複變函數與積分變換(微課版)（簡體書）

《復變函數與積分變換（微課版）》介紹復變函數論與積分變換的基本概念、理論和方法。全書共8章，主要內容包括：復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、級數、留數及其應用、保角映射、傅裡葉變換和拉普拉斯變換，同時還加入MATLAB在復變函數與積分變換中的應用。每章均配有本章小結和豐富的例題、習題。附錄中有傅裡葉變換和拉普拉斯變換簡表，可供學習時查用。書中有“*”號部分供讀者選用。 《復變函數與積分變換（微課版）》可作為高等院校工科類各專業本科生的“復變函數與積分變換”課程教材，也可供相關專業的工程技術人員參考。

史娜，中北大學副教授，博士，主要研究信號處理中的數學問題。2018年獲得全國數學微課競賽華北賽區二等獎；2013年獲中北大學理學院優秀青年主講教師稱號；指導大學生數學建模競賽，獲全國一等獎1項，全國二等獎3項，山西省二等獎5項。主持山西省青年自然科學基金1項，參與國家自然科學基金面上項目2項，參與山西省自然科學基金項目3項。以作者發表科研論文10余篇，其中SCIEI收錄5篇。

《復變函數與積分變換（微課版）》注重將實踐教學經驗融入復變函數理論體系中，注重培養學生的自主學習能力，除了精心編寫復變函數與積分變換的重要概念、原理和性質之外，在每章均配有相應的教學短視頻，包括疑難知識點的講解、經典例題的講解。

“復變函數與積分變換”作為高等院校工科各相關專業的一門必修基礎課程，主要教學任務是培養學生的數學邏輯思維能力、科學計算能力和解決工程實際問題的能力，並為後續專業課程的學習奠定堅實的數學基礎．
在“互聯網 ”的發展背景下，以“慕課”為代表的在線開放課程、以“SPOC課”為代表的在線線下混合課程等新興的教學模式使得學生的學習方式和途徑發生了巨大的變化，傳統的紙質版教材已經不能很好地適應當前的教育理念，因此，編寫新形態一體化教材成為教材改革的新趨勢．
2019年，本課程被評為山西省高校數學類專業精品在線(共享)課程．2021年，本課程被評為山西省精品共享課程的建設課程．本書由中北大學長期從事一線教學的教師團隊編寫，注重將實踐教學經驗融入復變函數理論體系中，注重培養學生的自主學習能力，除了精心編寫復變函數與積分變換的重要概念、原理和性質之外，本書在每章均配有相應的教學短視頻，包括疑難知識點的講解、經典例題的講解．
本書共分為8章，主要內容包括：復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、級數、留數及其應用、保角映射、傅裡葉變換和拉普拉斯變換，同時還加入MATLAB和Python在復變函數與積分變換中的應用．其中，第1、5章由史娜負責編寫；第2、7章由宋妮負責編寫；第3、6章由畢湧負責編寫；第4、8章由田寶玉負責編寫．
本書的出版得到了中北大學教材建設經費資助，在編寫過程中得到中北大學教務處、理學院數學系領導和教師的大力支持，白艷萍教授、楊明副教授和雷英杰副教授對書稿進行了審閱和修改，本書的編寫還得到余本國副教授的熱情幫助，在此對他們表示衷心的感謝.
由於編者水平所限，書中難免存在不足，歡迎廣大專家、同行與讀者批評指正．


編 者

第1章 復數與復變函數 1
§ 1.1 復數及其運算 1
1.1.1 復數的概念 1
1.1.2 復數的表示法 1
1.1.3 復數的四則運算 3
1.1.4 共軛復數 5
1.1.5 復數的乘冪與方根 6
1.1.6 無窮遠點與復球面 7
§ 1.2 復平面上的點集 8
1.2.1 基本概念 8
1.2.2 復平面上的曲線 10
1.2.3 單連通域和多連通域 10
§ 1.3 復變函數 11
1.3.1 復變函數的概念 11
1.3.2 復變函數的極限 12
1.3.3 復變函數的連續性 14
§ 1.4 用MATLAB運算 14
本章小結 16
練習題 16

第2章 解析函數 18
§ 2.1 解析函數的概念 18
2.1.1 復變函數的導數與微分 18
2.1.2 求導法則 19
2.1.3 解析函數的定義 20
§ 2.2 函數解析的充要條件 21
§ 2.3 初等復變函數 25
2.3.1 指數函數 25
2.3.2 對數函數 26
2.3.3 冪函數 27
2.3.4 三角函數與雙曲函數 28
2.3.5 反三角函數與反雙曲函數 30
§ 2.4 用MATLAB運算 31
本章小結 31
練習題 32

第3章 復變函數的積分 33
§ 3.1 復變函數積分的概念與性質 33
3.1.1 復變函數積分的概念 33
3.1.2 復變函數積分的存在性及其計算 34
3.1.3 復變函數積分的性質 37
§ 3.2 柯西積分定理及其推廣 38
3.2.1 柯西積分定理 38
3.2.2 解析函數的原函數 39
3.2.3 復合閉路定理 40
§ 3.3 柯西積分公式和解析函數的高階導數 42
3.3.1 柯西積分公式 42
3.3.2 解析函數的高階導數 43
§ 3.4 解析函數與調和函數的關係 47
3.4.1 調和函數 47
3.4.2 共軛調和函數 48
§ 3.5 用MATLAB運算 50
本章小結 52
練習題 52

第4章 級數 55
§ 4.1 復數項級數 55
4.1.1 復數序列的極限 55
4.1.2 復數項級數的概念 56
4.1.3 復數項級數的審斂法 56
§ 4.2 復變函數項級數 58
4.2.1 函數項級數 58
4.2.2 冪級數及其收斂性 59
4.2.3 冪級數的收斂圓與收斂半徑 60
4.2.4 冪級數的運算與性質 63
§ 4.3 泰勒級數 64
4.3.1 泰勒展開定理 64
4.3.2 幾個初等函數的冪級數展開式 66
§ 4.4 洛朗級數 70
4.4.1 洛朗級數的概念 70
4.4.2 洛朗展開定理 72
本章小結 77
練習題 78

第5章 留數及其應用 80
§ 5.1 孤立奇點 80
5.1.1 孤立奇點的分類 80
5.1.2 孤立奇點的性質 81
5.1.3 函數零點與極點的關係 83
*5.1.4 函數在無窮遠點的性態 85
§ 5.2 留數 87
5.2.1 留數的概念和計算 87
5.2.2 留數定理 90
*5.2.3 解析函數在無窮遠點處的留數 93
§ 5.3 留數在定積分計算中的應用 96
5.3.1 形如的積分 96
5.3.2 形如的積分 98
5.3.3 形如的積分 100
*§ 5.4 對數留數與輻角原理 103
5.4.1 對數留數 103
5.4.2 輻角原理 105
§ 5.5 用MATLAB運算 109
本章小結 111
練習題 111

第6章 保角映射 113
§ 6.1 保角映射 113
6.1.1 解析函數的導數的幾何意義 113
6.1.2 保角映射的概念 116
§ 6.2 分式線性映射 118
6.2.1 分式線性映射的概念 118
6.2.2 分式線性映射的分解 119
6.2.3 分式線性映射的性質 120
§ 6.3 決定分式線性映射的條件 123
6.3.1 三對對應點地決定分式線性映射 123
6.3.2 三類重要的分式線性映射 126
6.3.3 雜例 132
§ 6.4 幾個初等函數所構成的映射 135
6.4.1 冪函數與根式函數 135
6.4.2 指數函數與對數函數 139
本章小結 142
練習題 142

第7章 傅裡葉變換 145
§ 7.1 傅裡葉變換的概念 145
7.1.1 傅裡葉級數 145
7.1.2 傅裡葉積分定理 147
7.1.3 傅裡葉變換的定義 148
§ 7.2 單位脈衝函數 149
7.2.1 單位脈衝函數的概念 150
7.2.2 單位脈衝函數的性質 151
§ 7.3 傅裡葉變換的性質 153
7.3.1 線性性質 153
7.3.2 對稱性質 154
7.3.3 相似性質 154
7.3.4 平移性質 155
7.3.5 微分性質 155
7.3.6 積分性質 156
7.3.7 乘積定理 157
7.3.8 能量積分 157
§ 7.4 傅裡葉變換的卷積 158
7.4.1 卷積的定義 158
7.4.2 卷積定理 159
§ 7.5 用MATLAB運算 160
本章小結 161
練習題 161

第8章 拉普拉斯變換 163
§ 8.1 拉普拉斯變換的概念 163
8.1.1 拉普拉斯變換的定義 163
8.1.2 拉普拉斯變換的存在定理 165
§ 8.2 拉普拉斯變換的性質 166
8.2.1 線性性質 166
8.2.2 相似性質 167
8.2.3 微分性質 167
8.2.4 積分性質 169
8.2.5 平移性質 170
8.2.6 拉普拉斯變換的卷積 170
8.2.7 拉普拉斯變換的卷積定理 171
§ 8.3 拉普拉斯逆變換 172
8.3.1 反演積分公式 172
8.3.2 留數法 172
8.3.3 部分分式法 173
§ 8.4 拉普拉斯變換的應用 174
8.4.1 微分方程的拉普拉斯變換解法 174
8.4.2 積分方程的拉普拉斯變換解法 175
§ 8.5 用MATLAB運算 176
本章小結 177
練習題 177

附錄Ⅰ Fourier變換簡表 179
附錄Ⅱ Laplace變換簡表 182
附錄Ⅲ ??函數的基本知識 186

參考文獻 190