 186
本章附注 189
第12章 k(1), k(i), k(p)zhongde算術基本定理
12.1 代數數和代數整數 191
12.2 有理整數、Gauss整數和k(p)中的整數 191
12.3 Euclid算法 193
12.4 將Euclid算法應用到k(1)中的基本定理 193
12.5 關於Euclid算法和基本定理的歷史注釋 195
12.6 Gauss整數的性質 195
12.7 k(i)中的素元 197
12.8 k(i)中的算術基本定理 199
12.9 k(p)中的整數 201
本章附注 204
第13章 某些Diophantus方程 205
13.1 Fermat大定理 205
13.2 方程x2+y2=z2 205
13.3 方程x4+y4=z4 206
13.4 方程x3+y3=z3 208
13.5 方程x3+y3=3z3 211
13.6 用有理數的三次冪之和表示有理數 213
13.7 方程x3+y3+z3=t3 215
本章附注 218
第14章 二次域(1) 220
14.1 代數數域 220
14.2 代數數和代數整數, 本原多項式 221
14.3 一般的二次域k(√m 222
14.4 單位和素元 223
14.5 k(√2）中的單位 225
14.6 基本定理不成立的數域 227
14.7 復Euclid域 228
14.8 實Euclid域 230
14.9 實Euclid域(續) 232
本章附注 234
第15章 二次域(2) 235
15.1 k(i)中的素元 235
15.2 k(i)中的Fermat定理 236
15.3 k(o)中的素元 237
15.4 k(sqrt 2)和k(sqrt 5)中的素元 238
15.5 Mersenne數M4n+3的素性的Lucas判別法 241
15.6 二次域算術上的一般性注釋 243
15.7 二次域中的理想 244
15.8 其他的域 247
本章附注 248
第16章 算術函數φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n) 249
16.1 函數φ(n) 249
16.2 定理63的進一步證明 250
16.3 M\oius函數 250
16.4 Moius反轉公式 252
16.5 進一步的反轉公式 253
16.6 Ramanujan和的估計 253
16.7 函數d(n)和σk(n) 255
16.8 完全數 256
16.9 函數r(n) 257
16.10 r(n)公式的證明 258
本章附注 259
第17章 算術函數的生成函數 261
17.1 由Dirichlet級數生成算術函數 261
17.2 ζ函數 262
17.3 ζ(s)在s→1時的性狀 263
17.4 Dirichlet級數的乘法 265
17.5 某些特殊算術函數的生成函數 267
17.6 Moius公式的解析說明 268
17.7 函數A\(n) 271
17.8 生成函數的進一步例子 273
17.9 r(n)的生成函數 274
17.10 其他類型的生成函數 275
本章附注 277
第18章 算術函數的階 279
18.1 d(n)的階 279
18.2 d(n)的平均階 282
18.3 σ(n)的階 285
18.4 φ(n)的階 286
18.5 φ(n)的平均階 287
18.6 無平方因子數的個數 288
18.7 r(n)的階 289
本章附注 291
第19章 分劃 292
19.1 加性算術的一般問題 292
19.2 數的分劃 292
19.3 p(n)的生成函數 293
19.4 其他的生成函數 295
19.5 Euler的兩個定理 296
19.6 進一步的代數恆等式 298
19.7 F(x)的另一個公式 299
19.8 Jacobi定理 300
19.9 Jacobi恆等式的特例 302
19.10 定理353的應用 304
19.11 定理358的初等證明 305
19.12 p(n)的同余性質 306
19.13 Rogers-Ramanujan恆等式 308
19.14 定理362和定理363的證明 310
19.15 Ramanujan連分數 312
本章附注 314
第20章 用兩個或四個平方和表示數 316
20.1 Waring問題：數g(k)和G(k) 316
20.2 平方和 317
20.3 定理366的第二個證明 318
20.4 定理366的第三個和第四個證明 319
20.5 四平方定理 320
20.6 四元數 322
20.7 關於整四元數的預備定理 324
20.8 兩個四元數的最高右公約數 326
20.9 素四元數和定理370的證明 327
20.10 g(2)和G(2)的值 329
20.11 定理369的第三個證明的引理 329
20.12 定理369的第三個證明：表法個數 330
20.13 用多個平方和表示數 333
本章附注 334
第21章 用立方數以及更高次冪,表示數 336
21.1 四次冪 336
21.2 三次冪：G(3)和g(3)的存在性 337
21.3 g(3)的界 338
21.4 更高次冪 339
21.5 g(k)的一個下界 340
21.6 G(k)的下界 341
21.7 受符號影響的和：數v(k) 344
21.8 v(k)的上界 345
21.9 Prouhet-Tarry問題：數P(k,j) 347
21.10 對特殊的k和j, P(k,j)的估計 349
21.11 Diophantus分析的進一步問題 351
本章附注 354
第22章 素數(3) 360
22.1 函數θ(x)和ψ(x) 360
22.2 θ(x)和ψ(x)的階為x的證明 361
22.3 Bertrand假設和一個關於素數的“公式” 363
22.4 定理7和定理9的證明 366
22.5 兩個形式變換 367
22.6 一個重要的和 368
22.7 ∑p-1與∏(1–p-1) 370
22.8 Mertens定理 372
22.9 定理323和定理328的證明 374
22.10 n的素因子個數 376
22.11 ω(n)和Ω(n)的正規階 377
22.12 關於圓整數的一個注解 379
22.13 d(n)的正規階 380
22.14 Selberg定理 381
22.15 函數R(x)和V(ξ) 383
22.16 定理434、定理6和定理8證明的完成 386
22.17 定理335的證明 389
22.18 k個素因子的乘積 389
22.19 區間中的素數 392
22.20 關於素數對p,p+2分布的一個猜想 393
本章附注 395
第23章 Kronecker定理 397
23.1 一維的Kronecker定理 397
23.2 一維定理的證明 398
23.3 反射光線的問題 400
23.4 一般定理的表述 402
23.5 定理的兩種形式 403
23.6 一個例證 405
23.7 Kronecker定理的Lettenmeyer證明 405
23.8 Kronecker定理的Estermann證明 407
23.9 Kronecker定理的Bohr證明 409
23.10 一致分布 411
本章附注 413
第24章 數的幾何 414
24.1 基本定理的導引和重新表述 414
24.2 簡單的應用 415
24.3 定理448的算術證明 417
24.4 最佳不等式 419
24.5 關於ξ2+ξ2的最佳不等式 420
24.6 關於ξ2+η2 的最佳不等式 421
24.7 關於非齊次型的一個定理 423
24.8 定理455的算術證明 425
24.9 Tchebotaref定理 426
24.10 Minkowski定理(定理446)的逆定理 428
本章附注 432
附錄 436
參考書目 438
特殊符號以及術語索引 441
常見人名對照表 444
總索引 446
補遺 457
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