分次模態語言的模型論（簡體書）

《分次模態語言的模型論》是國家社科基地西南大學邏輯與智能研究中心教育部重大課題攻關項目“現代歸納邏輯的創新功能與應用以及認知基礎”（05JZD0008）的研究成果之一。本書把經典邏輯的這些結果推廣到分次模態邏輯，所展現的主要技術性結論都是新成果。該書可能需要的對象：高等院校哲學系或數學系邏輯教學和研究單位，全國社會科學和自然科學研究機構中邏輯分支機搆，全國高等院校和研究機構的圖書館。讀者面向研究和學習模態邏輯的專家學者和研究生。·

《分次模態語言的模型論》由科學出版社出版。

總序
前言
導論
第1章　計數模態語言
第2章　分次模態語言的關係語義學
第3章　分次模態餘代數
第4章　公理系統和完全性
第5章　餘代數對應理論
第6章　有限模型性質
第7章　公式的分類
第8章　分次模態邏輯的擴張
參考文獻
附錄A　模型論與泛代數
附錄B　基本模態邏輯
附錄C　餘代數理論
後記 ·

第1章 計數模態語言
本章是計數模態語言的簡要引論。1.1 節首先討論研究動機。然后在1.2 節正式引入計數模態語言及其關系語義學。1.3 節引入一些基本模型構造方法并證明相應的保持結果，第2 章會使用這些結果。1.4 節集中考慮一種特殊的計數模態語言，即分次模態語言，主要目的是對目前已有的模型論方面的結果進行概述。
1.1 模態邏輯的語義視角
自20 世紀60 年代以來，邏輯學家們認識到，在關系語義學中解釋的模態算子，只不過是沒有明確約束個體變元的“局部”量詞。“局部”這個詞的意思是，作為量詞的模態詞算子僅以所有可及狀態為量化域。因此，從語義角度看，基本模態邏輯與一階邏輯(FOL) 并非如此不同，因為兩者都能用來談論關系結構的性質。另一方面，一階邏輯與模態邏輯也存在重要差異，就表達力而言，前者要遠遠強于后者。在模型層次上，模態邏輯是FO2 的一個片段，這里FO2 是一階邏輯帶兩變元的片段。更確切地說，根據范本特姆(J. van Benthem)刻畫定理，模態邏輯是一階邏輯(或FO2，因為模態邏輯可以嵌入FO2)的互模擬不變片段。然而，模態邏輯有一些非常好的邏輯性質和計算性質，比如可判定性和低程度的計算復雜性，而一階邏輯不具有這些性質。因此，如果我們想獲得表達力更強的模態語言，但是又保持基本模態邏輯的優良性質，一種方法就是通過增加新模態詞對基本模態邏輯進行擴張，這些新模態詞在基本模態邏輯中是不能定義的。邏輯學家們一直在探索這個研究方向。
本書采取的研究思路如下：從與語義視角相反的角度看，任給量詞Q，都可以抽象出一元模態詞.Q，它是關系結構上的一個局部量詞。這條從量詞到模態詞的道路也可以在斐尼的論文(Fine, 1972a)中找到，該文引入了數字量詞的模態對應算子。一個帶數字量詞的一階公式的形式是.nxα(x)，它在一個一階模型中是真的當且僅當至少存在n 個個體滿足α(x)(Tarski, 1941)。顯然這些量詞在帶等詞的一階邏輯中是可定義的，但是在不帶等詞的純一階邏輯中是不可定義的。一階公式.nxα(x)的模態對應公式可以寫作.nα，它在一個關系模型中狀態w 上是真的當且僅當w 至少有n 個可及狀態滿足α。
更一般地，由于有限多個(無限多個)和可數多個(不可數多個)這樣的概念常常在數學中使用，它們在一階邏輯中是不可定義的，因此可以引入新的量詞來豐富一階邏輯，從而使這些概念得以表達。莫斯托夫斯基(Mostowski, 1957)提出的廣義量詞理論，開啟了通向一階邏輯擴張的模型論之門。任給無限基數κ，新語言FOL(Qκ)從FOL 增加新量詞Qκ得到。如下解釋形如Qκxα(x)的新公式：
M Qκxα(x)當且僅當存在κ個元素b 屬于M 使得M α(x)[b]。令α(x1, ..., xn)M = {(a1, ..., an) : M α(x1, ..., xn)[a1, ..., an]}。那么M Qκx α(x) 當且僅當| α(x1, ..., xn)M | ≥κ。例如，在語言FOL(Q0)中，可以表達“存在可數多個”這個概念。在這些基數邏輯中，一個重要結果是“存在不可數多個”這個量詞的邏輯可以使用一束相當簡單的公式來公理化，這些公理是凱斯勒(Keisler, 1970)給出的。對這些基數量詞來說，通過推廣斐尼(Fine, 1972a)的方法，也可以抽象出對應的基數模態詞。
現在正式引入基數模態詞。令M = (W, R, V)是關系模型，w ∈W 并且w ↑ = {v ∈W : Rwv}。對任何公式φ，令φM 是φ在M 中的真集。對每個自然數n > 0，定義模態詞.n 如下：
M, w .nφ當且僅當| w ↑∩φM | ≥ n。公式.nφ的意義是至少存在n 個后繼狀態使φ真。同樣，可以把數字模態詞推廣到任意基數模態詞。對每個基數κ，定義模態詞.κ如下：
M, w .κφ當且僅當| w ↑∩φM | ≥ κ。考慮在基本模態邏輯基礎上增加基數模態詞的擴張。在有限基數的情況下，增加所有.n(n > 0) 而獲得的擴張仍然是帶等詞一階邏輯的片段。然而，在無限基數的情況下，所獲得的模態語言比一階邏輯的表達能力更強。本書所要研究的主要內容就是有限基數的模態邏輯。在1.4 節，筆者將概述目前文獻中所得到的關于分次模態邏輯的模型論結果。下面首先以形式的方式定義計數模態語言、關系語義以及相關的句法和語義概念。
1.2 計數模態語言
基數可用于計算一階結構中具有特定性質的個體的數目，在關系結構中，它們也可以用來計算具有特定性質的可及狀態的數目。本節以形式的方式定義計數模態語言及其關系語義學，還包括一些有用的基本概念。