IMO中的問題、定理與方法：代數卷（簡體書）

國際數學奧林匹克( IMO )，自1959年至今已走過了60多個年頭。中國自1985年首次參加IMO以來，中國隊選手表現優異，共獲得174枚金牌，團體總分23次排名(截至2022年第63屆IMO)。這些成績的取得離不開專家、教練和選手的不懈努力，而其中有益的經驗和做法應該得到梳理和總結。華東師範大學國際數學奧林匹克研究中心團隊對歷屆IMO試題進行了整理與研究，按照IMO試題涉及的數學領域分為代數、幾何、數論、組合四卷，列入“IMO研究叢書”。每卷圖書首先從參賽隊、選手、獎項、試題等方面闡述IMO的起源與發展，並梳理IMO試題的特點與趨勢，然後按章詳細闡述。每章介紹了相關基礎知識與方法，並附有一些典型的例子，再對本章IMO試題按照涉及的知識、方法、特點進行分類，以時間順序排列，並對部分試題提供了多種好的解法，對試題難度進行統計分析，對中國隊的得分情況作了闡述等。書末附有歷屆IMO參賽與獲獎信息，以及組合試題索引，方便讀者查閱以及進一步研究。本套書適合數學競賽研究者、相關教師及參賽選手閱讀。

熊斌，華東師範大學數學科學學院教授，博士生導師，上海市核心數學與實踐重點實驗室主任，華東師範大學國際數學奧林匹克研究中心主任。曾10次擔任IMO中國隊領隊、主教練。在國內外發表了100余篇論文，主編和編著的著作 150多本。2018 年，因過去20年在中國數學競賽方面的卓越成就被授予國際數學保羅·厄爾多斯獎( Paul Erdos Award）。2021年，在第14屆國際數學教育大會（ICME-14）上，受邀做了45分鐘題為“中國的資優生教育——中國數學競賽的概況”的報告。瞿振華，現任教於華東師範大學數學科學學院，研究方向為代數幾何與數論。中學時期曾獲得1999年國際數學奧林匹克金牌。自2010年起，多次參與中國數學奧林匹克、中國女子數學奧林匹克、國家集訓隊等的命題工作，並提供了大量的試題。曾任第59屆國際數學奧林匹克中國隊領隊，並多次作為觀察員參加國際數學奧林匹克。熱心中學數學普及工作，撰寫多篇中學數學普及文章，任《中等數學》雜志編委。陳錦華，華東師範大學數學教育專業博士在讀，研究興趣為數學競賽、數學資優教育、數學問題提出與問題解決、數學身份認同等。中學就讀於華南師大附中奧班，本科、碩士就讀於華南師範大學數學教育專業，學習期間在全國高中數學聯賽、美國中學生數學競賽、全國大學生數學競賽、全國大學生數學建模競賽、美國大學生數學建模競賽等競賽中都獲得不錯的成績。

國際數學奧林匹克( IMO)，自1959年至 今已走過了60多個年頭。中國自1985年首次參加IMO以來，中國隊選手表現優異，共獲得174枚金牌，團體總分23次排名第一(截至2022年第63屆IMO)。這些成績的取得離不開專家、教練和選手的不懈努力，而其中有益的經驗和做法應該得到梳理和總結。
華東師範大學國際數學奧林匹克研究中心團隊對歷屆IMO試題進行了整理與研究，按照IMO試題涉及的數學領域分為代數、幾何、數論、組合四卷，列入“IMO研究叢書”。
圖書首先從參賽隊、選手、獎項、試題等方面闡述IMO的起源與發展，並梳理IMO試題的特點與趨勢，然後按章詳細闡述。每章介紹了相關基礎知識與方法，並附有一些典型的例子，再對本章IMO試題按照涉及的知識、方法、特點進行分類，以時間順序排列，並對部分試題提供了多種好的解法，對試題難度進行統計分析，對中國隊的得分情況作了闡述等。
書末附有歷屆IMO參賽與獲獎信息，以及幾何試題索引，方便讀者查閱以及進一步研究。
本套書適合數學競賽研究者、相關教師及參賽選手閱讀。

一般認為，現今正式的數學競賽始於1894年匈牙利舉行的數學競賽，這項活動逐漸得到世界各國的重視。人們非常貼切地把數學競賽比喻為“思維的體操”，蘇聯（1934年）更是乾脆稱其為“數學奧林匹克”，比起以往的稱呼——“數學競賽”，它更能體現出一種追求卓越才智的奧林匹克競技精神。
到了1959年，數學競賽的國際化成熟了，“國際數學奧林匹克”（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）應運而生。第1屆IMO於1959年在羅馬尼亞布拉索夫舉辦，截至2022年，IMO已經成功舉辦了63屆，其中1980年因故未舉辦。除了2020年因受到新冠疫情影響，由俄羅斯舉辦的第61屆IMO延後至9月之外，IMO通常在每年的7月份舉辦。IMO活動的模式逐漸被固定：正式比賽分兩天，每天4個半小時做3道題目，每題滿分7分，總分42分；正式參加比賽的代表隊由6名選手組成，另派1名領隊（Leader）和1名副領隊（Deputy Leader）。約有一半參賽選手可獲獎牌，其中有1/12左右的學生獲得金牌，2/12左右的選手獲得銀牌，3/12左右的選手獲得銅牌。
IMO是目前世界上最有影響力的中學生數學競賽之一。近年來參與這一賽事的國家和地區已經超過100個，世界上的主要大國全部參與該項賽事。
IMO的試題由各參賽隊提供，然後由東道主組織專家組成選題委員會對這些試題進行研究和挑選，從中選出30道左右的試題作為預選題（Shortlist Problems），代數、幾何、數論、組合這四塊內容各七八道試題，然後提交給由各領隊組成的領隊會議（July Meeting）討論投票表決，最終產生6道試題作為正式考題。東道主不提供試題。
這一活動，對推動世界各國之間數學教育的交流、促進數學教育水平的提高、增加各國青年學生的相互學習和瞭解、激發廣大中學生對學習數學的興趣以及對發現和培養數學資優生都起到了重要的作用。而60多年的發展歷程，是一批數學家、活動組織者、廣大選手共同努力的結果，值得總結與研究。尤其是作為活動最重要的依託——競賽試題的發展、涉及的數學思想與方法更值得研究。其實，我們華東師範大學國際數學奧林匹克研究中心的幾位同事，早在第60屆之前就有研究與出版著作的想法。為此，我們十多人開展了一些研討活動。由於新冠疫情的影響，此項工作有所推遲。根據IMO試題涉及的數學領域——代數、幾何、數論、組合四大類，我們也按照四卷來編寫，總的書名為《IMO中的問題、定理與方法》，列入《IMO研究叢書》。
每卷先介紹相關基礎知識和方法，然後對歷屆IMO試題重新進行分類和整理，對部分試題提供了多種好的解法，並對試題進行難度統計分析，且對中國隊的得分情況作了闡述等。需要說明的是有的試題不太好分類，它可能涉及代數和數論，也可能涉及代數和組合等，我們主要是按照它在預選題中放在哪一類，就把它歸於這一類。
這四本《IMO中的問題、定理與方法》，由本人提出整體寫作方案，諸位作者共同討論，對方案進行細化，分別由陳錦華（代數）、林天齊（幾何）、張耿宇（數論）、徐光宇（組合）完成了大部分初稿，前三冊由本人補充、統稿、定稿，組合分冊由瞿振華補充、統稿、定稿。
感謝歷屆中國隊的領隊，書中從第26屆起的中文試題是用他們在IMO上翻譯的簡體中文版。感謝中國國家隊隊員，書中有一些好的解法選自隊員在IMO上的解答。本書在編寫過程中，參閱了國內外的一些資料，這裡就不一一列舉致謝了。
本書起初成稿，所收集的試題截至第62屆IMO，數據統計也按照第1屆至第62屆來計算。在全書定稿之際，第63屆IMO結束了，中國隊6名隊員全部獲得了滿分，取得了中國隊歷史上最好的成績，於是我們把最新的這屆試題與解答也放入了書中，並對統計數據進行了修改，供大家參考。
雖然作者對IMO的試題努力進行認真研究，提供了一些好的思路和解法，但囿于我們的水平，不當乃至錯誤之處恐難避免，敬請讀者不吝指正。

前言
〇 IMO及代數試題概述

1. IMO的發展
2. IMO的獎項
3. IMO的代數試題概述
4. 總結

一 方程
1.1 常用定理、公式與方法
1. 常見的方程類型
2. 解方程的常用方法
3. 其他重要定理
1.2 IMO中的問題與解答
1. 求方程、方程組的解（無參數）
2. 求方程、方程組的解（含參數）
3. 證明方程、方程組滿足某種關係
4. 探求方程、方程組有解的條件
1.3 本章小結

二 函數與函數方程
2.1 常用定理、公式與方法
1. 常見初等函數
2. 函數的基本性質
3. 函數迭代的常見形式
4. 函數迭代的常用求法
5. 常見的函數方程類型
6. 求解函數方程的常用方法
7. 其他重要定理
2.2 IMO中的問題與解答
1. 證明函數性質
2. 求函數自變量或因變量的數值
3. 求滿足條件的函數表達式
2.3 本章小結

三 數列
3.1 常用定理、公式與方法
1. 常見的數列類型及性質
2. 數列通項求解的常用方法及類型
3. 數列求和的常用方法
4. 證明數列不等式的常用放縮公式
5. 數學歸納法
6. 其他重要定理
3.2 IMO中的問題與解答
1. 求數列某項的數值或項數
2. 數列的存在性問題
3. 證明數列滿足的數量關係
3.3 本章小結

四 不等式
4.1 常用定理、公式與方法
1. 解不等式
2. 平均不等式與柯西不等式
3. 其他著名不等式
4. 證明不等式的常用方法
4.2 IMO中的問題與解答
1. 解不等式
2. 證明不等式
3. 求取值範圍與值問題
4.3 本章小結

五 其他代數試題
5.1 常用定理、公式與方法
1. 常用三角恒等式
2. 證明三角恒等式的常用方法
3. 常見的多項式類型及其性質
4. 處理多項式的常用方法
5. 其他重要定理
5.2 IMO中的問題與解答
1. 證明三角恒等式
2. 求解多項式
3. 證明多項式性質與集合性質
5.3 本章小結

附錄一 歷屆IMO參賽及獲獎信息
附錄二 歷屆IMO代數試題索引
附錄三 人名索引