複變函數引論（簡體書）

《復變函數引論》以解析函數為主線安排了復數與擴充復平面、復變函數與解析函數、復變函數沿有向曲線的積分、級數、奇點與留數、共形映射共6章內容，從微分、積分、級數、在一點處、在一個收斂點列、在一個區域中、共形映射等10個不同的層面來逐步深入地展開對解析函數的討論，并利用解析函數的留數定理來計算一元實變函數的積分。 《復變函數引論》由晏平編著。

第1章 復數與擴充復平面
1.1 復數及其代數運算
1.1.1 復數與共軛復數
1.1.2 復數的四則運算
1.2 復數的幾何表示與復平面
1.2.1 復數與復平面
1.2.2 復數的模與輻角
1.2.3 復數的各種表示
1.3 復數的乘冪與方根
1.3.1 復數乘法、除法的幾何意義
1.3.2 復數的乘冪
1.3.3 復數的方根
1.4 無窮遠點、擴充復平面和復球面
1.4.1 擴充復平面與復球面
1.4.2 關於無窮遠點運算的規定
1.5 區域
1.5.1 區域的概念
1.5.2 單連通區域與多連通區域
1.5.3 無窮遠點的鄰域
1.6 復數關於圓周的對稱點
習題1
第2章 復變函數與解析函數
2.1 復變函數的極限與連續
2.1.1 復數列的極限
2.1.2 復變函數在一點的極限
2.1.3 復變函數的連續性
2.2 復變函數的可導與可微
2.2.1 復變函數導數的定義
2.2.2 可導與連續
2.2.3 求導法則
2.2.4 可導與可微
2.3 解析函數及函數解析的充要條件
2.3.1 解析函數的定義
2.3.2 解析函數的充要條件
2.3.3 形式導數
2.4 初等解析函數
2.4.1 指數函數
2.4.2 對數函數
2.4.3 冪函數
2.4.4 三角函數
2.4.5 反三角函數
習題2
第3章 復變函數沿有向曲線的積分
3.1 復變函數沿有向曲線積分的概念、性質與計算
3.1.1 復積分的定義
3.1.2 復積分存在的條件與計算
3.1.3 復積分的性質
3.2 Cauchy-Goursat基本定理與復合閉路原理
3.2.1 Cauchy-Goursat基本定理
3.2.2 復合閉路定理
3.3 Cauchy積分公式
3.4 解析函數的高階求導公式、Liouville定理
3.4.1 高階求導公式
3.4.2 Liouville定理
3.5 原函數與不定積分
3.5.1 原函數與不定積分
3.5.2 Morera定理
3.6 解析函數與調和函數
習題3
第4章 級數
4.1 復數項級數的概念與性質
4.1.1 復數項級數的定義
4.1.2 復數項級數的判斂
4.2 冪級數58
4.2.1 冪級數的概念
4.2.2 收斂圓與收斂半徑
4.2.3 收斂半徑的求法
4.2.4 冪級數的運算
4.2.5 冪級數的和函數在收斂圓內的性質
4.3 Taylor展開定理
4.3.1 Taylor級數
4.3.2 求解析函數Taylor展開式的方法
4.3.3 綜合例題
4.4 解析函數的唯一性定理及最大模原理
4.4.1 解析函數零點的孤立性
4.4.2 唯一性定理
4.4.3 最大模原理
4.5 Laurent級數
4.5.1 Laurent級數的定義
4.5.2 Laurent級數在收斂圓環域內的性質
4.5.3 Laurent展開定理
4.5.4 Laurent展開定理的應用
習題4
第5章 奇點與留數
5.1 解析函數的奇點分類
5.1.1 解析函數的奇點分類
5.1.2 可去奇點
5.1.3 極點
5.1.4 本性奇點
5.1.5 解析函數在無窮遠點的性態
5.2 留數
5.2.1 留數的定義及留數定理
5.2.2 極點處的留數計算規則
5.2.3 無窮遠點的留數
5.3 留數在定積分計算中的應用
5.4 對數留數與輻角原理
5.4.1 對數留數與輻角原理
5.4.2 Rouché定理
習題5
第6章 共形映射
6.1 共形映射
6.1.1 平面曲線的切線
6.1.2 解析函數導數的幾何意義
6.1.3 共形映射的概念
6.2 分式線性映射
6.2.1 分式線性映射的定義及分解
6.2.2 分式線性映射的保角性
6.2.3 分式線性映射的保圓性
6.2.4 分式線性映射的保對稱性
6.2.5 分式線性映射的保交比性
6.2.6 分式線性映射的應用舉例
6.3 幾個初等函數構成的映射
6.3.1 冪函數與根式函數構成的映射
6.3.2 指數函數與對數函數構成的映射
習題6
習題答案與提示