繞來繞去的向量法(第二版)（簡體書）

目錄
總序
第二版前言
第一版前言
第1章 漫談向量 1
1.1 向量和標量 1
1.2 向量小史 2
1.3 向量名詞的演變 6
1.4 n維向量 7
1.5 大學數學視角下的向量 9
第2章 向量基礎 15
2.1 向量的概念 15
2.2 向量的運算 17
2.3 平面向量基本定理 22
2.4 平面向量的坐標表示 24
2.5 向量的數量積 24
2.6 空間向量 27
第3章 初見向量回路 29
第4章 向量與平行四邊形 50
第5章 向量形式的定比分點公式 67
5.1 定比分點公式的伸縮形式 69
5.2 向量相交定理 83
第6章 向量數量積的應用 98
第7章 向量坐標證垂直 128
第8章 向量法與復數 148
8.1 復數與旋轉 150
8.2 向量方程與自動發現 175
第9章 單位向量 182
第10章 從平面到空間 195
第11章 向量法與立體幾何 207
第12章 向量法與解析幾何 229
第13章 向量法與不等式 249
13.1 數量積性質 249
13.2 三角不等式 262
13.3 向量平方非負 266
第14章 從向量法到點幾何 275
14.1 點的計算 278
14.2 恒等式一行證題 289
14.3 向量表示五心 303
第15章 向量雜題 307
第16章 從向量角度看銹規問題 338
參考文獻 350
後記 352

第1章 漫談向量
1.1 向量和標量
在日常生活中，我們會接觸到各種各樣的量，這些量可分為兩類.一類量在取定基本單位後，只用一個實數就可以表示出來，例如長度、面積、溫度、質量等，這樣的量稱為標量或是數量.還有一類量，除了有大小外，還有方向，通常把這種既有大小又有方向的量叫作向量或矢量，例如速度、加速度、力、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量.
凡事從最簡單的情形開始想，就容易理解.數軸上的有向線段，也是有大小有方向的，也是向量.盡管只有兩個方向，總不能說沒有方向吧？有向線段的終點坐標減去起點坐標，得到一個實數，實數的絕對值就是它的大小，實數的符號表示它的方向.這樣看，實數也是向量，叫一維向量.標量和向量的劃分是物理和工程中的概念.數學中嚴謹地說，標量也是向量，只是維數不夠高而已.
從有向線段出發考慮，便會看到：向量的相等、向量的加法、向量的數乘、向量的模等等，都保持了有向線段原來的性質.
向量又可分為兩種.
當某個向量被確定之後，它的大小和方向隨之確定.反之，當向量的大小與方向都給定之後，是否能完全確定它的位置呢？不是的，因為向量的起點尚未確定，只有再確定起點（或終點）的位置，它才能真正確定下來.譬如物理學中的力，除了大小、方向之外，還要考慮作用點.通常把這種對大小、方向和起點都確定的向量稱為固定向量.
還有一類向量（如位移、速度等），只關心大小和方向，根本不考慮起點位置.通常把這種大小、方向確定，起點不確定的向量稱為自由向量.也就是說，凡是大小相等、方向相同的向量，我們都可以將之看作是相等的向量.
中學教學中談起向量，關心的是向量起點、終點的相對位置，並不太關心向量起點的絕對位置.原因何在？因為向量平移滿足自反性、對稱性、傳遞性，即滿足等價類的要求.在等價類中，所有向量是可以看作彼此不加區分的，即類中任一向量都有資格派出作為代表.如果硬是要用起始點將等價類中的各個向量加以區分，那麼向量之間的相互轉化就成了麻煩，向量的運算將成為空談.
舉個簡單例子吧.軍訓時，教官讓學員向前五步走.雖然每個學員的初始位置不相同，但他們的位移是一樣的.如果限定起點的話，那麼教官要對每一個學員分別下命令，多麻煩啊！
本書所討論的向量均指自由向量.數學裡提到向量，如果沒有特別說明，均指自由向量.
1.2 向量小史
向量最早出現在物理學中，其起源與發展主要有三條線索:物理學中的速度和力的平行四邊形法則、復數的幾何表示和位置幾何.
早在公元前350年前，古希臘學者亞裡士多德（Aristotle）在進行力學研究時發現：作用在物體同一點上的兩個力，其實際效果不是兩個力大小的簡單相加，而是遵循平行四邊形法則.
圖1-1
如圖1-1，假設有兩個力F1和F2同時作用在物體的A點，F1和F2的方向分別為從A至B和從A至D，F1和F2的大小分別等於AB和AD的長度，若以AB和AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對角線AC表示力F1和F2的合力的大小與方向.這就是平行四邊形法則，也就是向量的加法AB+AD=AC.根據平行四邊形對邊平行且相等的性質，可得AB+BC=AC，此稱為向量的三角形法則.
對於三角形法則，我們可以這樣理解：甲、乙二人剛開始都在A位置，乙直接來到C位置，而甲卻先到B位置辦事，然後趕往C位置與乙會合.二人行走路線雖不同，但從效果上來看，都是從A到了C.中國古代數學名著《九章算術》（《九章算術》成書於何時眾說紛紜，多數認為在公元一世紀前後）中就有這麼一題：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而邪(通斜)東北與乙會.問甲乙行各幾何？”原解答是用勾股定理，而我們也可以利用“效果相等”來列方程解答，這暗示向量法和三角形問題有著天然聯系.
進一步地，可以將三角形法則拓展到多邊形法則：AB1+B1B2+ +BnC=AC.關注初始狀態和最終狀態，中間的過程不影響等式的成立，這就給了我們發揮的空間.而這也正是本書中將要反復使用的向量回路.
向量與平行四邊形有著如此天然的聯系.聯系平行四邊形對理解向量的性質有很大的幫助.例如在圖1-1中，AC=AB+BC=AD+DC，是不是暗示向量加法滿足交換律呢？進一步思考，是不是其中還暗藏著平面向量的基本定理呢？另外，也提示我們用向量法解平行四邊形問題有著獨特的優勢.
向量的平行四邊形法則是如此重要，以至於有人提議向量應該如下定義：既有大小又有方向，且滿足平行四邊形法則的量叫作向量.理由是：數學中給出一個定義之後，一定能夠推導出被定義物件的種種性質.例如，由平行四邊形的定義——有兩組對邊分別平行的四邊形，則可推出兩組對邊分別相等，對角線互相平分等性質.如果僅僅以“有大小和方向的量就是向量”作為向量的定義的話，如何能夠推導出平行四邊形法則？
向量的起源雖早，但發展卻很緩慢.從數學發展史來看，發現向量的平行四邊形法則之後的兩千多年中，向量理論幾乎沒什麼發展，直到復數的幾何解釋的出現才改變了這一狀況.在這兩千多年中，不少數學家都曾經使用過向量的平行四邊形法則解決問題，譬如海倫（Heron）、伽利略（Galileo）、牛頓（Newton）等.
向量能夠進入數學並得到發展，首先應從復數的幾何表示談起.1797年，挪威數學家維塞爾（Wessel）提出了復數的幾何解釋.如圖1-2建立坐標平面，對於每一個復數z=a+bi都可以在平面上找到點Z(a，b)，而以O為起點Z為終點的有向線段OZ稱為z=a+bi的對應向量.復數的幾何表示就是：任一復數都可以與復平面上的一個點或一個向量（以坐標原點為起點）一一對應.數學王子高斯（Gauss）在這方面做出過貢獻，以至於人們常常把這樣的平面稱為高斯復平面.
圖1-2
復數的幾何表示的提出，既使得“虛幻”的復數有了實際的模型，不再虛幻；又使得人們在逐步接受復數的同時，學會利用復數來表示和研究平面中的向量，向量從此得到發展.復數使向量代數化，但復數所能描述的向量只能是2維的，而人類所生存的空間是3維的.於是人們開始尋找“3維復數”，但始終沒有找到.直到1843年，英國數學家哈密頓（Hamilton）舍棄了乘法交換律，創造了所謂的“四元數”.再到後來，數學家們將向量作為一門獨立的數學分支進行研究，使向量的運算從最基本的平行四邊形法則擴展到內積和外積，向量的存在空間也從平面到空間，再到現實世界中並不存在的n維空間.由於四元數以及其後的發展與中學所講向量並無太大關係，本書在此略過.
位置幾何是向量理論的又一個重要思想源泉，下面給出簡略介紹，希冀有助於幫助讀者理解向量.微積分的創始人之一萊布尼茨（Leibniz）試圖創造一種新的幾何學：位置幾何.但他只給出了一個框架.萊布尼茨在1679年9月8日寫給惠更斯（Huygens）的一封信中闡述了他對位置幾何的看法：“我已經發現了一些完全不同的有新特點的元素，即使在沒有任何圖形的情況下，它也能有利於表達思想、表達事物的本質.代數僅僅能表達未定的數或量值，不能直接表達位置、角度和運動.因此，利用代數運算來分析一個圖形的特點是很困難的，即使利用完整的代數運算，去尋找方便的幾何證明和構造更為困難.我的這個新系統能緊跟可見的圖形，以一種自然的、分析的方式，通過一個確定的程序同時給出解、構造和幾何的證明.但是它的主要價值存在於可操作的推理中，存在於利用它的特點通過運算能得出的結論中.這個特點在圖形裡不能表達出來.它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多的點和線.相比而言，這種新方法確實能指導我們，使我們不用費力.我相信通過這個方法，人們可以像處理幾何一樣處理力學，甚至檢驗材料的質量，因為這些物件能注意到的部分通常取決於某些圖形.最終，如果我們已經發現了一些這樣簡便的方法去減輕創造力的負擔，我們可能會在物理中得到更多的結果”.
萊布尼茨雖然看到了他所設想的新代數將在數學和物理上有許多應用，但可惜的是他沒有為此而創造出一種實際有效的方法.之後，德國數學家格拉斯曼（Grassmann）的工作把萊布尼茨構思的系統的幾何特征帶到現實中來，從而表明萊布尼茨的思想並不是一個夢！其實，格拉斯曼在聽說萊布尼茨的思想之前就已經創造了類似的一個系統，他與萊布尼茨的目的總體來說是相同的，他們都想通過固定的法則去建立一個方便計算或操作的符號體系，並由此演繹出用符號表達的事物的正確命題.而且，他們也都希望發現一個同時具有分析和綜合特點的幾何，而不像歐幾裡得幾何與笛卡兒(Descartes)幾何那樣分別只具有綜合的與分析的特點.如今的向量幾何，其運算不僅僅是數的運算，還包括圖形的運算；向量解題在一定程度上擺脫了輔助線.
以上向量的歷史，部分引自博士論文《向量理論歷史研究》(孫慶華，2006)，對此有興趣的讀者可查閱原文.
1.3 向量名詞的演變
向量這一術語最早為英國數學家哈密頓使用，他也是第一個用“向量(vector)”表示有向線段的數學家.“vector”的詞根源自拉丁詞“vehere”，意思是“攜帶”(這個拉丁詞的過去分詞是vectus)，其含義隱含著將某物從此處帶到彼處的意思.向量在中國的傳播過程中，曾有過多種譯法，譬如有向數、有向量、方向量等.時至今日，一般物理學界稱之為矢量，數學界稱之為向量.
有文章花費大量篇幅來論述向量與矢量的區別.但在我們看來，向量和矢量是同一個事物的不同名稱，兩者之間的區別要小於母親和媽媽的區別.下面這篇短文就講述了術語的變遷(朱照宣，2008).
矢量就是向量
(朱照宣)
Vector，物理界叫“矢量”，數學界叫“向量”.能不能統一?網上甚至有人問，兩者在含義上是否有所差別？其實，在歷史上，數學界曾把vector定名為“矢量”，而物理界曾把它定名為“向量”.後