數學解題策略問題解答（簡體書）

《數學解題策略問題解答》給出了朱華偉、錢展望編著的《數學解題策略》中全部習題的詳解，有的給出了多種解法。這些習題的解答幾乎涵蓋了數學競賽中所有的解題策略。本書對部分習題還做了點評。這些習題的點評不拘形式，或是問題的引申和推廣，或是類題、似題的分析比較，或是問題的多種解法，或是試題的來源、背景。點評的目的是使讀者開闊眼界，加深對問題的理解，培養舉一反三的能力。 《數學解題策略問題解答》可供高中數學資優生、準備參加高中數學競賽的選手、中學數學教師、高等師範院校數學教育專業本科生、研究生及高師院校數學教師，數學愛好者及數學研究工作者參考。

博士，研究員。 廣州大學計算機教育軟件所所長，湖北省十大傑出青年，享受國務院政府特殊津貼。 國際中小學生數學能力評估學術委員會執行主任，中國教育數學學會常務副理事長，中國數學會奧林匹克委員會委員，全國華羅庚金杯賽主試委員，國家隊教練。培養多名選手獲國際金牌。 2009年任第50屆國際數學奧林匹克中國國家隊領隊、主教練，取得團體總分第一名，6名選手全部獲得金牌

本書是針對朱華偉、錢展望編著的《數學解題策略》所編寫的一本習題指導書。《數學解題策略》的前24章介紹了24種數學解題策略，它們分別是歸納與猜想、數學歸納法、枚舉與篩選、整數的表示方法、邏輯類分法、從整體上看問題、化歸、退中求進、類比與猜想、反證法、構造法、極端原理、局部調整法、夾逼、數形結合、復數與向量、變量代換法、奇偶分析、算兩次、對應與配對、遞推方法、抽屜原理、染色與賦值、不變量原理，這幾乎涵蓋了數學競賽中所有的解題策略。

張景中談奧數
前言
第1章 觀察、歸納與猜想
1.1 問題
1.2 解答
第2章 數學歸納法
2.1 問題
2.2 解答
第3章 枚舉與篩選
3.1 問題
3.2 解答
第4章 整數的表示方法
4.1 問題
4.2 解答
第5章 邏輯類分法
5.1 問題
5.2 解答
第6章 從整體上看問題
6.1 問題
6.2 解答
第7章 化歸
7.1 問題
7.2 解答
第8章 退中求進
8.1 問題
8.2 解答
第9章 類比與猜想
9.1 問題
9.2 解答
第10章 反證法
10.1 問題
10.2 解答
第11章 構造法
11.1 問題
11.2 解答
第12章 極端原理
12.1 問題
12.2 解答
第13章 局部調整法
13.1 問題
13.2 解答
第14章 夾逼
14.1 問題
14.2 解答
第15章 數形結合
15.1 問題
15.2 解答
第16章 復數與向量
16.1 問題
16.2 解答
第17章 變量代換法
17.1 問題
17.2 解答
第18章 奇偶分析
18.1 問題
18.2 解答
第19章 算兩次
19.1 問題
19.2 解答
第20章 對應與配對
20.1 問題
20.2 解答
第21章 遞推方法
21.1 問題
21.2 解答
第22章 抽屜原理
22.1 問題
22.2 解答
第23章 染色和賦值
23.1 問題
23.2 解答
第24章 不變量原理
24.1 問題
24.2 解答

第1章 觀察、歸納與猜想 1.1 問題 （2）推斷一個平面圖的頂點數、邊數、區域數之間有什么關系. （3）現已知某個平面圖有999個頂點，且圍成了999個區域，試根據以上關 系確定這個圖有多少條邊. 2.角谷猜想. 任取一個大于2的自然數，反復進行下述兩種運算： （1）若是奇數，就將該數乘以3再加上1； （2）若是偶數，則將該數除以2. 例如，對3反復進行這樣的運算，有 3→10→5→16→8→4→2→1， 對4，5，6反復進行上述運算，其最終結果也都是1，再對7進行這樣的運算，有 7→22→11→34→17→52→26→13 →40→20→10→5→16→8→4→2→1. 運用歸納推理建立猜想（通常稱為“角谷猜想”）：. 3.設f（x）＝x2+x+11，取x＝1，2，3，.，9，則 f（1）＝13，f（2）＝17，f（3）＝23， f（4）＝31，f（5）＝41，f（6）＝53， f（7）＝67，f（8）＝83，f（9）＝101. 可以看出，這些值都是素數.從這些特殊情況是否可以歸納出：對一切自然數 x，f（x）＝x2+x+11的值都是素數. 4.一個直角三角形的三邊長都是正整數，這樣的直角三角形稱為整數勾股 形，其三邊的值叫做勾股弦三數組，下面給出一些勾股弦三數組（勾，股，弦）： （3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）， （20，21，29），（360，319，481），（2400，1679，2929），.. 觀察這些勾股弦三數組，請你歸納一個猜想，并加以證明. 5.依次取三角形數的末位數字，排列起來可以構造一個無限小數 N＝0.1360518.， 試證明N是有理數. 6.整數a，b，c表示三角形三邊的長，其中a?b?c，試問當b＝n（n是正 整數）時，這樣的三角形有幾個？ 7.在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一 點，這些直線能把平面分成幾部分？ 8.n個平面，最多把空間分成幾個部分？ 9.在平面上畫n個三角形，問： （1）最多能將這個平面分成多少塊？ （2）最多能有多少個交點（包括這些三角形的頂點在內）？ 10.要用天平稱出從1克，2克，3克，.，40克這些不同的整數克質量，至 少要用多少個砝碼？這些砝碼的質量分別是多少？ 11.一條直徑將圓周分成兩個半圓周，在每個分點標上素數p；第二次將兩 個半圓周的每一個分成兩個相等的1/4 圓周，在新產生的分點標上相鄰兩數和 的1/2；第三次將四個1/4 圓周的每一個分成兩個相等的1/8 圓周，在新產生的分 點標上其相鄰兩數和的1/3 ；第四次將八個1/8 圓周的每一個分成兩個相等的1/16 圓周，在新產生的分點標上其相鄰兩數和的1/4 ，如此進行了n次，最后，圓周上 的所有數字之和為17170，求n和p的值各為多少？ 12.計算：C0n-C1n-1+C2n-2-C3n-3+.. 13.正整數數列｛an｝滿足：a1＝1，an+1＝an-n，an＞n， an+n，an?n. （1）求a2008； （2）求最小的正整數n，使an＝2008. 14.證明：存在8個連續的正整數，它們中的任何一個都不能表示為 7x2+9xy-5y2 的形式，其中x，y?Z. 1.2 解答 1. （2）由表1-2可以看出，所給四個平面圖的頂點數、邊數及區域數之間有下 述關系： 4+3-6＝1，8+5-12＝1， 6+4-9＝1，10+6-15＝1. 所以可以推斷：任何平面圖的頂點數、邊數及區域數之間，都有下述關系： 頂點數+區域數-邊數＝1. （3）由上面所給的關系，可知所求平面圖的邊數. 數學解題策略問題解答 4邊數＝頂點數+區域數-1 ＝999+999-1＝1997. 點評 任何平面圖的頂點數、區域數及邊數都能滿足我們所推斷的關系. 當然，平面圖有許許多多，且千變萬化，然而不管怎么變化，頂點數加區域數再 減邊數，最后的結果永遠都等于1，這是不變的.因此， 頂點數+區域數-邊數 就稱為平面圖的不變量（有時也稱為平面圖的歐拉數——以數學家歐拉的名字 命名）. 2.從任意一個大于2的自然數出發，反復進行（1）、（2）兩種運算，最后必 定得到1. 點評 這個猜想后來被人們多次檢驗，發現對7000億以下的數都是正確 的，究竟是否對大于2的一切自然數都正確，至今還不得而知. 3.不能.事實上，當x＝10時，f（10）＝102+10+11＝121，這是個合數. 4.觀察上述勾股弦三數組，可以歸納得出如下猜想：整數勾股形中，勾、股 中必有一個是3的倍數. 現證明如下：勾股弦三數組是不定方程x2+y2＝z2的一組正整數解. 如果x，y中無3的倍數，則x＝3k±1型的數，y＝3m±1型的數，它們的 平方都是被3除余1的整數.由此可知x2+y2是被3除余2的整數.但被3除 余2的數一定不是完全平方數，所以與等號右邊的z2相矛盾.因此x，y中至少 有一個是3的倍數.猜想命題“整數勾股形中，勾、股中必有一個是3的倍數” 被證明為真. 點評 進一步還可以得到如下的猜想： “整數勾股形中，勾、股中必有一個是4的倍數”. “整數勾股形中，勾、股、弦中必有一個是5的倍數”. 這兩個猜想同樣都是真命題，其證明留給同學們作為練習. 5.所謂三角數是指如下類型的數： 第n個三角數是1+2+3+.+n＝n（n+1） 2，記作an. 如果把N繼續寫下去，其規律性就可看得清楚些 N＝0.13605186556815063100136051. 似乎有an+20的個位數字與an的個位數字相同，若能證明這點，則N為有理數. 注意到 an+20-an＝（n+20）（n+20+1） 2-n（n+1） 2 ＝10·（2n+21） 是10的倍數，即得證. 點評 判定某個無限小數是有理數的關鍵是看它小數點后的數字是否循 環，即是否構成周期數列. 6.顯然a，b，c都是正整數，三角形各邊a，b，c必須滿足a?b?c且a+ b＞c，先考查特例. 當n＝1時，b＝1癡a＝1，c＝1，滿足條件的三角形僅一個； 當n＝2時，b＝2癡a＝1，c＝2，或a＝2，c＝2或3，滿足條件的三角形 有1+2＝3（個）； 當n＝3時，b＝3，如表1-3所示滿足條件的三角形有1+2+3＝6（個）． 表1-3 abc三角形個數 1331233，42333，4，53歸納猜想 當b＝n時，滿足題設條件的三角形共有 1+2+.+n＝n（n+1） 2（個）.（1-1） 證明猜想 當b＝n時，a有n個值，即1，2，.，n，對于a的每一個值，如 a＝k（1?k?n），因為b?c＜a+b，即n?c＜n+k，所以，c的取值剛好 有k個，即n，n+1，.，n+k-1，所以三角形總數如式（1-1）所示. 點評 此題在考查特殊情形的過程中，發現了三角形三邊長a，b，c的取值 規律，為問題的解答提供線索. 7.設n條直線分平面為Sn部分，先實驗觀察特例有如表1-4所示的結果. 數學解題策略問題解答 因為在n-1條直線后添加第n條直線被原n-1條直線截得的n段中的 任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應地增加n部分，所以Sn＝Sn-1+ n，即Sn-Sn-1＝n.從而 S2-S1＝2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，.，Sn-Sn-1＝n. 將上面各式相加，得到 Sn-S1＝2+3+.+n， Sn＝S1+2+3+.+n＝2+2+3+.+n ＝1+（1+2+.+n）＝1+12 n（n+1）. 點評 Sn也可由如下觀察發現.由表1-4知： S1＝1+1，S2＝1+1+2，S3＝1+1+2+3， S4＝1+1+2+3+4，.. 以此類推，便可猜想到 Sn＝1+1+2+3+.+n＝1+12 n（n+1）. 8.0個平面時，空間是1個部分； 第1個平面將空間分成1+1＝2個部分； 第2個平面與第1個平面有1條交線，這條交線將第2個平面分成兩部分， 每一部分都將空間的一個部分變成2個，空間被分成了1+1+2個部分； 第3個平面與前兩個平面有2條交線，這2條交線將第3個平面分成了4 個部分，每一部分都將空間的一個部分變成了2個，空間被分成了1+1+2+4