非線性隨機動力學的若干數值方法及應用（簡體書）

《非線性動力學叢書：非線性隨機動力學的若干數值方法及應用》主要分為四部分：第一部分介紹胞映射方法及其應用，主要內容有：幾種胞映射方法的介紹，動力系統的迭代圖胞映射方法，隨機動力系統分岔行為的研究；第二部分介紹路徑積分方法及其應用，主要內容有：基於Gauss-Legendre公式的路徑積分法，隨機參激與外激聯合作用下非線性動力學系統的路徑積分解，諧和激勵與隨機激勵作用下Duffing-Rayleigh振子的路徑積分解，基於概率密度的Mathieu-Duffing振子的混沌分析；第三部分介紹自由網格路徑積分和算子分裂方法及其應用，主要內容有：自由網格路徑積分法，算子分裂法；第四部分介紹正交多項式逼近方法在隨機結構動力學中的分析。

《非線性隨機動力學的若干數值方法及應用》可供力學、機械、數學、物理、航空航天、土木工程等專業的高年級本科生、研究生、教師以及工程技術人員使用。

5.1.3路徑積分法在非線性隨機動力學系統研究中的應用
路徑積分的基本思想是在空間和時間上分別離散化，以路徑和代替積分，即通過連接短時轉移概率密度形成全局轉移概率密度，得到狀態向量的聯合概率密度函數。路徑積分法最優越的特性在于可得到非負的、較準確的尾部概率密度，此外，路徑積分法還可計算系統的非平穩瞬態概率密度以及首次穿越問題等。由于路徑積分法在捕捉概率密度的尾部區域行為上有其獨特的優勢，使其可用于探討極值響應的估計問題。
Yim和Lin應用路徑積分法計算了單自由度的water－on－deck作用下的ship－roll模型的概率密度，并借助概率密度分析了非線性系統的確定性和隨機性復雜響應，包括混沌運動和隨機運動，他們指出當非線性動力學系統運動是混沌的，那么通過引入隨機擾動，混沌吸引子的存在和形狀完全可唯一由演化概率密度來描述。
由于隨機噪聲干擾在實際系統中總是存在，考慮隨機噪聲的影響，特別是對于分岔現象的影響已成為人們關心的主題之一。例如，劉先斌等專題評述了隨機分岔在物理和工程領域的研究和發展歷史。徐偉等引入新的隨機分岔定義，并應用廣義胞映射法研究了參激和外激共同作用的Duffing－van der Pol振子的隨機分岔。P－分岔是隨機分岔的重要分支，主要是分析隨機動態系統的不變測度的密度（平穩概率密度）的形狀，包括峰的個數、位置及形狀隨著參數的變化，像從單峰變成雙峰或是從單峰變成火山口形峰，可通過對平穩概率密度求極值進行研究。但如前所述，精確求解一個非線性隨機動力學系統的平穩概率密度是很困難的，進而要利用平穩概率密度來分析隨機動力學系統的P－分岔也尤為困難。因此路徑積分法已成為研究P－分岔的重要數值工具，
自1961年Lyon等發現窄帶隨機激勵下硬彈簧Duffing振子跳躍現象以來，許多學者用多種不同方法對它進行過研究，朱位秋根據數值模擬得到的位移和速度平穩概率密度，對隨機跳躍現象作了全新的解釋。指出平穩概率密度的峰，表示一種較大可能的響應狀態，對應于確定性激勵情形的一個穩定的平穩運動（平衡狀態、穩態周期運動等）。當平穩概率密度有兩個（種）峰時，系統的響應可從一種較大可能狀態過渡到另一種較大可能狀態或反之，這就是隨機跳躍，要發生隨機跳躍，系統與激勵參數（主要是激勵中心頻率與退化線性振子固有頻率之比、非線性強度、激勵強度與帶寬）要滿足一定條件，即只發生在這些參數構成的空間中的某一區域內。隨著這些參數的變化，系統從有隨機跳躍過渡到無隨機跳躍或反之，對應于平穩概率密度有兩個峰過渡到一個峰或反之，這是一種典型的P－分岔，稱為隨機跳躍的分岔。朱位秋等用隨機平均法研究得到了硬彈簧Duffing振子分別在諧和與白噪聲共同激勵及有界噪聲激勵下的隨機跳躍和分岔。