線性代數(第3版)（簡體書）

《線性代數(第3版)》是根據高等教育本科線性代數課程的教學基本要求編寫而成的.全書分6章，前3章為基礎篇，介紹行列式、矩陣、向量組的線性相關性與線性方程組，后3章為應用提高篇，介紹矩陣相似對角化、二次型及線性空間與線性變換的基礎知識。
《線性代數(第3版)》是為普通高等院校非數學專業本科生編寫的，內容選擇突出精選夠用，語言表達力求通俗易懂，章節安排考慮了不同專業選用方便。《線性代數(第3版)》也可作為大專院校和成人教育學院的教學參考書，還可供參加自考的廣大讀者參考。

《線性代數》（第2版）是我們為普通高等學校非數學專業學生編寫的公共數學基礎課教材。其內容選擇依據教育部高等學校線性代數課程教學基本要求，涵蓋了碩士研究生入學考試大綱的基本要求。其內容組織以矩陣為編寫主線，輔以線性空間，其具體闡述遵循了由淺入深，難點分散的原則，力爭做到刪繁就簡，加強基礎，本教材出版以來，經幾輪使用，師生的反映較好，達到了為學生提供專業學習的數學知識準備和幫助學生打下良好的素質、能力基礎的目的，但在紛繁複雜的世界裡，數學的新應用不斷被發現，需要我們及時傳達給學生，伴隨我國高等教育改革的推進，教材使用者的情況也在不斷變化。需要我們與時俱進，更好地將線性代數作為有用、有趣的課程講授給學生。這次教材修訂的主要內容包括以下兩個方面：首先，習題編寫上作了較大的調整。從習題的層次看，根據小節配置練習，每章再配置習題；從習題的類型看，增加了問答題、選擇題、判斷題等形式的習題；從習題的容量看，習題的量達到原教材的兩倍以上。給學生提供了更大的可選擇空間，讓學生能按照自己的能力和目標接受到更合理、科學的訓練。希望在增強習題訓練的目的性的同時，提高習題的教育功能。其次，正文增加“歷史尋根”、“方法索引”、“背景聚焦”等欄目，介紹一些與線性代數課程相關的數學歷史、數學應用及重要的數學方法，為開闊學生眼界，提高學生素養鋪路架橋。值得注意的是，這部分內容讀懂多少算多少，可能回過頭再看，自然就能理解，有的也許還需要查閱其他參考書，借助於問答題進一步加強代數與幾何的聯繫，幫助學生體會幾何對代數的促進作用。線性代數是最有用、最有趣的大學數學課程之一。從某種意義上說，線性代數是一種語言。建議同學們用學習外語的方法每天學習這種語言。教材習題是為了讓讀者理解教學內容，一個顯著的特點是數值計算並不復雜。要透徹理解每一節內容，必須完成習題。如果能堅持思考每章的問答題，對理解課程內容也是很有益的。修訂工作得到揚州大學教務處和揚州大學數學科學學院的大力支持.
限於編者水平，書中定有許多不妥之處，敬請讀者指正。
編者2010年6月

序
第3版前言
第2版前言
第1版前言
第1章 行列式1
1.1 行列式的定義1
1.1.1 二階、三階行列式1
1.1.2 數碼的排列3
1.1.3 n階行列式的定義5
歷史尋根：行列式8
習題1.1 8
1.2 行列式的性質8
習題1.2 14
1.3 行列式的展開定理14
1.3.1 余子式和代數余
子式14
1.3.2 行列式按行（列）
展開定理15
1.3.3 拉普拉斯（Laplace）
展開定理18
背景聚焦：解析幾何中的行
列式20
習題1.3 21
1.4 行列式的計算22
1.4.1 利用行列式的定義22
1.4.2 化為上（下）三角形
行列式23
1.4.3 利用行列式展開
定理23
方法索引：數學歸納法24
1.4.4 數學歸納法24
歷史尋根：范德蒙25
1.4.5 遞推法26
1.4.6 升階法（加邊法）26
1.4.7 利用已知行列式27
1.4.8 綜合例題28
習題1.4 30
1.5 克萊姆（Cramer）法則30
歷史尋根：克萊姆34
習題1.5 34
總習題一35

第2章 矩陣39
2.1 矩陣的定義與運算39
2.1.1 矩陣的概念39
歷史尋根：矩陣41
2.1.2 矩陣的加法41
2.1.3 數乘矩陣42
2.1.4 矩陣與矩陣的乘法43
2.1.5 方陣的冪運算46
2.1.6 矩陣的轉置47
2.1.7 共軛矩陣48
背景聚焦：天氣的馬爾可夫
（Markov）鏈48
習題2.1 49
2.2 幾種特殊的矩陣50
2.2.1 對角矩陣、數量矩陣
和單位矩陣50
2.2.2 上（下）三角形矩陣51
2.2.3 對稱矩陣和反對稱
矩陣51
2.2.4 基本單位矩陣53
習題2.2 53
2.3 可逆矩陣54
2.3.1 方陣的行列式54
2.3.2 方陣的逆56
2.3.3 矩陣方程59
背景聚焦：矩陣密碼法60
習題2.3 61
線性代數第3版目錄2.4 矩陣的分塊62
2.4.1 矩陣的分塊及運算62
2.4.2 可逆分塊矩陣67
習題2.4 69
2.5 矩陣的初等變換與
初等矩陣69
2.5.1 矩陣的初等變換70
2.5.2 初等矩陣71
2.5.3 初等矩陣與初等
變換73
2.5.4 用初等變換的方法
求逆矩陣74
習題2.5 76
2.6 矩陣的秩77
2.6.1 子式77
2.6.2 矩陣的秩78
2.6.3 初等變換求矩陣的秩78
2.6.4 幾個常見的結論81
歷史尋根：凱萊82
習題2.6 83
總習題二83

第3章 向量與線性方程組87
3.1 線性方程組解的存
在性87
3.1.1 高斯（Gauss）消元法87
3.1.2 線性方程組解的
存在性89
歷史尋根：線性方程組94
習題3.1 95
3.2 向量組的線性
相關性96
3.2.1 n維向量的概念96
3.2.2 線性表示與線性
組合98
3.2.3 線性相關與線性
無關99
3.2.4 線性相關性的幾個
定理100
歷史尋根：向量102
習題3.2 103
3.3 向量組的秩103
3.3.1 向量組的等價104
3.3.2 極大線性無關組與
向量組的秩105
3.3.3 向量組的秩與矩陣
的秩的關系107
習題3.3 110
3.4 向量空間111
3.4.1 向量空間的概念111
3.4.2 基、維數與坐標112
3.4.3 子空間及其維數114
習題3.4 116
3.5 線性方程組解的
結構116
3.5.1 齊次線性方程組解
的結構116
3.5.2 非齊次線性方程組解
的結構120
習題3.5 124
總習題三125

第4章 矩陣相似對角化129
4.1 歐氏空間Rn129
4.1.1 內積的概念129
4.1.2 標準正交基131
4.1.3 正交矩陣及其性質135
習題4.1 136
4.2 方陣的特征值和特征
向量137
4.2.1 特征值和特征向量的
基本概念137
方法索引：求實系數多項式
的實根138
4.2.2 特征值的性質139
背景聚焦：特征值與Buckey
球的穩定性142
4.2.3 特征向量的性質142
歷史尋根：特征值和特征
向量144
習題4.2 145
4.3 矩陣相似對角化
條件145
4.3.1 相似矩陣145
4.3.2 矩陣可對角化
條件147
4.3.3 矩陣相似對角化的
應用149
背景聚焦：工業增長模型151
習題4.3 152
4.4 實對稱矩陣的相似
對角化153
4.4.1 實對稱矩陣的特
征值和特征向量153
4.4.2 實對稱矩陣相似
對角化153
背景聚焦：面貌空間157
習題4.4 157
4.5 Jordan標準形
介紹158
4.5.1 Jordan矩陣158
4.5.2 Jordan標準形
定理159
4.5.3 Jordan標準形的
求法160
歷史尋根：矩陣論165
總習題四166

第5章 二次型169
5.1 二次型及其矩陣
表示169
5.1.1 基本概念169
5.1.2 線性替換171
5.1.3 矩陣的合同172
歷史尋根：二次型172
習題5.1 173
5.2 化二次型為標準形173
5.2.1 正交替換法174
5.2.2 配方法176
5.2.3 初等變換法178
習題5.2 180
5.3 化二次型為規范形181
5.3.1 實二次型的規范形181
5.3.2 復二次型的規范形183
習題5.3 184
5.4 正定二次型和正定
矩陣184
5.4.1 基本概念185
5.4.2 正定二次型的判定185
5.4.3 正定矩陣的性質191
5.4.4 其他有定二次型192
習題5.4 193
總習題五194

第6章 線性空間與線性
變換197
6.1 線性空間的概念197
6.1.1 線性空間的定義與
例子197
6.1.2 線性空間的簡單
性質199
6.1.3 子空間200
6.1.4 實內積空間201
習題6.1 203
6.2 線性空間的基、維數
和坐標204
6.2.1 基與維數205
6.2.2 坐標206
6.2.3 基變換與坐標變換207
習題6.2 210
6.3 線性變換210
6.3.1 線性變換的概念210
6.3.2 線性變換的簡單
性質212
6.3.3 線性變換的矩陣
表示213
習題6.3 215
6.4 線性變換在不同基下
的矩陣215
習題6.4 218
總習題六219
附錄222
附錄A矩陣特征問題的
數值解222
附錄B廣義逆矩陣簡介227
附錄C數域與多項式
簡介230
附錄DMaple的基本
知識234
部分習題答案與提示240
參考文獻261