美麗的數學（簡體書）

自序

樂趣
數學，有趣而美妙。在不同門類的學科裡，都有人們熟悉的“代表作”。美術有《蒙娜麗莎》，戲劇有《哈姆雷特》，生物學有遺傳DNA，考古學有對羅塞塔石碑的破譯，物理學有方程式E = mc2。但是，數學方面很難說得明確——我想要與您分享的正是我自己最鐘愛的那些數學經典。
正如擁有大量館藏的美術博物館只能展覽部分作品一樣，作為這本書的“館長”，我也只能精心選出部分內容呈現在這裡。
沒有人要求我只能展示一枚數學珍寶，不過要真是那樣，我也有自己的選擇，那就是：對質數有無限多的證明。而這也勾勒出我對這本書的主題進行取舍的原則：
如果你不是數學家，恐怕會感到陌生。讀者或許聽說過質數這個概念，但恐怕沒有思考過“到底有多少個質數？”這個問題。
強調證明（proof）這個概念，特別是利用反證法（proof by contradiction）去證明。
不需要大學程度的數學能力，只要利用高中生常用的數學工具，我們就可以解決書中所有的問題。
答案不是很明顯，而且會帶給你驚喜——我們很容易理解有無數的偶數和正方形，質數的排列卻並不存在一個清晰的定式，但是你會驚訝地發現，只需要一個簡單的理由，就能必然推導出質數有無限多的結論。
存在著實際的應用：質數的這一特性被密碼學所運用。
盡管本書所涉及的各類專題不一定同時具備上述全部特征，但每一章都將包含數學的神奇之處，肯定能夠讓讀者感到驚訝和好奇。
1940年，英國數學家戈弗雷? H. 哈代（ Godfrey H.Hardy）出版了《一個數學家的辯白》（ A Mathematician’s Apology），從他的個人角度闡釋了畢生數學研究的正當理由。在他的《辯白》中，哈代解釋了自己所經歷的喜悅和滿足。不過解釋數學帶來的喜悅就如同想要解釋遊泳帶來的樂趣：除非一個人可以漂浮一小會兒，並在清涼的水中撲騰幾下，否則很難理解遊泳的樂趣。
我擔心許多人所接受到的數學教育是枯燥和乏味的。想象一下，如果孩子們的閱讀教育主要集中在學習拼寫和標點符號上，而不是閱讀《哈利?波特》或者著手創作屬於自己的故事，那麼這幾乎很難激發起學生對於文學的熱愛。
以下是一些人可能會對自己所接受的數學教育所進行的滑稽描述：
在小學時，我有10個橘子，但有人拿走了3個。他們為什麼這麼做？我本來也會分享的啊。
在初中時，我找到了公分母，以及百分比。
在高中時，我學到了二次方程式，我仍然可以背出來 ——但是我不知道這有什麼意義。
當然，數學有很強的實際應用價值，但數學也有其深刻的美。我們的目標就是與讀者們分享一點這樣的美好。

概述
數學是關於數字和形狀的研究。因此，我選取了這兩個概念作為本書前兩部分的主題。
在第一部分“數”中，我們將探索一些特定數字（如 和e）以及數列（如質數和斐波那契數列）。我們為讀者準備了很多驚喜，例如一個無窮（infi nity）怎麼樣可以比另一個無窮“更加無窮”，以及為什麼有更多的數字以1開頭，而不是9。
在“形狀”部分，我們將見到一些熟悉的朋友（如三角形和圓形），還有三維圖形（柏拉圖式立體）和大於一維但小於二維的形狀（分形）。還有許多驚喜在前方等著你。例如，我們很容易理解該如何用正方形或正六邊形來鋪地板，但其實使用正五邊形也“可能”做到。你感到驚訝嗎？好奇嗎？這是我所希望見到的。
我們以“不確定性”作為本書的最終部分，探討隨機的、不可預知的和違反常理的問題。高精度的醫學測試給出的結果為何通常是錯誤的呢？排名有沒有意義？當兩名以上候選人競選時，選舉公職人員的“最佳”方式是什麼？與前面的內容一樣，驚喜依舊在向你招手。
這本書裡的每一章都是獨立的，你可以按任何順序隨時閱讀。內容的難度各不相同，暫時跳過更具挑戰性的部分，等稍後再重新拾起，也是不錯的選擇。

如何閱讀一本數學書
慢慢來。本書中的章節都很短，但需要時間和精力來掌握這些觀點。我經常給出一些計算或代數來支撐各個要點，讀者可以通過鉛筆和稿紙分步驟進行運算，以便更好地了解整個過程。有時也可能需要重讀幾遍材料才能搞明白。
如果可能，請不要獨自閱讀本書。叫上一個朋友，一起討論書中的觀點。為了讓朋友理解你的觀點，你必須要認真復述書中的內容，這將有助於你對這些概念的理解。
在每一個章節中，比較復雜的觀點都安排在後面。因此，如果讀到一半你感覺“已經差不多了”，那麼也可以開始閱讀另外一章。

自序
前言：定理與證明
第一部分 數
1. 質數
如果我們只能將一點點數學知識傳給後代，那應該是下面這個問題的答案：究竟有多少質數？
2. 二進制
世界上有 10 種人：懂二進制的人和不懂的人。
3.?0.999999999999…
毫無疑問，數字 1 最簡單的寫法是這樣的：1。但你可能也會了解到這樣的事實，即無限重復小數0.9999 是這一數字的另一種寫法。
4. 2
在樂隊開始演奏之前 , 音樂家會進行調音以確保他們所有的音符悅耳和諧。而這在數學上是不可能的。
5.?i
所有的數字都是“想象的”，因為它們是思維的發明。
6.?π
π 這個數字已經讓幾代人著迷了。
7.?e
對數學家而言，還有比以自己名字命名的數字更高的榮譽嗎？
8.?∞
怎麼可能“超越”無限呢？什麼東西可能大於無窮？！
9.?斐波那契數列
我們從鋪瓷磚問題開始。
10.?階乘！
你可以用多少種方法將書排列在書架上？
11.?本福德定律
可悲的事實是，數字如同人類一樣愛慕虛榮，它們都想爭當第一。
12.?算法
如果一個算法在數學上是正確的，但需要幾個世紀才能完成其工作的話，就沒有多大用處了。
第二部分 形狀
13.?三角形
我們可不是通過從紙上剪下很多三角形，然後用量角器來檢驗它們的角度的！
14.?畢達哥拉斯和費馬
在《綠野仙蹤》的結尾，稻草人並沒有得到大腦，但他獲得了智能。
15.?圓
圓是優雅而美麗的。
16.?柏拉圖立體
多邊形是在平面裡繪制的圖形。如果在三維空間中繪制，會產生什麼樣的類似情況呢？
17.?分形
我們需要一個不同類型的形狀概念，用於描述我們所處的這個瑣碎而不規則的世界。
18.?雙曲幾何
數學定義的高塔必須奠基於某處。對希臘人來說，這個基礎是幾何學。
第三部分 不確定性
19.?非傳遞性骰子
世界癡迷於排名。
20.?醫療概率
量化擔憂是有困難的，在這種情況下，任何人產生憂慮都是正常的，所以讓我們對這個問題稍作修改：你罹患這種罕見疾病的可能性有多大？
21.?混沌
骰子的滾動真的是隨機的嗎？
22.?社會選擇與阿羅定理
民主是根據社會成員的意見做出決定的過程。它是通過讓個人有機會表達他們的偏好（通過投票），然後結合這些個人喜好做出決定來實現的。
23.?紐科姆悖論
人類的行為是可以預測的嗎？

12. 算法
創意廚師一般不會嚴格遵循食譜。相反，他們利用菜譜激發他們烹飪的靈感。新手廚師更傾
向於嚴格按照步驟行事。
同樣，具有良好方向感的司機不需要地圖或書面指示來找到他們的目的地。其他人則需要詳
細的路線規劃引導。
計算機就像新手一樣。當需要對一些數進行求和時，他們遵循一系列精心規定的步驟，按照程序執行每個操作。這些程序被稱為算法。計算機算法在我們的生活中無處不在：它們把利息加入我們的銀行賬戶中，確定文本文檔中的分頁位置，將DVD上的數字數據轉換成電影，預測天氣，搜索網頁上包含給定配料清單的食譜，當我們試圖找到一個模糊的地址時，通過GPS設備與我們聯系。
大多數人學習的第一個數學算法是加法。求25+18，我們知道先將5和8相加（我們記住的結果是13），寫下3，進位為1，依此類推。
算法設計者不僅僅為解決問題提供正確的程序，該方法應該也是有效的。如果一個算法在數學上是正確的，但需要幾個世紀才能完成其工作的話，就沒有多大用處了。我們來看看例子。

排序
每學期結束時，我都會有一堆期末考試卷要發還給學生。當學生來到我的辦公室拿作業時，我不想在亂糟糟的紙堆裡翻檢查找而找到他們的試卷。相反，我按照學生姓名的字母順序排列試卷。所以，在我宣布試卷可以取走之前，需要對它們進行排序。
問題是將一些順序混亂的文件按字母順序把它們重新排列。怎麼做最好？
讓我們從一個簡單而低效的想法開始吧。假設我班有一百名學生。我從未排序的紙堆取出第一張試卷，看看它是否按字母順序排列。我如何做到這一點？我將這個卷子與其他的進行比較。很有可能，這張位於未排序的紙堆頂部的試卷並不是按字母順序排列的第一張，所以我把它放在紙堆的底部，然後再試一次。我一直這樣做，直到我確定出按字母順序排列的紙張。我拿走那張紙，把它放入新的一堆，它們將按字母順序擺放。
我回到未排序的紙堆上，現在是99張，就像以前一樣，按字母順序查找紙張。我是這樣做的，拿起最上面的一張，然後與堆中的所有其他紙張比較，如果不是正確的，就把它放在最後。當我找到最靠前的字母時，將其從未排序的紙堆中取出，並將其放在已排序的紙堆的末尾。
現在未排序的紙堆上只剩下98張紙，我重復這個程序：按字母順序搜索最靠前的紙張，然後將其移到已排序的紙堆的末端。
這需要多長時間？
最基本的步驟是比較兩張卷子，並根據字母順序決定。我們通過計算分類過程中執行的基本比較的次數來評估分類過程的效率。由於我的班級有100名學生，我需要進行多少次取出2張試卷、閱讀名字和進行比較的操作，才能決定哪一個需要首先被拿出去？
在100張無序堆疊的試卷中，我將第一張與其後所有的試卷進行比較：這就是99次比較。我可能不得不這樣比完所有100張試卷（我正在尋找的試卷可能是最後一張）。所以要按字母順序找到第一篇試卷可能需要100×99=9900次比較。
……
因此，用這種方法進行比較的次數是99×99=9801。這比第一種方法好得多，但仍然復雜。如果我可以在兩秒鐘內比較兩張試卷並且（如果需要的話）對它們進行互換，那麼按照字母順序排列這些試卷需要花費五個多小時。這是無法容忍的。
我感到很沮喪，於是離開辦公室出去散步。在大廳，我看到兩個為我工作的博士後，一個邪惡的笑容浮現在我的嘴邊。很快，我跑回辦公室，把未分類的一堆試卷分成兩半，分給他們每人各五十份。“給你們每個人一堆試卷”，我說，“請把每一堆按字母順序排列，然後還到我的辦公室。”搞定！我高興地回到辦公室。
當我的博士後對試卷進行排序後，我還有一些工作要做。我需要將他們分別整理的試卷合並到一起。那會有多困難？我將把這兩摞排列好的試卷放在我的桌子上。我會查看每一摞最上面的試卷，看哪一張更靠近字母表的前面。下圖說明了這個合並過程：
當其中一摞用盡後，我只要將另一摞剩下的試卷放在排好的試卷後面。在最復雜的情況下，我只做了99次對比。我可以在幾分鐘內做到這一點！
但是我的博士後呢？每個人有50張試卷要進行排序。他們都極其聰明，所以他們並沒有自己整理，而是把各自的試卷分成兩半（所以每個人未排序的試卷變為四摞，每一摞為25張），然後讓四個研究生對這些試卷進行排序。當研究生完成工作後，博士後們只需要各自將兩摞各25張的試卷合並成一摞。每個博士後最多進行49次對比。
然而四個研究生都不傻。他們每人把試卷分成兩摞（每摞有12張和13張卷子），並找到8名高年級本科生，要求他們對小摞的試卷進行分類。研究生仍然需要將本科生返給他們的試卷進行合並，然後再將各自的25張交給博士後。
高年級本科生如何對試卷進行排序呢？你猜對了：他們把各自的試卷又分成一半（每摞6或7張），讓低年級本科生進行排序。三年級學生又將每一摞試卷分成兩半（每摞3或4張），並交給二年級學生。最後，二年級學生再把試卷分成兩半（每個1或2張），並把它們交給一批大一新生。大一新生只能靠自己，他們直接將試卷排序——這並不困難，因為他們的試卷只有1或2張！