高等數學(第二版)（簡體書）

在當今高科技時代，自然科學、社會科學各領域的研究進入更深的層次和更廣的範疇，在這些研究中微積分知識的運用往往是實質性的，微積分與自然科學和社會科學的關係從來沒有像今天這樣密切。微積分作為人類智能的偉大發現之一，自它誕生後的三百多年來，在闡明和解決來自數學、物理學、工程學及經濟、管理、金融和社會科學等領域問題中具有強大的威力，特別是電子計算機的發明和它的廣泛使用都以微積分的背景知識為堅實基礎。進入21世紀，微積分作為一門技術對人類的發展必將發揮更重要的作用。正因為如此，微積分已經成為培養人才的重要的必備內容。
作為高等教育數學課程的教材，應當適合學生自主學習能力的培養，同時有助於學生自主學習能力的提高，使學生學以致用，能夠在工作中利用數學思想和方法解決實際問題，為學生在後續的再學習、再工作、再研究和再開拓創新能力的培養方面提供必要的基礎支撐。
學習微積分與中學學習初等數學的方法有所不同，雖然在微積分的學習中也需要學習如何計算及這些計算的技巧，但更需要在精確和深刻層次上發展其他的方法和技巧。微積分的學習中引入了非常多的新概念和計算方法，學生難以在課堂上學習完需要的所有內容，必須通過課後的自學掌握更多內容。
如何編寫好一本符合高等繼續教育專科及專升本學生的數學教材，是一個不斷探索的過程。本書的特點是強調微積分在科學、工程和經濟中的應用。本教材力圖以高等數學中的微積分思想和方法作為引導，使學生能通過對本教材的學習，牢固掌握微積分的基本內容、方法及概念，在推理、論證、演算等能力方面有所提高，並得到一定程度的數學訓練。本書中“*”號所注內容為選修內容。
在本書的出版過程中，原上海大學成人教育學院潘慶誼院長等領導給予了大力支持和幫助；中國人民大學出版社的編輯為此也做了大量卓有成效的工作，在此一並致以深深的謝意。

第一章 函數及其基本性質
第一節預備知識
第二節函數
第三節函數的幾種特性
第四節反函數和復合函數
第五節初等函數
第六節函數關係中的數學建模

第二章 極限與連續
第一節數列的極限
第二節函數的極限
第三節無窮小量與無窮大量
第四節極限的運算法則
第五節極限存在準則與兩個重要極限
第六節函數的連續性與間斷點

第三章 導數與微分
第一節導數的概念
第二節導數
第三節導數的基本公式與運算法則
第四節高階導數
第五節微分

第四章 微分中值定理及導數的應用
第一節中值定理
第二節未定式的定值法——洛必達法則
第三節函數的單調性
第四節曲線的凹向與拐點
第五節函數的極值和最值
第六節導數在經濟學中的應用
第七節函數圖形的作法
第八節建模和最優化

第五章 不定積分
第一節不定積分的概念
第二節基本積分公式
第三節不定積分的性質
第四節換元積分法
第五節分部積分法

第六章 定積分
第一節定積分的概念
第二節定積分的性質
第三節定積分與原函數的聯系
第四節定積分的換元積分法
第五節定積分的分部積分法
第六節*廣義積分
第七節定積分在幾何中的應用
第八節定積分在經濟學中的應用

第七章 無窮級數
第一節無窮級數的基本概念和性質
第二節正項級數
第三節交錯項級數與任意項級數
第四節冪級數
第五節函數展開為冪級數
第六節傅立葉級數

第八章 微分方程
第一節微分方程的例子
第二節微分方程的基本概念
第三節一階微分方程
第四節可降階的高階微分方程
第五節二階常系數齊次線性微分方程
第六節二階常系數非齊次線性微分方程
第七節數學建模——微分方程的應用舉例

第九章 空間解析幾何
第一節空間中的笛卡爾（直角）坐標向量
第二節空間向量的數量積、向量積、混合積
第三節空間中的直線和平面
第四節柱面和二次曲面

第十章 多元函數微分學
第一節多元函數的基本概念
第二節偏導數
第三節全微分
第四節多元復合函數的求導法則
第五節隱函數的求導公式
第六節方向導數、梯度
第七節多元微分學的幾何應用
第八節最優化及其模型

第十一章 重積分
第一節二重積分的定義與性質
第二節二重積分的計算法
第三節三重積分
第十二章 曲線積分與曲面積分
第一節對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）
第二節對坐標的曲線積分（第二類曲線積分）
第三節格林公式及其應用
第四節關於面積的曲面積分（第一類曲面積分）
第五節關於坐標的曲面積分（第二類曲面積分）
第六節高斯公式與散度
第七節斯托克斯公式與旋度

微積分是關於運動和變化的數學，哪裡有運動與變化，哪裡用到的數學必定就是微積分.微積分的誕生初期是這樣，今天仍然還是這樣.
微積分首先是為了滿足16、17世紀科學家對數學方面的需求，本質上說是為滿足力學發展的需要而發明的.微分學所處理的是計算變化的問題，它使人們能夠定義曲線的斜率，計算運動物體的速度和加速度，求得炮彈能達到其最大射程的發射角，預測何時行星靠得最近或離得最遠.積分學所處理的是從函數變化率的信息確定函數自身的問題，它使人們能夠從物體現在的位置和作用在物體上力的信息計算出該物體未來的位置，計算出平面上不規則區域的面積，度量曲線的長度，以及求出任意空間物體的體積和質量.
現在，微積分及其在數學分析方面的延伸確實是意義深遠.假如早年發明微積分的物理學家、數學家和天文學家能了解到微積分能夠解決如此大量的問題，以及現在用來理解我們周圍的宇宙和世界的數學模型所涉及的眾多領域的話，他們肯定會感到十分欣慰.
從古到今，整個數學的發展大體可分為五個時期：（1）公元前600年以前的數學萌芽時期；（2）公元前600年到17世紀中葉的初等數學時期；（3）17世紀中葉到19世紀20年代的變量時期；（4）19世紀20年代到第二次世界大戰的近代數學時期；（5）20世紀40年代以來的現代數學時期.
每一數學時期的發展，從來就是和生產實踐、科學技術的水平密切相關的.首先，生產實踐和科學技術向數學提出需要解決的問題，刺激數學向生產實踐和科學技術發展的方向發展.其次，生產實踐和科學技術向數學提供豐富的研究資料和物質條件，計算機技術的發展推動整個數學的發展就是最典型的案例.此外，生產實踐和科學技術為檢驗數學結論的正確性提供了真理性的標準.因此數學的發生和發展歸根到底是由生產實踐決定的.同時數學發展到一定階段，對於生產實踐具有一定的相對獨立性.
本章將在復習中學教材中有關函數內容的基礎上，進一步研究函數的性質，分析初等函數的結構.
第一節預備知識
一、集合
“集合”是現代數學中的一個重要的基本概念.集合是指具有某種特定性質的事物的全體.組成這一集合的事物稱為該集合的元素.
例1所有皮制火炬牌籃球構成一個集合，那麼每一只皮制的且是火炬牌的籃球都是該集合的元素.
例2所有正整數的全體構成一個集合，那麼每一個正整數都是該集合的元素.
通常，我們用英文大寫字母如A，B，X，Y等表示集合，用英文小寫字母如a，b，x，y等表示集合中的元素.如果a為集合A中的元素，則記作a∈A，讀作a屬於A或a在A中；如果a不是集合A中的元素，則記為aA，讀作a不屬於A或a不在A中.
如果集合中所包含的元素的個數只有有限多個，則稱這種集合為有限集.如果集合中所包含的元素的個數有無限多個，則稱這種集合為無限集.不包含任何元素的集合稱為空集，記為Φ.