薛定宇教授大講堂‧卷Ⅲ：MATLAB線性代數運算（簡體書）

本書按照線性代數教材的編排方式，系統論述了基於 MATLAB語言編程的方法來實現線性代數問題的求解。全書內容包括矩陣的輸入方法、矩陣基本分析方法、矩陣基本變換與分解方法、矩陣方程的求解方法與矩陣任意函數的計算方法等。此外，書中還介紹了線性代數的諸多應用問題的建模與求解方法。
本書可以作為高等學校理工科各類專業的本科生與研究生學習計算機數學語言(MATLAB)的教材，也可以作為一般讀者學習線性代數與矩陣分析的輔助教材――從另一個角度認識線性代數問題的求解方法，並可以作為查詢線性代數與矩陣數學問題求解方法的工具書。

薛定宇教授： 分別在瀋陽工業大學、東北大學和英國Sussex大學獲得學士(1985年)、碩士(1988年)和博士學位(1992年)，1997年任東北大學信息學院教授。深耕於計算機在數學與自動控制學科的應用，主持了國家精品課程建設，並於1996年在清華大學出版社出版《控制系統計算機輔助設計――MATLAB與應用》，該教材被認為是國內MATLAB應用領域具有深遠影響的一部圖書，為MATLAB在國內高校教學與科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先後被評為遼寧省教學名師、遼寧省優秀教師，獲得國家級教學成果二等獎。其主講的“控制系統仿真與CAD”課程被評為國家級精品課程、國家級精品資源共享課程；主講的“現代科學運算――MATLAB語言與應用”課程被評為遼寧省精品資源共享課程，配套錄製的全新慕課課程均上線於愛課程與中國慕課網站。

目 錄
CONTENTS
第 1章線性代數簡介 · 1
1.1矩陣與線性方程組 1
1.1.1表格的矩陣表示 1
1.1.2線性方程組的建立與求解 3
1.2線性代數發展簡介 8
1.2.1線性代數數學理論 8
1.2.2數值線性代數 10本章習題 12第 2章矩陣的表示與基本運算 13
2.1一般矩陣的輸入方法 13
2.2特殊矩陣的輸入方法 14
2.2.1零矩陣、么矩陣及單位矩陣 · 15
2.2.2隨機元素矩陣 15
2.2.3 Hankel矩陣 · 17
2.2.4對角元素矩陣 18
2.2.5 Hilbert矩陣及 Hilbert逆矩陣 20
2.2.6相伴矩陣 · 21
2.2.7 Wilkinson矩陣 · 21
2.2.8 Vandermonde矩陣 22
2.2.9一些常用的測試矩陣 23
2.3符號型矩陣的輸入方法 24
2.3.1特殊符號矩陣的輸入方法 24
2.3.2任意常數矩陣的輸入 24
2.3.3任意矩陣函數的輸入 25
2.4稀疏矩陣的輸入 · 26
2.5矩陣的基本運算 · 29
2.5.1複數矩陣的處理 29
·iv·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數運算
2.5.2矩陣的轉置與旋轉 30
2.5.3矩陣的代數運算 31
2.5.4矩陣的 Kronecker乘積與 Kronecker和 · 36
2.6矩陣函數的微積分運算 37
2.6.1矩陣函數的導數 37
2.6.2矩陣函數的積分 38
2.6.3向量函數的 Jacobi矩陣 39
2.6.4 Hesse矩陣 39本章習題 40
第 3章矩陣基本分析 · 43
3.1行列式 · 43
3.1.1行列式的定義與性質 43
3.1.2低階矩陣的行列式計算 44
3.1.3行列式計算問題的 MATLAB求解 47
3.1.4任意階特殊矩陣的行列式計算· 50
3.1.5線性方程組的 Cramer法則 · 51
3.1.6正矩陣與完全正矩陣 52
3.2矩陣的簡單分析 · 53
3.2.1矩陣的跡 · 54
3.2.2線性無關與矩陣的秩 54
3.2.3矩陣的範數 · 56
3.2.4向量空間 · 58
3.3逆矩陣與廣義逆矩陣 59
3.3.1矩陣的逆矩陣 59
3.3.2逆矩陣的導函數 60
3.3.3 MATLAB提供的矩陣求逆函數 61
3.3.4簡化的行階梯型矩陣 63
3.3.5矩陣的廣義逆 65
3.4特徵多項式與特徵值 67
3.4.1矩陣的特徵多項式 67
3.4.2多項式方程的求根 69
3.4.3一般矩陣的特徵值與特徵向量· 70
3.4.4矩陣的廣義特徵向量問題 73
3.4.5 Gershgorin圓盤與對角占優矩陣 · 75 3.5矩陣多項式 · 76
3.5.1矩陣多項式的求解 76
3.5.2矩陣的最小多項式 78
3.5.3符號多項式與數值多項式的轉換 · 78本章習題 80
第 4章矩陣的基本變換與分解 83
4.1相似變換與正交矩陣 83
4.1.1相似變換 · 83
4.1.2正交矩陣與正交基 84
4.2初等行變換 · 85
4.2.1三種初等行變換方法 86
4.2.2用初等行變換的方法求逆矩陣· 88
4.2.3主元素方法求逆矩陣 89
4.3矩陣的三角分解 · 90
4.3.1線性方程組的 Gauss消去法 · 90
4.3.2一般矩陣的三角分解算法與實現 · 91
4.3.3 MATLAB三角分解函數 · 92
4.4矩陣的 Cholesky分解 94
4.4.1對稱矩陣的 Cholesky分解 94
4.4.2對稱矩陣的二次型表示 95
4.4.3正定矩陣與正規矩陣 96
4.4.4非正定矩陣的 Cholesky分解 97
4.5相伴變換與 Jordan變換 98
4.5.1一般矩陣變換成相伴矩陣 98
4.5.2矩陣的對角化 99
4.5.3矩陣的 Jordan變換 · 100
4.5.4複特徵值矩陣的實 Jordan分解 101
4.5.5正定矩陣的同時對角化 103
4.6奇異值分解 · 104
4.6.1奇異值與條件數 104
4.6.2長方形矩陣的奇異值分解 106
4.6.3基於奇異值分解的同時對角化· 106
4.7 Givens變換與 Householder變換 · 107
4.7.1二維坐標的旋轉變換 107
4.7.2一般矩陣的 Givens變換 109
·vi·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數運算
4.7.3 Householder變換 · 111本章習題 112
第 5章矩陣方程求解 · 115
5.1線性方程組 · 115
5.1.1唯一解的求解 116
5.1.2方程無窮解的求解與構造 119
5.1.3矛盾方程的求解 122
5.1.4線性方程解的幾何解釋 122
5.2其他形式的簡單線性方程組 124
5.2.1方程 XA = B的求解 · 124
5.2.2方程 AXB = C的求解 125
5.2.3基於 Kronecker乘積的方程解法 127
5.2.4多項方程 AXB = C的求解 127
5.3 Lyapunov方程· 128
5.3.1連續 Lyapunov方程 · 128

5.3.2二階 Lyapunov方程的 Kronecker乘積表示 · 130
5.3.3一般 Lyapunov方程的解析解 130
5.3.4 Stein方程的求解 · 131
5.3.5離散 Lyapunov方程 · 132
5.4 Sylvester方程 · 133
5.4.1 Sylvester方程的數學形式與數值解 · 133
5.4.2 Sylvester方程的解析求解 133
5.4.3含參數 Sylvester方程的解析解 136
5.4.4多項 Sylvester方程的求解 136
5.5非線性矩陣方程 · 137
5.5.1 Riccati代數方程 · 137
5.5.2一般多解非線性矩陣方程的數值求解 · 138
5.5.3變形 Riccati方程的求解 142
5.5.4一般非線性矩陣方程的數值求解 · 143
5.6多項式方程的求解 144
5.6.1多項式互質 · 144
5.6.2 Diophantine多項式方程 145
5.6.3偽多項式方程求根 147本章習題 148 第 6章矩陣函數 · 151
6.1矩陣元素的非線性運算 152
6.1.1數據的取整與有理化運算 152
6.1.2超越函數計算命令 153
6.1.3向量的排序、最大值與最小值 156
6.1.4數據的均值、方差與標準差 · 156
6.2矩陣指數函數計算 157
6.2.1矩陣函數的定義與性質 157
6.2.2矩陣指數函數的運算 158
6.2.3基於 Taylor冪級數的截斷算法· 158


6.2.4基於 Cayley–Hamilton定理的計算 160
6.2.5 MATLAB的直接計算函數 161
6.2.6基於 Jordan變換的求解方法 162
6.3矩陣的對數與平方根函數計算 163
6.3.1矩陣的對數運算 163
6.3.2矩陣的平方根運算 164
6.4矩陣的三角函數運算 165
6.4.1矩陣的三角函數運算 165
6.4.2基於冪級數展開的矩陣三角函數計算 · 166
6.4.3矩陣三角函數的解析求解 167
6.5一般矩陣函數的運算 169
6.5.1冪零矩陣 · 169
6.5.2基於 Jordan變換的矩陣函數運算 170
6.5.3矩陣自定義函數的運算 173
6.6矩陣的乘方運算 · 174
6.6.1基於 Jordan變換的矩陣乘方運算 174
6.6.2通用乘方函數的編寫 175
6.6.3基於 z變換的矩陣乘方計算 · 176
6.6.4計算矩陣乘方 kA · 177本章習題 178
第 7章線性代數的應用 180
7.1線性方程組的應用 180
7.1.1電路網絡分析 180
7.1.2結構平衡的分析方法 186
7.1.3化學反應方程式配平 186
·viii·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數運算
7.2線性控制系統中的應用 188
7.2.1控制系統的模型轉換 189
7.2.2線性系統的定性分析 190
7.2.3多變量系統的傳輸零點 192
7.2.4線性微分方程的直接求解 192
7.3數字圖像處理應用簡介 193
7.3.1圖像的讀入與顯示 194
7.3.2矩陣的奇異值分解 195
7.3.3圖像幾何尺寸變換與旋轉 196
7.3.4圖像增強 · 198
7.4圖論與應用 · 200
7.4.1有向圖的描述 201
7.4.2 Dijkstra最短路徑算法及實現 · 202
7.4.3控制系統方框圖化簡 205
7.5差分方程求解 · 208
7.5.1一般差分方程的解析解方法· 209
7.5.2線性時變差分方程的數值解方法 · 210
7.5.3線性時不變差分方程的解法· 212
7.5.4一般非線性差分方程的數值解方法 · 213
7.5.5 Markov鏈的仿真 · 214
7.6數據擬合與分析 · 215
7.6.1線性回歸 · 216
7.6.2多項式擬合 · 217
7.6.3 Chebyshev多項式 219
7.6.4 Bézier曲線 221
7.6.5主成分方法 · 223本章習題 225參考文獻· 231
MATLAB函數名索引 · 233術語索引· 237
線性代數簡介