應用數值分析（簡體書）

本書系統地介紹了數值分析的基本理論和算法。全書共7章，內容分為三大部分：第一部分(第1章)是預備知識， 主要介紹誤差的基本理論、Banach空間、Hilbert空間、不動點原理等；第二部分(第2～4章)是數值逼近， 主要介紹函數的插值與逼近問題、數據處理問題、數值積分和數值微分等；第三部分(第5～7章)是數值代數， 主要介紹線性方程組、非線性方程(組)的數值解法及矩陣的特徵問題。
本書內容豐富，論述翔實嚴謹，理論知識、實現方法、應用案例緊密結合， 可作為數學系高年級本科生及電子、通信、計算機等工科專業研究生的教材，也可供從事科學和工程計算的科技工作者參考。

第1章 理論準備 1
1.1 緒論 1
1.1.1 數值分析簡介 1
1.1.2 課程內容及課程要求 3
1.1.3 算法的實現 3
1.2 誤差的來源、 基本概念及減少誤差的若干原則 4
1.2.1 誤差的來源 4
1.2.2 誤差的基本概念 4
1.2.3 減少誤差的若干原則 7
1.3 範數與內積 12
1.3.1 向量範數和矩陣範數 13
1.3.2 內積空間 17
1.4 不動點原理 20
習題1 22


第2章 插值法 24
2.1 引言 24
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值法 26
2.2.1 線性插值 26
2.2.2 二次插值 27
2.2.3 n次Lagrange插值多項式 28
2.2.4 插值餘項 29
2.3 牛頓(Newton)插值法 31
2.3.1 差商及性質 31
2.3.2 Newton插值公式 32
2.3.3 Newton插值公式的餘項 33
2.3.4 重節點的Newton插值公式 36
2.4 埃爾米特(Hermite)插值法 37
2.4.1 Hermite插值 37
2.4.2 Hermite插值的唯一性及餘項 38
2.5 分段低次插值法 40
2.5.1 分段線性插值 41
2.5.2 分段三次Hermite插值 42
2.6 樣條插值法 43
2.6.1 樣條插值函數 43
2.6.2 三次樣條插值函數的構造 45
2.7 二元函數插值方法 48
2.7.1 二元雙線性插值 48
2.7.2 雙二次插值 51
2.7.3 雙三次插值 52
2.7.4 雙三次埃爾米特插值 53
習題2 55

第3章 函數的最佳逼近和離散數據的最小二乘擬合 58
3.1 引言 58
3.2 內積空間中的最佳逼近 60
3.3 函數的最佳平方逼近 63
3.4 勒讓德多項式和切比雪夫多項式 66
3.4.1 勒讓德多項式 66
3.4.2 切比雪夫多項式 70
3.5 離散數據的最小二乘擬合 73
3.6 連續函數的最佳一致逼近多項式 77
3.6.1 最佳一致逼近多項式 77
3.6.2 一次最佳一致逼近多項式 79
3.7 曲面逼近 80
3.7.1 局部三次曲面逼近 81
3.7.2 樣條曲面逼近 83
習題3 85

第4章 數值積分與數值微分 88
4.1 引言 88
4.1.1 數值求積的基本思想 89
4.1.2 代數精度的概念 90
4.2 插值型求積公式及其性質 91
4.2.1 插值型求積公式 91
4.2.2 求積公式的數值穩定性 93
4.3 等距節點的牛頓-柯特斯公式及餘項估計 94
4.3.1 牛頓-柯特斯公式 94
4.3.2 牛頓-柯特斯公式的數值穩定性 96
4.3.3 偶數階求積公式的代數精度 96
4.3.4 牛頓-柯特斯公式的積分餘項 97
4.4 複化求積法 99
4.4.1 複化梯形公式 99
4.4.2 複化辛普森公式 100
4.5 龍貝格積分法 102
4.5.1 梯形法的遞推化 102
4.5.2 龍貝格算法 104
4.6 高斯型求積公式 105
4.7 數值微分 111
4.8 數字圖像的導數與梯度 113
4.8.1 二維數據的一階導數 114
4.8.2 二維數據的二階導數 114
習題4 115


第5章 線性方程組的數值解法 118
5.1 引言 118
5.2 線性方程組的性態及條件數 119
5.2.1 b有擾動δb， 而A無擾動 120
5.2.2 A有擾動δA， 而b無擾動 121
5.2.3 A有擾動δA， b有擾動δb
121
5.3 高斯消元法 123
5.3.1 基本的高斯消元法 124
5.3.2 高斯列主元消去法 127
5.3.3 高斯-若當(GaussJordan)消去法 128
5.4 基於矩陣三角分解的方法 131
5.4.1 矩陣三角分解的存在唯一性和緊湊算法 131
5.4.2 平方根法和改進的平方根法 137
5.4.3 追趕法 141
5.5 雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法 144
5.5.1 雅可比迭代法 145
5.5.2 高斯-塞德爾迭代法 147
5.5.3 迭代法的收斂性 148
5.6 超鬆弛迭代法 158
5.7 廣義逆 164
習題5 166

第6章 非線性方程(組)求根 171
6.1 問題描述 171
6.2 根的搜索 172
6.3 迭代法及其收斂性 175
6.3.1 一般迭代法及其收斂性 175
6.3.2 迭代公式的加速 180
6.4 方程求根的牛頓法 183
6.4.1 牛頓迭代公式及其收斂性 183
6.4.2 下山法 187
6.4.3 簡化牛頓法、弦截法與拋物線法 187
6.5 代數方程求根 191
6.5.1 多項式求值的秦九韶算法 192
6.5.2 代數方程的牛頓法 193
6.5.3 代數方程的劈因子法 193
6.6 非線性方程組的迭代法 195
6.6.1 一般迭代法及其收斂條件 195
6.6.2 牛頓迭代法 197
習題6 200

第7章 矩陣的特徵值與特徵向量 202
7.1 引言 202
7.2 冪法和反冪法 204
7.2.1 冪法 204
7.2.2 冪法的加速 208
7.2.3 反冪法 211
7.3 雅可比方法 214
7.3.1 雅可比方法的基本思想 214
7.3.2 雅可比方法 214
7.3.3 雅可比過關法 220
7.4 豪斯荷爾德變換 221
7.4.1 豪斯荷爾德變換的基本思想 221
7.4.2 用正交相似變換約化矩陣 224
7.5 QR算法 229
7.5.1 矩陣的QR分解 229
7.5.2 QR算法 231
7.5.3 帶原點位移的QR方法 234
7.5.4 上Hessenberg矩陣的特徵值計算 235
7.6 計算實對稱矩陣部分特徵值的二分法 239
7.7 矩陣的奇異值分解 242
習題7 244

參考文獻 247