無窮分析引論(下)(平裝)（簡體書）

接觸到的學生，他們學習無窮分析之所以遇到困難，往往是由於在必須使用無窮這一陌生概念時，初等代數剛學，尚未登堂入室，雖然無窮分析並不要求初等代數的全部知識和技能，問題是有些必備的東西，初等代數或者完全沒講，或者講得不夠詳細。本書力求把這類東西講得既充分又清楚，求得完全彌補初等代數對無窮分析的不足。書中還把相當多的難點化易，使得讀者逐步地、不知不覺地掌握到無窮這一思想，有很多通常歸無窮分析處理的問題，本書使用了代數方法。這清楚地表明了分析與代數兩種方法之間的關係。
本書分上、下兩冊，上冊講純分析，下冊講必要的幾何知識，這是因為無窮分析的講解常常伴以對幾何的應用。別的書中都講的一般知識本書上、下冊都不講。本書所講是別處不講的，或講得太粗的，或雖講但所用方法完全不同的。
整個無窮分析所討論的都是變量及其函數，因此上冊細講函數，講了函數的變換、分解和展開為無窮級數。對函數，包括屬於高等分析的一些函數進行了分類。首先分函數為代數函數和超越函數。變量經通常的代數運算形成的函數叫代數函數，經別的運算或無窮次代數運算形成的函數叫超越函數。代數函數又分為有理函數和無理函數。對有理函數講了分解它為因式和部分分式，分解為部分分式之和這種運算在積分學中有著重要應用。對無理函數給出了用適當的代換變它為有理函數的方法，無理函數和有理函數都可以展開成為無窮級數，但這種展開對超越函數用處最大。無窮級數的理論可用於高等分析，為此增加了幾章，用於考察很多無窮級數的性質與和，其中有些級數的和不用無窮分析是很難求出的，其和為對數和弧度的級數就是。對數和弧度是超越量，可通過求雙曲線下的和圓的面積確定，主要由無窮分析對它們進行研究，接下去從以底為變量的冪轉向了以指數為變量的冪。作為以指數為變量之冪的逆，自然而有成果地得到了對數概念。對數不僅本身有著大量應用，而且由它可得到一般量的無窮級數表示。還講了造對數表的簡單方法。類似地，我們考察了弧度。弧度與對數雖然是兩種完全不同的量，但它們卻有著如此密切的關係，當一種為虛數形式時，可化為另一種，重複了幾何中多倍角和等分角正弦和余弦的求法之後，從任意角的正弦餘弦導出了極小角的正弦和余弦，並導出了無窮級數。由此，從趨於消失的角其正弦等於角度，餘弦等於半徑，我們可以通過無窮級數使任何一個角度等於它的正弦或餘弦。這裡我們得到瞭如此之多的各種各樣的有限的和無窮的這種表達式，以至於無需再對其性質進行研究，對數有著它自己的特殊算法，這種算法應用於整個分析。我們推出了三角函數的算法，使得對三角函數的運算如同對數運算和代數運算一樣地容易。從書中有幾章的內容可以看出，三角函數算法在解決難題時，其應用範圍是何等的廣，事實上，這種例子從無窮分析中還可舉出很多，日常的數學學習和數學工作中也會遇到很多。
分解分數函數為實部分分式在積分學中有著重要應用，而三角函數算法對分解分式為實部分分式有極大幫助，我們對它進行詳細討論的原因正在於此。接下去的討論是分數函數展成的無窮級數——遞推級數。討論了它的和、通項和另外一些重要性質。遞推級數考慮的是因式乘積的倒數，我們也考慮了展多因式，甚至無窮個因式的乘積為級數，這不僅可導致對無窮多個級數的研究，而且利用級數可表示成無窮乘積，我們找到了一些方便的數值表達式，用這些表達式可以容易地計算出正弦、餘弦和正切的對數，利用展因式乘積為級數，我們推出了許多有關拆數為和這類問題的解。倘不利用這一點，看來分析對拆數為和是無能為力的。
本書涉及方面之廣，完全可以寫成幾冊書，因而我們力求簡單明了，把最基本的東西解釋得盡量清楚，而把進一步展開留給讀者，使讀者有機會馳騁自己的才能，自己來進一步發展分析，我坦率地告訴讀者，本書含有許多全新的東西，並且從本書的很多地方可以得到重要的進一步的發現。
下冊討論的問題，一般地說都屬於高等幾何，處理方法同於上冊。一般教科書講這一部分時都從圓錐曲線開始，本書先講曲線的一般理論，再講圓錐曲線，為的是能夠應用曲線理論去研究任何一種曲線。本書利用描述曲線的方程，而且只用這種方程來研究曲線，曲線的形狀和基本性質都從方程推出。我覺得這種處理方法的優越性，在圓錐曲線上表現得最突出。即或有人對它應用分析方法，那也是顯得生硬、不自然的。我們先從二階曲線的一般方程解釋了二階曲線的一般性質，接下去根據有無伸向無窮的分支，也即是否介於某個有限區域之中，對二階曲線進行了分類。對於無窮分支，我們進一步考慮分支的條數，並考慮各條分支有無漸近線。這樣我們得到了通常的三種圓錐曲線。第一種是橢圓，它介於一個有限區域之中；第二種是雙曲線，它有四條伸向無窮的分支，趨向兩條漸近線；第三種是拋物線，有兩條伸向無窮的分支，沒有漸近線。
接下去，對三階曲線用類似的方法，闡述了其一般性質，並將它分為12類，事實上是把牛頓的72種劃分成了12類。對這一方法我們的描述是充分的，不難用它對更高階曲線進行分類。書中用它對四階曲線進行了分類。
在分階進行考察之後，我們轉向了尋求曲線的共同性質。講了曲線的切線和法線的定義方法，也講了用密切圓半徑表示的曲率，雖然這些問題現在一般都用微積分來解決，但本書只在通常代數的基礎上對它進行討論，為的是使讀者能夠比較容易地從有窮分析過渡到無窮分析，我們也對曲線的拐點、尖點、二重點和多重點進行了研究，講瞭如何從方程求出這些點，求法都不難，但我不否認用微分學的方法來求更容易。我們也講到了關於二階尖點這有爭論的問題。二階尖點，即有同朝向的兩段弧收斂於它的尖點。我們討論的深度不越出看法一致的範圍。
加寫了幾章，用來討論具有某些性質的曲線的求法，最後給出了與圓有關的幾個問題的解。

第一章曲線概述
第二章坐標變換
第三章代數曲線的階
第四章各階線的基本性質
第五章二階線
第六章二階線分類
第七章伸向無窮的分支
第八章關於漸近線
第九章三階線的分類
第十章三階線的基本性質
第十一章四階線
第十二章曲線的形狀
第十三章曲線的性質
第十四章曲線的曲率
第十五章有一條或幾條直徑的曲線
第十六章依據縱標性質求曲線
第十七章依據其他性質求曲線
第十八章曲線的相似性和仿射性
第十九章曲線的交點
第二十章列方程
第二十一章超越曲線
第二十二章關於圓的幾個問題的解

附錄關於曲面
第一章物體的表面
第二章曲面與平面的交線
第三章柱面、錐面、球面的截線
第四章坐標變換
第五章二階面
第六章曲面與曲面的交線