小學數學教法探微：種有深度的同課異構研究（簡體書）

本書將通過展示不同學段、不同領域的同課異構課例，展示相同的課題在不同理念和教學方法指導下不同的教學設計以及由此所產生的不同教學效果。通過對不同教法的反思與對比，挖掘出隱藏在不同教法背後的深刻原因，引導教師從不同角度對我們的教學進行深度思考，以達到教學的*化。

林碧珍，福建省特級教師，小學中學高級教師職稱，“福州市小學數學林碧珍名師工作室”領銜名師。福建省學科帶頭人，福州市名學科帶頭人，福建省首屆名師培養人選。所執教的多節觀摩課分別獲得了省一等獎和全國優質課獎。在《福建教育》《小學教學研究》等刊物上發表專業論文二十餘篇，其中2篇被中國人民大學複印報刊資料庫全文轉載，出版有《給小學數學教師的46條建議》《新課程標準例釋（小學數學卷）》《數學思維養成課——小學數學這樣教》等專著。

相同的教學內容，在不同的教師解讀下有著不同的韻味。同課異構，經歷破—立—破的過程，教學的思想以及方法變的既深且新。

第一編 數與代數 

1.教材解讀的三重境界

2.法中見理理中得法

3.以生為本,讓複習課別樣精彩

4.課堂教學的三重境界

5.關注學情、引探結合，達成有效探究

6.以學定教，自然生成

7. 基於學生認知起點，增強教學有效性

8. 基於學情分析的目標設定

第二編 圖形與幾何 

1.抓住本質屬性正確理解概念

2.好課多磨

3.幾何教學的四部曲

4.把握數學本質積累活動經驗

5.教研相長重塑經典

6.基於學生認知提升課堂效率

7.關注新教材變化增強教學有效性

8.小學數學課堂中的“思辨”

9.細節決定成敗

10.抓住數學本質在異中求同

第三編 統計與概率綜合與實踐等

1.讓學生們學習有感覺的數學

2.豐富資料感知發展資料分析觀念

3.構建高效的數學“實踐活動”課堂

4.數學課堂教學要為學生鋪“路”搭“橋”

5.以評促教構建有效課堂

6.“學習共同體”，創造數學課堂新風景

7.如何在小學數學教學中滲透數形結合思想

8.借力學科本體知識，解讀教材，精準教

教材的解讀可以分為三重境界：讀懂、讀通和讀活。讀懂是指基本理解數學文本描述的內容，能較準確地定位該教材內容所承載的數學基礎知識與基本技能。讀通則是在讀懂文本所承載的知識與技能這一明線後，能透過這一明線，深入理解並挖掘隱藏在知識背後的數學思想、數學活動經驗等。讀活是教材解讀的最高境界，是指能根據數學的學科特點，創造性地對教材進行合理的整合，使其更符合學生的認知規律，能更有效地促進學生的發展。

對教材的不同境界的解讀，折射到課堂教學中就會產生不同的教學設計和教學效果。下面，筆者選取兩節“有餘數的除法”的同課異教，以此來分析不同教學設計背後折射的教師對教材不同境界的解讀

“有餘數的除法”的同課異構及思考

案例一：教師設計了四個教學環節幫助學生理解餘數的意義，並逐步引導學生正確地用有餘數的除法算式來表示平均分的過程中有剩餘的情況，完成人教版二年級下冊第60頁例1的教學。

一、比較感知，理解餘數的概念

1.教師為學生設計了兩次用小棒擺三角形的活動(第一次用9根擺，第二次用10根擺)，在擺的過程中比較兩次的結果有什麼不同，從而引出在平均分的過程中會出現剩餘的情況。

2.教師引導學生探索怎樣用算式來表示剛才擺三角形的過程，並在探索中初步理解餘數的概念。

二、再擺小棒，加深對餘數的認識

1.教師再一次為學生設計了擺小棒的活動，讓學生從四邊形、五邊形中選出自己喜歡的圖形，用11根小棒擺一擺，並學著用算式來表示擺的過程。

2.學生操作彙報之後，教師引導他們在比較的過程中，總結提煉，加深對有餘數除法的認識，充分感受到平均分有剩餘時，可以用有餘數的除法算式來表示，並能正確地用有餘數除法的算式表示擺四邊形和五邊形的過程。

三、課堂練習，鞏固新知

在教師的指導下，學生完成教材中的做一做，進一步鞏固對有餘數除法的認識，用有餘數的除法算式來表示平均分後有剩餘的情況。

四、回顧總結，暢談收穫

案例二：教師在教學時，打破了教材的原有結構，大膽地組合了教材，以用花瓣擺花貫穿全課。學生經歷動手操作、大膽猜想、實踐檢驗等過程，不僅理解了有餘數除法的意義，同時也在猜想驗證、比較觀察中自主探索出餘數與除數的關係。更重要的是，教師在教學過程中，還適時地引導學生感受了分類、歸納推理等數學思想。

一、創設情境,導入新課

教師為學生創設了用花瓣擺四瓣花的操作情境，並準備了總量不同的花瓣（8片、9片、10片、11片）。教師先讓學生利用手中的花瓣擺四瓣花，然後引導學生觀察比較擺花結果的不同並分類。學生在操作中感受平均分物體時會有剩餘和沒剩餘兩種情況，自然地引出有餘數的除法，同時也感悟分類在數學研究中的妙用。

1.春天到了，公園裡的花都開放了，你們看這是幾瓣花呢？（出示3瓣、4瓣、5瓣花，讓學生邊欣賞邊數一數。）

2.你們看這些花多美啊！你們想自己動手來擺一擺嗎？

（1）出示擺花要求。

（2）同桌合作，用信封中的花瓣（8片、9片、10片、11片）擺四瓣花。

（3）展示不同花瓣數所擺出的不同情況。

（4）根據擺花的不同結果，把上面幾種擺法分分類（分為有剩餘的和沒有剩餘的兩類）。

（5）小結：看來平均分物體時可能會出現兩種情況，有剛好分完的情況，也有不剛好分完的情況。今天這節課我們就來研究這種平均分後有剩餘的情況。

二、合作交流，探索新知

1.教師結合分類，引導學生感受平均分物體時不正好分完，剩餘的部分就是餘數，説明學生理解餘數的意義。

(1)8片花瓣，每4片擺一朵，可以擺出2朵，你能用算式來表示嗎？師板書算式，並引導學生說出算式中各數字所代表的意思。

(2)9片花瓣，每4片擺一朵，可以擺出2朵，還剩1片。用算式怎麼表示？為什麼還是用除法？這裡的除法與前面這個除法最大的不同在哪裡？那該怎樣用算式表示呢?(生獨立思考後和同桌交流討論。)師重點引導：剩餘的1片怎麼表示？並告訴學生這個剩餘的數在除法算式中叫作餘數。同時板書課題：有餘數的除法。

(3)指導學生讀算式，並說說算式所代表的意義。

2.師生共同合作，探索用算式來表示擺花瓣的結果，幫助學生進一步理解餘數的意義，並能用有餘數的除法算式來表示平均分後有剩餘的情況。

(1)10片花瓣，每4片擺一朵，讓學生嘗試把擺花的過程用算式來表示。

(2)生彙報：讀並說出算式所表示的意義。

(3)11片花瓣，每4片擺一朵，請學生獨立用算式表示，並和同桌說一說，你是怎麼寫的。

3.教師再一次引導學生觀察有餘數的除法算式之間的不同，引導學生得出：除數不變，餘數會隨著被除數的增大而增大的猜想。

(1)引導學生觀察4個算式的不同之處。

(2)引導學生觀察有餘數的除法，看看有餘數的除法算式中又有什麼不同？（生：餘數越來越大；被除數越來越大。）師引導生觀察是哪個的變大引起餘數變大。

(3)師引導猜想：是不是被除數越大，餘數也越大？如果有12片花瓣、13片花瓣、14片花瓣、15片花瓣，分別可以擺幾朵？餘數是不是像大家猜想的那樣，會越來越大呢？如果不是，那麼餘數又是幾呢？

4.教師增加了花瓣的總數，引導學生通過再次操作來驗證自己的猜想。這個過程，學生不僅實現了對有餘數除法的進一步認識，同時也為後續探索餘數與除數的關係提供了豐富的資源。

(1)請學生在練習單上列算式，若感到有困難可以借助提供的花瓣圖來圈一圈。

(2)學生彙報，依次出示算式：

12片：12÷4=3（朵）

13片：13÷4=3（朵）……1（片）

14片：14÷4=3（朵）……2（片）

15片：15÷4=3（朵）……3（片）

5.學生通過操作、觀察，發現餘數並沒有像自己猜想的那樣越來越大，而是迴圈地出現。這一現象再一次引發學生對餘數所呈現規律的猜想（餘數不會超過3），並自發地提問：為什麼餘數不可能是4片、5片、6片、7片，甚至更多呢？

(1)驗證猜想：剛才大家猜被除數越來越大的時候，餘數會越來越大，通過操作，你們發現結果跟剛才所想的一樣嗎？那你發現餘數有什麼特點？

(2)生觀察、討論、交流,餘數總是哪些數？為什麼餘數不可能是4、5、6，甚至其他數呢？

6.在不斷地猜想和驗證的過程中，學生自主探索出餘數要比除數小的規律，並能根據自己的操作，合理地解釋這一規律存在的道理。

三、鞏固新知，拓展延伸

1.如果用這些花瓣擺五瓣花，你覺得餘數可能出現什麼情況？

2.如果用這些花瓣擺三瓣花，你覺得餘數可能是什麼情況？

3.把這些花瓣擺成3朵花，平均每朵幾片花瓣？還剩幾片花瓣？

（1）課件展示一堆花瓣，師引導：要擺成3朵花，不知道總數，怎麼擺？（引導學生平均分時應一份一片、一份一片地分。）

（2）擺到每朵4片時，還剩3片，夠分嗎？（引導學生明確夠不夠分，跟每朵幾片無關，而是與平均分幾份有關，也就是餘數與除數有關而與商沒有關係。）

……

同課異構帶來的思考：對一線教師而言，讀懂教材並不難。正如案例一所呈現的那樣，教師在解讀教材時能很好地理解教材中例一所描述的內容，準確地定位知識與技能目標。整節課教師能緊緊圍繞知識與技能目標設計並展開教學。課堂中學生對有餘數除法的相關內容也能準確理解。但與案例二相比較，就不難看出兩位教師在教材解讀境界上的區別。案例二的教師不僅讀懂了教材，還能透過數學知識本身，讀出隱藏在數學知識背後的數學思想（分類、推理等）和探索數學知識的經驗（大膽猜想—舉例驗證—得出結論），讀通了教材，並且靈活地對教材中的例1（理解有餘數的除法意義）和例2（探索餘數與除數的關係）進行創造性地整合，有效地達成了教學目標。在教學完有餘數除法的意義後，教師再一次讓學生觀察有餘數除法的幾個算式有什麼不同，並引導學生大膽猜想：是不是被除數越大，餘數就會跟著越來越大。在此基礎上，教師讓學生帶著猜想進行操作。這樣既鞏固了對有餘數除法的理解，又為餘數的變化規律的探索做好鋪墊。操作中，學生發現餘數的變化是有規律的，總是比除數小，結果與自己的猜想不一致。這一發現引發了學生的有效提問：“為什麼餘數不可能是4片、5片、6片、7片，甚至更多呢？”這一問題再一次鞏固了學生對有餘數除法意義的理解,為探索餘數與除數的關係找準了突破口。這樣的整合和設計充分展示了讀通、讀活教材給課堂教學帶來的無窮魅力。

教材解讀的策略與方法

從前面的分析中不難看出，讀通、讀活教材對課堂教學的實施有著重要的影響。那麼，怎樣才能讀通、讀活教材，並在課堂中呈現呢？

一、立足知識大背景，找準知識之間的聯繫

要讀通、讀活教材，首先不能拘泥於每一課時的教材內容，應立足於知識的大背景進行思考。比如在分析“一個數除以小數”這一教學內容時，我們不能僅停留在例題的解讀上，要跳出例題看教材，立足於除法這一教學大背景中來分析教材，並思考以下幾個問題：除數是小數的除法是建立在哪些知識的基礎上進行學習的？這些知識又為除數是小數的除法的學習做了哪些鋪墊？通過分析，我們清楚地知道，除數是整數的除法、小數除以整數、商不變的規律，都是學習除數是小數的除法的基礎。學習中，學生只需對除數中的小數進行轉化，把除數轉化為整數，就能解決該問題。因此，隱藏在知識與技能背後的另一重要教學目標就是，這節課需要為學生滲透轉化的數學思想，積累出新舊聯繫的數學活動經驗。通過這樣的解讀，我們明晰：教學不能僅僅滿足于讓學生理解算理、掌握算法，還應讓學生感悟轉化的數學思想，並能主動地運用化新為舊的方法，借助商不變的規律把除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法，從而獲得問題的解決。

從上面的分析中不難發現，當我們跳出教材例題，立足於知識的大背景來解讀教材時，我們就能深刻地挖掘教材背後所隱藏的數學思想和方法，從而達到讀通教材的境界。

此外，我們在解讀教材時還要關注知識之間的溝通與聯繫。數學知識之間大都存在著密切的關係。我們在解讀教材時應考慮引導學生用聯繫的眼光看待這些數學知識，引導學生運用類比的數學思想來探索和發現新知識。比如除法、分數和比之間的聯繫。我們在解讀教材和教學中就要善於抓住這些知識之間的聯繫和變化，把商的變化規律、分數的基本性質、比的基本性質這些知識聯繫起來。如解讀分數的基本性質這一教材內容時，我們要把它和商的變化規律進行比較，在教學中引導學生思考“為什麼分數的基本性質與商不變的規律如此相似”，從而讓學生感受到除法與分數之間存在的聯繫。當學生會用聯繫的觀點學習時，他們就會感覺數學學習很簡單。這樣，所有的知識不再是一顆顆零散的珍珠，而是一串價值連城的珍珠項鍊了。

二、對比新舊教材，挖掘變化背後的原因

新修訂的教材在結構、內容、知識出現的順序、呈現的方式、板塊的設計、教學要求等方面都發生了很大的變化。然而，所有的變化都是為了使之更符合學生的認知規律，更有利於學生對數學知識的理解、獲得數學的基本思想方法和基本活動經驗，形成運用數學的能力。因此，我們在解讀教材時，應對新舊教材的變化進行細緻的解讀，讀懂教材變化背後的原因。這樣可以幫助我們讀通、讀活教材。以人教版六年級上冊“圓的認識”為例，實驗版教材從引導學生動手畫一畫、折一折、量一量等操作活動入手，讓學生在操作中掌握圓的特徵，然後再教學用圓規畫圓的方法；而新修訂的教材則是先教學用圓規畫圓的方法，然後再教學圓的特徵。雖然只是教學順序上的細微變化，但認真思考這一變化，我們發現，畫圓的過程正是學生探索圓的特徵的基礎和源泉。學生在畫圓的過程中，需要保持針尖的位置不變（定點），實際就是圓的圓心；而要畫好一個圓，圓規兩腳張開的大小要始終保持不變（定長），這定長就是圓的半徑，兩腳之間的距離不變也就是圓的半徑相等；而畫圓的每個動作都在尋找與圓心距離相等的點，這些點的軌跡就形成了圓，且個數是無限的，所以半徑的條數也是無限的。在畫圓的過程中，學生直觀地理解了“圓是到定點距離相等的點的軌跡”這一抽象的圓的概念，同時也對圓的特徵有了深刻的體驗。在此基礎上，教師再提煉總結圓的特徵就水到渠成了。通過這樣的對比，我們就把教材讀活了。在實施教學時，我們就可以對教材進行重組：把特徵的認識與畫圓兩個環節有機地結合在一起進行教學。這樣，我們的教學設計就更符合學生的學習特點。理解新舊教材變化背後的原因，為我們讀通、讀活教材指明了方向。

三、站在學生角度看教材，合理整合靈活運用

陶行知先生多次告誡教育者：“我們必須會變小孩子，才配做小孩子的先生。”所謂“會變小孩子”，就是教師儘量使自己具備學生的心靈，用學生的大腦去思索，用學生的眼光去看待，用學生的情感去體驗……這就要求教師在解讀教材時，要顧及學生獨特的生命表現力和情感體驗，根據學生的思維方式、心理特徵、關注焦點，設身處地地從學生角度看教材，從教材中挖掘重難點以及學生的易錯點，整合教學例題，用活教材。以人教版五年級上冊“除數是小數的除法”為例，教材中安排了兩個例題，第一個例題呈現的是被除數和除數均是兩位小數的情境，第二個例題則呈現被除數和除數的位數不同的情境。站在編者的角度思考，我們發現，教材例4中被除數和除數的位數相同，學生能輕鬆地運用轉化的數學思想把除數和被除數轉化為整數，再根據整數除法的法則進行計算。在此基礎上，教材再呈現例5，學生有了前面轉化的經驗，這時只要把關注點放在被除數和除數的小數字數不同時，要把除數轉化為整數，再根據商不變的規律，移動被除數的小數點位置即可。這樣分兩個例題進行教學，可以大大降低難度並減少學生出現錯誤的機會。但站在學生的角度思考，我們發現這樣的編排給學生搭的“腳手架”太多，不利於學生展示個性化的解決問題策略，也不利於學生解決問題能力的提升。根據小學生的認知特點，我們認為，應當把教學點定位在學生的最近發展區，例題設計有一定的挑戰性，或者能誘導學生進入思維誤區，更有利於激發學生的探索熱情，更能促進學生的發展。通過這樣的解讀與思考，我們對教材的例題進行了改造。我們把教材例4中的資料改為被除數和除數字數不同的情境：奶奶編一個“中國結”需要085米絲繩，有153米的絲繩，可以編幾個“中國結”？這樣一來，被除數和除數字數不同，學生在解決問題的過程中就會出現三種不同的解決方法：把153÷085轉化為153÷85、153÷85、1530÷85。我們在展示三種不同的方法後，充分利用把153÷085轉化為153÷85（小數點移動的位數不同，轉化後商會發生變化）和把153÷085轉化為153÷85（雖然轉化正確，但還是不能有效地解決問題）這兩種資源，引導學生在觀察比較中深刻理解除數是小數的除法計算的算理和算法，在正誤的對比中突出了重點，突破了難點。通過整合，所呈現的例題更具有挑戰性，滿足了學生個性化解決問題的需求，同時在發現錯誤、糾正錯誤中深化了學生對除數是小數的除法計算方法的認識。課堂教學中，學生興趣盎然，探索味特別濃。由此可見，教師在解讀教材時站在學生的角度思考，巧妙地整合例題，可以用活教材，使教學更符合學生的認知規律。拆分、整合或調整例題的順序都是讀活教材的好方法。

四、關注明暗兩線，調整教材編排順序

數學思想往往隱藏在數學知識的背後。我們在解讀教材時，如果既能關注知識技能這一明線，又能關注隱藏在數學知識背後的數學思想的這條暗線，在明暗兩線之間找到平衡點，並利用這一平衡點對教材的順序進行適當地調整，那我們的教學就既能幫助學生更好地掌握知識和技能，又能幫助學生感悟、體會和運用數學思想方法。比如，通過對人教版四年級上冊第四單元“積的變化規律”和第六單元中“商的變化規律”的分析，我們認為，兩者在探索的過程中都滲透了合情推理的數學思想（不完全歸納法）。學生在探索時都必須經歷“呈現例子—得出猜想—舉例驗證—得出結論”的探索過程。而且，“積的變化規律”是學生第一次嘗試用這種思想方法探索規律，也是對運用不完全歸納法的第一次完整的感悟。因此，我們認為，教學此課不能僅停留在讓學生理解並掌握積的變化規律上。經歷合情推理的整個過程，感受不完全歸納的數學思想方法才是本節課的重點和難點。當學生積累了合情推理的探索經驗後，在學習“商的變化規律”時，學生就完全可以在此基礎上自覺運用這種思想方法探索商的變化規律。通過對思想方法這一暗線的分析，又結合這兩單元教材知識體系之間的聯繫，我們對教材的編排順序做了大膽的調整：先教學“三位數乘兩位數”和“除數是兩位數的除法”的計算方法，兩個單元的計算都教學完畢後再教學“積的變化規律”和“商的變化規律”。在教學“積的變化規律”時，我們直接出示課題，告訴學生要研究的內容。接著，師生共同圍繞“積的變化規律應該在什麼樣的式子中研究”“你認為乘法式子中誰的變化會引起積的變化”“積的變化與因數的變化之間存在什麼樣的規律”等問題展開研究。到了教學“商的變化規律”時，當我們呈現課題後，學生就都非常自然地提出：商的變化規律要在什麼式子中研究？商的變化與誰有關？商的變化與被除數的變化之間存在什麼樣的關係？商的變化與除數之間又存在什麼樣的關係？商有變化的規律，那在什麼情況下商會不變呢？……從這些直指數學本質的系列問題中，我們不難發現，學生對不完全歸納的數學思想方法有了深刻的感受。這為學生今後自覺運用不完全歸納的數學思想方法探索其他知識奠定了良好的基礎，也有助於學生探索能力的提升。

讀通、讀活教材的方法還有很多，如對比不同版本的教材異中求同、縱觀十二冊教材準確把握尺度等。每個教師對教材解讀的角度和思考是不相同的，它需要經驗的積累，更需要不斷地把自己解讀後的思考，運用於教學實踐，並通過教學實踐的檢驗。

（作者：林碧珍）