高等代數習題精選精解（簡體書）

《高等代數習題精選精解》是由山東科學技術出版社出版。

第一章多項式
1.數域和數環
2.一元多項式環
3.整除的概念
4.最大公因式
5.因式分解定理
6.重因式
7.多項式函數
8.復系數與實系數多項式的因式分解
9.有理系數多項式
10.多元多項式
11.對稱多項式
12.綜合提高題型
第二章行列式
1.n階行列式的定義
2.n階行列式的性質
3.行列式按行（列）展開
4.行列式的計算
5.克萊姆法則
6.綜合提高題型
第三章線性方程組
1.消元法
2.n維向量空間
3.線性相關性
4.矩陣的秩
5.線性方程組解的判定定理
6.線性方程組解的結構
7.二元高次方程組
8.綜合提高題型
第四章矩陣
1.矩陣的概念和運算
2.矩陣的秩（續）
3.矩陣的逆
4.矩陣的分塊
5.初等矩陣
6.矩陣方程
7.綜合提高題型
第五章二次型
1.二次型的標準形和規范形
2.二次型的正定性
3.矩陣的合同
4.綜合提高題型
第六章線性空間
1.線性空間的定義和性質
2.基，維數和坐標
3.線性空間的子空間及其交與和
4.子空間的直和
5.線性空間的同構
6.綜合提高題型
第七章線性變換
1.線性變換的定義與性質
2.線性變換的矩陣
3.特征值與特征向量
4.對角矩陣
5.線性變換的值域、核與不變子空間
6.最小多項式
7.綜合提高題型
第八章λ—矩陣
1.標準形、不變因子、行列式因子與初等因子
2.矩陣相似的條件與矩陣的相似標準形
3.綜合提高題型
第九章歐式空間
1.歐式空間的定義與基本性質
2.標準正交基、正交子空間和子空間的正交補
3.正交矩陣與實對稱矩陣的正交化標準形
4.正交變換、對稱變換與酉變換
5.綜合提高題型
第十章雙線性函數
1.線性函數與對偶空間
2.雙線性函數
3.綜合提高題型

點評：檢驗所給的集合關于給定的運算是否構成線性空間，大部分情況下可以從定義出發驗證，首先要考慮它的加法及數量乘法運算是否有意義（或是否封閉），這一點往往被學生所忽視，例如上題中（2）中的V關于加法運算就不封閉，有時甚至會出現這樣的情況，即：V滿足1）～4），5）～8）這所有8條規則，但它還是不能構成線性空間，原因是它關于加法及數量乘法運算（或兩者之一）不封閉，例如在第（2）小題中取W=VU{0}，即y再添上零多項式，則W滿足所有條規則，且它關于數量乘法封閉，可它關于加法運算不封閉，所以還是不構成線性空間。
如果集合關于兩種運算封閉，則還需驗證8條規則，如果其中某條不成立，你必須單一具體反例來說明，在驗證規則成立時，特別要注意3）和4）的驗證中需要具體給出零向量以及一個向量的負元素，而且根據運算定義的不同，零向量不一定就是數0或零矩陣（或零多項式），例如第（4）小題中的零向量就是數1，而負向量也不一定是通常意義下的負元素，這一點需加以注意。
【1.14】 按通常多項式加法及數量乘法運算，下面的集合是否構成數域P上線性空間？
（1）數域P上次數低于定數n的多項式全體并添上0作成的集合P[x]；
（2）數域P上次數等于定數n（n≥1）的多項式全體作成的集合。