數學分析‧第一卷(第7版)（簡體書）

本書是作者在莫斯科大學力學數學系多遍講授數學分析課程的基礎上寫成的，自1981年第1版出版以來，到2015年已經修訂、增補至第7版。作者加強了分析學、代數學和幾何學等現代數學課程之間的聯繫，重點關注一般數學中有本質意義的概念和方法，採用適當接近現代數學文獻的語言進行敘述，在保持數學一般理論敘述嚴謹性的同時，也儘量體現數學在自然科學中的各種應用。
全書共兩卷，第一卷內容包括：集合、邏輯符號的運用、實數理論、極限和連續性、一元函數微分學、積分、多元函數及其極限與連續性、多元函數微分學。
本書觀點較高，內容豐富新穎，所選習題極具特色，是教材理論部分的有益補充。本書可作為綜合大學和師範大學數學、物理、力學及相關專業的教師和學生的教材或主要參考書，也可供工科大學應用數學專業的教師和學生參考使用。

作者：B. A. 卓裡奇，數理科學博士，莫斯科大學數學力學系數學分析教研室教授，現已退休。

譯者：李植，北京大學工學院副教授，流體力學學科點副主任。莫斯科大學數學力學系博士畢業，研究領域為：流體力學、水波動力學、環境熱力學，擔任國際雜誌Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 的編輯。

前輔文
《俄羅斯數學教材選譯》序
中文版序言
第7版和第6版序言
第5版和第3版序言
第2版序言
第1版序言摘錄
第一章 一些通用的數學概念與記號
§1. 邏輯符號
1. 聯詞與括號
2. 關於證明的附注
3. 某些專門記號
4. 最後的附注
習題
§2. 集合及其基本運算
1. 集合(集)的概念
2. 包含關係
3. 最簡單的集合運算
習題
§3. 函數
1. 函數(映射)的概念
2. 映射的簡單分類
3. 函數的複合與互逆映射
4. 作為關係的函數. 函數的圖像
習題
§4. 某些補充
1. 集合的勢(基數類)
2. 公理化集合論
3. 關於數學命題的結構及其集合論語言表述的附注
習題
第二章 實數
§1. 實數集的公理系統和某些一般性質
1. 實數集的定義
2. 實數的某些一般的代數性質
3. 完備性公理與數集的上確界(下確界)的存在性
§2. 最重要的實數類和實數運算方面的一些計算問題
1. 自然數與數學歸納原理
2. 有理數與無理數
3. 阿基米德原理
4. 實數集的幾何解釋與實數運算方面的一些計算問題
習題
§3. 關於實數集完備性的一些基本引理
1. 閉區間套引理(柯西–康托爾原理)
2. 有限覆蓋引理(博雷爾–勒貝格原理)
3. 極限點引理(波爾查諾–魏爾斯特拉斯原理)
習題
§4. 可數集與不可數集
1. 可數集
2. 連續統的勢
習題
第三章 極限
§1. 序列的極限
1. 定義和例子
2. 數列極限的性質
3. 數列極限的存在問題
4.級數的初步知識
習題
§2. 函數的極限
1. 定義和例子
2. 函數極限的性質
3. 函數極限的一般定義(基上的極限)
4. 函數極限的存在問題
習題
第四章 連續函數
§1. 基本定義和實例
1. 函數在一個點的連續性
2. 間斷點
§2. 連續函數的性質
1. 局部性質
2. 連續函數的整體性質
習題
第五章 微分學
§1. 可微函數
1. 問題和引言
2. 在一點處可微的函數
3. 切線. 導數和微分的幾何意義
4. 坐標系的作用
5. 例題
習題
§2. 基本的微分法則
1. 微分運算和算術運算
2. 複合函數的微分運算
3. 反函數的微分運算
4. 基本初等函數導數表
5. 最簡單的隱函數的微分運算
6. 高階導數
習題
§3. 微分學的基本定理
1. 費馬引理和羅爾定理
2. 關於有限增量的拉格朗日定理和柯西定理
3. 泰勒公式
習題
§4. 用微分學方法研究函數
1. 函數單調的條件
2. 函數具有內極值點的條件
3. 函數凸的條件
4. 洛必達法則
5. 函數圖像的畫法
習題
§5. 複數. 初等函數之間的相互聯繫
1. 複數
2. C 中的收斂性與複數項級數
3. 歐拉公式以及初等函數之間的相互聯繫
4. 函數的冪級數表示和解析性
5. 複數域C 的代數封閉性
習題
§6. 微分學在自然科學問題中的應用實例
1. 變質量物體的運動
2. 氣壓公式
3. 放射性衰變、鏈式反應和原子反應堆
4. 大氣中的落體
5. 再談數e 和函數ex
6. 振動
習題
§7. 原函數
1. 原函數與不定積分
2. 求原函數的一些基本的一般方法
3. 有理函數的原函數
4. 形如∫R(cos x,sin x)dx 的原函數
5. 形如∫R(x,y(x))dx
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