拓撲群引論(第二版)（簡體書）

黎景輝

澳大利亞悉尼大學數學系教授，國際知名的數學家。1974年在美國耶魯大學獲博士學位，曾在世界上若干重要的研究機構和高等學校任職，主要的研究方向是代數學，在現代數論的主要方向(模形式與自守表示、算術代數幾何)上都有很深的造詣。

《現代數學基礎叢書》序第二版序第一版序第1章拓撲群................................................................. 1
1.1 群和拓撲空間.......................................................... 1

1.2 拓撲群................................................................. 7

1.3 拓撲群的鄰域組.......................................................10

1.4 子群和商群........................................................... 13

1.5 拓撲群的積........................................................... 19

1.6 分離性................................................................ 20

1.7 連通性................................................................ 23

1.8 拓撲變換群........................................................... 27

1.9 反向極限和拓撲群.................................................... 29

習題........................................................................ 32

第2 章拓撲群上的積分...................................................... 35

2.1 測度...................................................................35

2.2 不變測度.............................................................. 42

2.3 Haar 測度的存在性和唯一性.......................................... 48

2.4 Haar 測度的性質...................................................... 56

2.5 相對不變測度......................................................... 63

2.6 卷積...................................................................70

習題........................................................................ 72

第3 章局部緊交換群.........................................................75

3.1 對偶群................................................................ 75

3.2 緊生成交換群的結構和對偶........................................... 81

3.3 對偶定理.............................................................. 84

3.4 Fourier 變換...........................................................85

3.5 Poisson 求和公式......................................................90

3.6 Tauber 型定理........................................................ 91

習題.......................................................................103

第4 章緊群的表示.......................................................... 106

4.1 群表示............................................................... 106

4.2 緊群的表示.......................................................... 125

4.3 緊群的淡中對偶......................................................134

4.4 李群................................................................. 138

習題.......................................................................148

第5 章齊性空間............................................................ 153

5.1 緊齊性空間.......................................................... 154

5.2 算術商的譜分解......................................................163

5.3 微分方程.............................................................181

5.4 齊性空間的微分運算元................................................. 193

習題.......................................................................196

第6 章群代數...............................................................201

6.1 群代數表示.......................................................... 201

6.2 Plancherel 定理...................................................... 212

6.3 Fourier 代數..........................................................216

習題.......................................................................221
第7 章K 理論.............................................................. 223

7.1 拓撲K 理論......................................................... 223

7.2 C. 代數的K 群...................................................... 231

7.3 C. 代數的解析K 同調群............................................ 234

7.4 KK 理論............................................................. 236

參考文獻.......................................................................240

索引........................................................................... 245

《現代數學基礎叢書》已出版書目............................................. 248

第1 章拓撲群
本章講解拓撲群的基本操作、同態、子群、商空間、反向極限.最簡單的拓撲群是實數R和2× 2 矩陣群
.. ab ..
GL2R=cd |a,b,c,d ∈ R,ad. bc =0..
第一個商空間的例子便是R/Z.反向極限的例子是limZ/PnZ.
1.1 群和拓撲空間
為了閱讀方便,我們先簡述一下群和拓撲空間的內容.一個群是一個集合與一個在其中定義的二元運算(G,),它滿足下面三條公理:
?
(1)(ab)c=a(bc),.a, b, c ∈ G;

(2)存在單位元e,使得ea=ae=a,.a ∈ G;

(3) 對任意a ∈ G,存在a.1 ∈ G,使得a.1a = aa.1 =e.若二元運算是對稱的,即ab=ba,則G稱為交換群或Abel群.
設N是G的一個子集,若N對G中的運算構成群,則稱N為G的子群.若一個子群N滿足
a.1Na = {a.1 na|.n ∈ N} = N, Va ∈ G,
則稱N為G的正規子群,記為N.G.這時我們可以作G模N的商群,這是由G模下述等價關係ρ而得到的等價類構成的群:
a ～ ρ bab.1 ∈ N. .
事實上,它就是G關於N的所有陪集所組成的群,記為G/N.設G1,G2皆為群,e1,e2分別為G1,G2的單位元,若一個映射
.:G1G2,
→
a .→ .(a),
滿足
.(ab)=.(a).(b),.a, b ∈ G1,
←n
則我們稱.是G1到G2的同態,同態的核是Ker.={a ∈ G1|.(a)=e2}.如果Ker.={e1},則稱.是單的..的像集是Im.={b ∈ G2| 存在a ∈ G1,使b=.(a)}.若Im.=G2,則.稱為滿的.當同態.既單又滿時,則稱.是同構,這時我們說G1和G2同構,記為G1～一般地, 總有
=G2.G1/Ker.～
=Im..
設N為G的正規子群,則我們有同態映射ρ:G→ G/N.設另有一同態:G→ H, 且N . Ker.,則必存在同態.. : G/N → H, 使得. = .. . ρ, 也就是說, 使得下圖
ρ
.

H
????????
是交換圖, 這稱為商群的萬有性質.
G /
G/N
..
設I為一指標集合,Gi,i∈ I 全是群, 則我們可以作這些群的乘積
G=.Gi,
i∈I
其元素形式為a=(ai)i∈