學好數學並不難‧幾何（簡體書）

本書從幾何學的歷史緣起講起，系統地介紹了幾何證明、標尺作圖以及函數圖像的由來和應用，並把這些知識點融合成一個個精彩懸疑的故事。利用沒有刻度的草繩進行土地的測量和分割，逐步完成了平行線，三角形，多邊形和圓的學習之旅。不斷貫穿其中的是加減乘除的算法在圖形中的體現，數形結合的無窮魅力。

本書通過一系列的故事和案例，深入淺出地講解了初中數學的知識，如果你對數學提不起興趣、對數學有畏難情緒，或者找不到正確的學習方法，那麼，閱讀本書一定受益匪淺。

孫亮朝 

經驗豐富的技術專家和產品專家。

專注於初中教育培訓領域。

喜馬拉雅App“好玩兒的初中數學”系列課程播放數量十萬，並廣受好評。

調查顯示，很多人討厭數學，這樣的結果並不讓人感到意外，因為在傳統教育體制的束縛下，數學被教條化甚至被妖魔化了。大家所認識的數學只是課本上的數學、試卷上的數學，是僵化的數學。在作者看來，這個世界上應該只有兩種人：一種是喜歡數學的，另一種是不知道自己喜歡數學的。因此作者期望通過自己的努力，把真正的數學呈現在孩子們的面前。

1.這是一套融合了知識性和趣味性的初中數學課程，作者把數學思想、數學知識和現實應用巧妙地融會、貫通起來，讓讀者在談笑風聲中感受數理邏輯的無窮魅力。

2.用故事解釋數學思想，用案例引入數學知識，用生活講解數學應用，好看好學、易懂易學。

3.讓數學不好的父母也能教出100分的孩子。

自序

調查顯示，很多人討厭數學.這樣的結果並不讓人感到意外，因為在傳統教育體制的束縛下，數學被教條化甚至被妖魔化了，大家所認識的數學只是課本上的數學、試卷上的數學，是僵化的數學.在我看來，這個世界上應該只有兩種人：一種是喜歡數學的，另一種是不知道自己喜歡數學的.因此長久以來，我一直在積蓄一種力量，期望通過自己的努力，把真正的數學呈現在孩子們的面前。

人類天生就有極大的好奇心和求知欲，這驅使我們仰望星空，從日月星辰的運轉中捕捉數學的韻律；讓我們親近自然，從四季變換中尋找生命的價值.這是一種欲望，讓我們不再滿足於眼前的物質利益；這是一種理想，讓我們在求真求美的過程中構造起一個全新的精神世界數學不是抽象的符號，而是一種真實的存在.數學帶來的真實感超越了我們自身，超越了我們所熟悉的一切.這種真實感曾讓我一度像畢達哥拉斯一樣，認為數是這個世界的本原.然而我還是克制自己，因為我不希望在認識世界之前，妄言對世界的改變.

數學是美的，這是一種超凡脫俗的美，是高冷到不食人間煙火的美，任何一個熱愛數學的人都能感受到它.很多人都曾試圖描述數學之美：有人通過斐波那契數列的奇妙來描述，有人通過分形圖案的精美來描述，有人通過生物百態來描述，也有人通過宇宙的和諧來描述.然而我認為，所有這些都不足以代表數學的美，數學的美是與生俱來的，與它的真實性無關，與它的實用性無關.

一塊金子加一塊金子可以得到兩塊金子，一顆沙粒加一顆沙粒可以得到兩顆沙粒.然而，數學的價值並不因為計算黃金而變得昂貴，也並不會因為計算沙粒而變得卑賤.荷花上的數學和淤泥中的數學沒有不同，宮殿裡的數學和溝渠裡的數學也無區別.

我一直希望能夠用最優美的線條來勾勒數學之美，但數學之美卻沒有外形；我一直希望用最柔美的樂曲來為數學之美做鋪墊，但數學之美沒有聲音.連接理論與實際，面向歷史與未來，從此，數學具有了生命和活力，它不再是枯燥的公式和定理，不再是乏味的函數和方程，它是花瓣上閃耀的露珠，它是蝴蝶舞動的翅膀.它架構起孩子認知世界的舞臺，它賦予我們征服世界的力量.我常把數學比作鉆石，鉆石本身不會發光，它折射出的是太陽的光彩；數學本身也並不完美，它呈現出的是人類的智能.

自序

一、致家長

當孩子學數學時，學的是什麼

數學，學的是情商和智商

永遠不要直接教孩子做題

知難而喜：培養孩子獨立解決問題的能力

二、奇妙的幾何學

沒有數字的數學

一根細線量土地

學習數學就是構建邏輯思維體系

三、世界就是點、線、面

點、線、面到底是什麼

點、線、面裡的生活哲學

幾何學的５條公理

四、初窺幾何證明

解決直角的牛皮：角度和垂直

世界上第一個幾何證明：對頂角相等

讓數學家頭疼了２０００多年的問題：平行公理

讓分土地的工作大大簡化：平行線的證明

五、從分土地開始

分土地，先關注三角形的內角和外角

著名的三線合一定理

一個誰都明白的道理：兩點之間直線段最短

用復雜的過程證明簡單的道理

三角形全等，該怎麼證明

六、標尺作圖

擺脫牛皮的束縛，自由平分土地：中垂線

幾何圖形和加減乘除的關係

角平分線

用標尺作圖解決生活中的問題

七、任意土地的平分

平行線間的距離和任意形狀的面積問題

面積定理：掌握世界上所有圖形的變換方法

保持面積相等的轉換規律：角邊角判定定理

八、幾何證明的思路

雙向思考：任何一種固定的解題思路都是靠不住的

動態看圖：迅速找到核心內容

九、圖形縮放

相似定理，你必須知道這三點

判斷相似三角形的三個條件

標尺作圖之乘除法

十、圓

圓和角的關係和幾何學的三大難題

圓和直線的關係

幾何作圖之乘方開方

十一、解析幾何基礎

從幾何學開始，重新認識世界

一只蜘蛛引出解析幾何的發現

平面直角坐標系

十二、函數圖像

函數到底是什麼

函數就是加減乘除

線性函數：通過解析幾何解決實際問題的方法

線性函數的應用：代數問題和幾何問題

十三、二次函數

勾股定理：代數知識和幾何知識的巧妙結合

二次函數曲線：解析幾何能提供哪些幫助

拋物線的移動

十四、函數變換

函數的加減法

函數變換的本質：各自發生毫無影響的自然規律

函數的乘法和燈塔背後豐富的世界

十五、最後的總結

讓數據告訴我們宇宙的過去和未來

數學是這個世界的普遍真理嗎

二、奇妙的幾何學

◎ 沒有數字的數學

我清楚地記得，剛上初中的時候，數學老師一上講臺就和我們說：“同學們，從今天開始，我要求大家把自己直尺上的刻度全都磨掉，把你們的三角板和量角器也都收起來，今後我們研究圖形只能用一把沒有刻度的直尺和圓規.”聽老師這麼一說，我就傻了，直尺上有刻度不讓使用，我還怎麼知道一個圖形的長度，又怎麼計算面積呢？哎，這就是我們要研究的新學問，它是一種沒有數字的數學，名叫幾何.什麼叫幾何呢？幾何就是多少的意思．多少呀？我不知道，你也不需要知道，我們要在不知道具體數值的情況下把圖形的學問研究明白.可是如果我們連個準數都沒有，這不是在瞎研究嗎！是嗎，你確定沒有數字就研究不明白嗎？你有沒有聽說過鄭人買履的故事呢？

春秋時期，有一個鄭國人，到集市上去給自己買鞋，賣鞋的老闆問他：“你買多大號的鞋呀？”他從來沒買過鞋，也不知道自己的鞋號，於是就回家去拿了一把尺子過來，用這個尺子，先量了自己的腳，又量了賣的鞋，然後才掏錢買這個賣鞋的老闆被逗樂了：“你給自己買鞋，還拿什麼尺子呀？簡直是有毛病！”事實證明，沒有準數的時候，也是能幹活兒的想明白了這個道理，我們回到課堂上來：當老師沒收了我們的刻度尺以後，就在黑板左邊畫了一條線，然後就把我叫到了講臺上，他說：“你能不能在黑板的右邊，用這個直尺和圓規畫一條長度一模一樣的線段呢？”我當時就傻了，我想，我得量一下這條線有多長呀，不知道多長，我怎麼能畫出一樣長的呢？不過我還是挺機靈的，我把這個尺子抓在手裡以後，先把尺子的一端和線的左端對齊了，然後再順著線段的方向把直尺擺好，最後沿著線 段的末端，用粉筆在尺子上做了個記號.這樣一來，我就在直尺上標記出一個刻度，於是這條線段的長度就和我畫的刻度一樣了，這樣我就把那條線畫出來了.可是老師又說了，尺子上不能有刻度，自己畫的刻度也不行！

於是我沒辦法了，只能叉開自己的手指，用這個大拇指和食指當尺子，保持住這個姿勢不動，挪到另一邊去，按手指叉開的長度 畫了一條線段.但是老師又說了：“不許用手！因為你的手指頭是 活動的，即使你感覺不到自己的運動，運動變化也是存在的，所以這種方式也是不允許的”.聽到這裡，我突然發現，為什麼要用自己的手指呢，這個圓規的兩條腿，不就是天然的兩根手指嗎？而且把圓規叉開到指定的寬度，它就靜止不動了.於是我把圓規的兩條腿叉開，挪到線段上比一比，確定圓規叉開的長度和線段長度一樣了，再按照這個長度畫線，結果就出來了.做完以後，我終於看到了老師滿意的笑容.老師是滿意了，可我還不滿意，於是就反問他：“老師，我們明明可以用尺子直接量一下，你為什麼非得讓我用圓規呀？”老師說：“你用尺子量了長度，再用這個長度去畫線，就好比那個買鞋的鄭國人，用尺子量了腳再量鞋，你的腳就在你身上，為什麼不能直接用腳量鞋呢？同樣，我的線段就在這裡，為什麼非要把它變成數字呢？”直到這時，我才恍然大悟，原來我們一直引以為豪地在幾何中使用數字，卻鬧了鄭人買履的 “笑話”.

研究幾何圖形的時候就是這樣，雖然我們不一定知道每個圖形的具體長度、寬度和角度，但是我們卻可以清晰地知道這些數 值之間的相互關係.幾何學要求我們通過直尺和圓規去認識世界， 通過這兩種工具，我們可以更接近事物的本原，更了解事物的真相.幾何學的本原就是丈量土地的學問它發源於５０００年前的古埃及，那時候人類已經掌握了耕種技術，開啟了農業文明，但尼羅河水經常泛濫成災，一旦衝毀土地，人們就必須重新丈量土地，於 是在這個過程當中，古埃及人就積累了大量的幾何學知識.