微積分(全2冊)（簡體書）

《微積分.上冊》根據教育部頒布的本科非數學專業經管類高等數學課程教學基本要求，以及全國碩士研究生入學考試數學三的大綱編寫而成。 《微積分.上冊》分上、下兩冊。 《微積分.上冊》為下冊，內容包括向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數與微分方程等內容。每節都配有難易不同的A、B兩組習題，每章都附有本章小結與總複習題。 《微積分.上冊》還配有兩類內容豐富的數字教學資源，一類是與每節配套的設計新穎的課前測、重（難）點講解、電子課件和習題參考答案等；另一類為《微積分.上冊》附錄，介紹幾種常用曲面。讀者可以掃描二維碼反復學習。

目錄
前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 函數 1
1.2 數列的極限 25
1.3 函數的極限 35
1.4 無窮小量與無窮大量 48
1.5 極限運算法則 54
1.6 極限存在準則及兩個重要極限 64
1.7 無窮小的比較 76
1.8 函數的連續性 83
1.9 閉區間上連續函數的性質 96
本章小結 100
總複習題1 102
第2章 導數與微分 104
2.1 導數的概念 104
2.2 導數的運算法則與基本公式 117
2.3 高階導數 128
2.4 隱函數與參數方程確定的函數的導數 135
2.5 導數在經濟分析中的簡單應用 144
2.6 函數的微分及其應用 154
本章小結 165
總複習題2 166
第3章 微分中值定理與導數的應用 169
3.1 微分中值定理 169
3.2 洛必達法則 180？
3.3 泰勒公式 191
3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性 203
3.5 函數的極值、*大值和*小值 213
3.6 函數圖形的描繪 224
3.7 曲率 231
本章小結 241
總複習題3 243
第4章 不定積分 246
4.1 不定積分的概念與性質 246
4.2 不定積分的換元積分法 254
4.3 不定積分的分部積分法 266
4.4 簡單有理函數的積分 273
4.5 積分錶的使用 280
本章小結 282
總複習題4 283
第5章 定積分 286
5.1 定積分的概念與性質 286
5.2 微積分基本定理 296
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 304
5.4 反常積分 314
5.5 定積分的應用 327
本章小結 344
總複習題5 345
參考文獻 348
教學資源說明 349

第1章 函數、極限與連續
隨著社會經濟的迅猛發展，數學在經濟活動和經濟研究中的作用日益凸顯，作為經濟數學重要基礎課程的微積分，在提高經管類專業人才的數學素養方面，起到至關重要的基礎性作用.微積分作為高等數學的基本內容，是人類思維的偉大成果之一，它所包含的數學思想和解決方法，不僅提供了解決實際問題的工具，同時還提供一種思維的訓練.微積分包含微分學與積分學，它以函數為主要研究對象，用極限方法揭示連續函數的重要性態.
本章先簡單回顧函數的概念及有關性質，再著重介紹極限和連續的基本概念、重要性質與思想方法，為學好微積分打下紮實的基礎.
1.1 函數
一、變量與常用數集
恩格斯說:“數學是研究現實生活中數量關係和空間形式的科學.”自然界千變萬化的事物是自然科學的研究對象，數學是*重要的研究工具，數學思維的方法就是把千變萬化的事物與數量聯繫起來，在用數學方法描述現實生活中的許多自然現像或變化過程時，常需要用多個數量來表達其關係與結構，觀察這些數量一般可分為兩類:一類是在某過程中保持不變的量，稱為常量;另一類是在某過程中可以取不同的值，或不斷變化著的量，稱為變量.例如在觀察圓的圖形變化時，直徑與周長都是變量，而圓的周長與直徑的比值(圓周率)π是一個常量;又如在自由落體運動中，物體的下降速度、下降時間及下降距離都是變量，而物體的質量在該過程中可以看作是常量.一般地，用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z，t等表示變量.一個量是變量還是常量，需要在具體問題中作具體分析.例如就小範圍的地區來說，重力加速度g可以看作是常量，而在宇宙中，重力加速度g則是一個變量.
自然界中有兩類常見的變量，一類如自然數n，每兩個之間均有間隔地變化著的量，我們稱為離散型變量;另一類如實數x，連續不間斷地變化著的量，這類變量稱為連續型變量，本課程是一門以研究連續型變量為主的數學課程.
在討論變量間的數量關係時，常須明確變量的取值範圍，單個變量的取值範圍常用數集來表示.本書討論的變量在沒有特別說明的情況下都是指在實數範圍內變化的量.
常用的數集有:自然數集N、正整數集N+、整數集Z、有理數集Q、實數集R，另外區間和鄰域也是兩種常用的數集.
區間是用得較多的一類數集，設a，b∈R，且a 數集{x|a 類似地，數集與均稱為半開半閉區間，分別記作[a，b)與(a，b]，即
其中a與b稱為這些區間的端點，b.a稱為這些區間的區間長度.區間長度b-a是有限的數值，故以上四種區間均為有限區間.此外還有下列五種無限區間，引進記號+∞(讀作正無窮大)及.∞(讀作負無窮大)，則有
這些區間的區間長度都為無窮大.
因此，連在一起的數是很方便用區間表示的，當包含端點時，就用方括號表示，不包含端點時，就把方括號變為圓括號.總之以上各種情況可歸納如下:
為了討論函數在一點鄰近的某些性態，我們給出鄰域概念.
定義1 設a，δ∈R，δ>0，數集{x||x.a|<δ，x∈R}稱為點a的δ鄰域，記作U(a，δ).其中點a與數δ分別稱為這鄰域的中心與半徑.
幾何上，鄰域U(a，δ)表示數軸上與點a的距離小於δ的點集，因此該鄰域是以點a為中心，δ為半徑的一個開區間(a.δ，a+δ)(圖1-1-1(a))，即
若不強調鄰域的半徑時，用U(a)表示以點a為中心的任意開區間.有時又需將鄰域U(a，δ)的中心點a去掉，將鄰域U(a，δ)的中心點a去掉後得到的數集稱為點a的去心δ鄰域，記作(圖1-1-1(b))，即
圖1-1-1
二、函數及有關概念
1.函數的定義
函數研究的就是變量之間的對應關係，也就是把事件量化為用變化的量來表示.在同一自然現像或變化過程中，經常會同時遇到兩個或更多個變量，它們互相聯繫、互相依賴並遵循一定的規律變化著.
例如運動學中，自由落體運動的路程s與時間t是兩個變量，設初速度為0，則當時間t變化時，所經過的路程s也隨之改變，它們之間的關係式為
(1-1-1)
又如在銷售活動中，若銷售某件產品的單位價格為10，銷售量為q，當銷售量q改變時，銷售的總收入隨之改變，銷售的總收入R等於該產品的單位價格乘以銷售量q，即
(1-1-2)
(1-1-1)和(1-1-2)兩式均表達了兩個變量之間相互依賴的關係或規律，依據這一規律，當其中一個變量在某一範圍內取定一個數值時，另一變量的值就隨之確定，數學上把這種對應關係稱為函數關係.
定義2 設兩個變量x，y分別在集合X與Y中變化，X為非空集，如果按照一個給定的對應規則，對於每一個x∈X，按照一定的法則f總有唯一確定的y∈Y與之對應，則稱y為x的函數，並稱x為自變量，y為因變量，記作
y=f(x)，
其中自變量x的變化範圍X稱為函數的定義域，常用Df或D表示，即D=X.
由定義2可知，f(x)也表示與x對應的函數值，因此對應於x0的函數值記為f(x0)或y|x=x0.全體函數值構成的集合稱為函數y=f(x)的值域，記作f(D)，即
f(D)={y|y=f(x)，x∈D}.
一般地，在函數y=f(x)中，使得式子f(x)有意義的x的集合是該函數的定義域，這時也稱為該函數的自然定義域.但在實際問題中，函數y=f(x)的定義域還要根據問題中的實際意義來確定.
例如函數y=x2，使得式子x2有意義的x的集合是實數集R，因此y=x2的自然定義域為實數集R，為方便起見，也稱函數的定義域為實數集R;但若用函數y=x2表示邊長為x的正方形面積，則根據正方形邊長x需為正數，因此這時函數y=x2的定義域應為D={x|x>0，x∈R}，或用區間(0，+∞)表示.
函數y=f(x)就像一台“數值變換器”，我們將x(x∈D)的值輸入該變換器中，在規則f的作用下，就將數值x變換為另一個與其對應的數值y，即滿足y=f(x).例如，對函數表示對實數集R內的數x作e為底的指數運算，即將x(x∈R)的值輸入該數值變換器中，通過f的作用，就輸出了數值y=ex.
由函數的定義可知，函數y=f(x)由其對應法則與定義域兩個因素確定，故當兩個函數的對應法則與定義域都相同時就稱它們是同一個函數，因此也稱函數的定義域及其對應法則為函數的二要素.
例如 函數y=lgx2與y=2lgx，它們的對應法則相同，但定義域不同，所以它們不是相同的函數.又如函數y=x與，它們的對應法則相同，定義域卻不相同，因此它們也不是相同的函數.而函數與，其對應法則與定義域都相同，因此它們就是同一個函數了.
注 在函數y=f(x)中，符號f與x，y僅僅是該函數中對應法則、自變量、因變量的記號，因此它們可以用不同的記號表示，如f用符號φ或F代替，這時函數y=f(x)就寫成y=φ(x)或y=F(x).必須指出當同一問題中涉及多個函數時，則應取不同的符號分別表示它們各自的對應法則，以免混淆.同樣因變量與自變量也可用其他符號表示，但必須指出同一個函數在同一個問題中只能取定同一種記法.
設函數y=f(x)，定義域為D，稱平面上的二維點集C={(x，y)|y=f(x)，x∈D}為函數y=f(x)，x∈D的圖形，y=f(x)也稱為曲線C的方程，因此函數y=f(x)的圖形是一條或一段平面曲線.如稱平面上的點集C={(x，y)|y=sinx，x∈R}為正弦函數y=sinx的圖形.
定義2中，函數y=f(x)的自變量x在定義域內任取一值時，對應的函數值y都是唯一確定的，因此也稱y為x的單值函數.如y=sinx，y=2lgx均為單值函數.但事實上，有時自變量x有兩個或兩個以上的值y與之相對應，這時稱y為x的多值函數.若遇到多值函數時，我們都把它化作多個同時出現的單值函數分別來對待.如圓的方程x2+y2=4中，將“滿足方程x2+y2=4”作為變量x，y之間的對應法則，當x∈[-2，2]時，可得，即當時，可得兩個值與之對應，因此，方程x2+y2=4確定了一個多值函數，其中是多值函數的兩個單值分支，它們都由方程x2+y2=4確定.從而方程x2+y2=4確定了兩個單值函數:
本書中凡是沒有特別說明的函數都是指單值函數.
例1 求函數的定義域.
解 由題意可知，該函數的自變量x滿足不等式組
解得
故該函數的定義域為.
例2 設
解 將變量x分別用.
2.函數的表示形式
函數有多種表示形式，常見的主要有:表格法、圖示法、解析法(用代數式表示法).
表格法是把自變量x與因變量y的一些對應值用表格列出，實際應用中常用此法.例如火車時刻表，就是用列表的方法列出出站和進站對應的車次與時間的函數關係.其優點是從表上可直接看出y隨x的變化而變化的情況，使用上較方便，缺點是只能表達有限個對應數據.
圖示法是把變量x與y對應的有序數組(x，y)看作直角坐標平面內點的坐標，y與x的函數關係就可用坐標面上的曲線來表出.例如氣象站中的溫度記錄器，就記錄了空氣中溫度與時間的函數關係.該關係是藉助儀器自動描繪在紙帶上的一條連續不斷的曲線來表達的.圖示法的優點是直觀性強，缺點是沒有給出函數關係的表達式，不便於做理論上的推導與演算.
解析法是把兩個變量之間的關係直接用代數式表示，高等數學中所涉及的函數大多用解析法來表示，解析法也可以稱為公式法.解析法的優點是便於做理論上的精準分析與推演.
下面是幾種常見的用解析法表示的函數類型.
(1)分段函數
在自然科學與工程技術中經常用到這樣一類函數，它在定義域的不同範圍內的自變量所對應的函數關係並不相同，這時就需要用幾個不同的式子分別來表示一個函數，這樣表示的函數就是分段函數，如定義域分成兩個不同的範圍時，有如下定義.
設D1，D2是兩個互不相交的數集，φ(x)與ψ(x)分別是定義在D1與D2上的兩個不同的函數式，則稱定義在數集D1∪D2上的函數為分段函數.