歡樂數學：一本充滿“爛插畫”的快樂數學啟蒙書（簡體書）

這是一本關於數學的書。至少在動筆之前，我真是這麼想的。

但在寫的過程中，我感覺自己像在地下隧道中穿行，因為失去了信號和導航，全書的故事線就沒能完全遵照原本的計劃展開，這反倒讓我發現了一些意外的風景。走出隧道，重見天日以後，我發現這本書裡除了數學，還聊了許多其他的問題：為什麼人們要買彩票？一位兒童圖書作家是如何改變瑞典選舉的？“哥特式”小說又是怎樣定義的？電影《星球大戰》（Star Wars）中，對於達斯·維德（Darth Vader）和他的銀河帝國來說，建造一個巨型的球形空間站真的是明智之舉嗎？

這就是數學。它連接著生活中看似風馬牛不相及的事物，就像超級馬裡奧四通八達的秘密管道。

如果你覺得數學不可能這麼神奇，那也許是因為你在一個叫“學校”的地方學過數學了。如果是這樣，我覺得這挺悲哀的。

2009年，我大學畢業，我想我知道為什麼數學不受歡迎了：大多數學校都把這門課教得糟透了。數學是一門瑰麗的、充滿想象力和邏輯的藝術。而學校裡的數學課把這門藝術撕成一大碗碎紙屑，然後給學生布置了一項幾乎不可能完成又乏味十足的任務——把這碗碎紙屑拼回去。既然教學方式如此，那就怪不得學生在數學面前一邊哀號，一邊屢戰屢敗，也怪不得成年人在回想自己學數學的經歷時，會不寒而栗，會惡心作嘔。在我看來，解決這個問題的方法顯而易見：數學這門藝術，需要更好的解說和更好的解說員。

就這樣，我成了一名教師。然而，自負的我並沒有接受過系統的師範培訓。在講臺上的第一年讓我明白了一個殘酷的事實：我會數學，但這不代表我會教數學，更不代表我知道這門學科對我的學生來說意味著什麼。

那年9月的一天，我發起了一場令人尷尬的即興討論，討論的主題是“我們為什麼要學習幾何”。討論中，這些九年級的學生提出了一連串問題：成年人會分兩欄寫幾何證明嗎？工程師會在沒有計算器的環境中工作嗎？大人們理財的時候會經常使用菱形嗎？這些問題的答案當然都是否定的。最後，我的學生們得出了結論：“我們之所以要學習數學，就是為了在考大學和找工作的時候證明自己既聰明又勤奮。”但是，在這個證明的過程中，數學本身並不重要，掌握數學和掌握舉重特技沒什麼兩樣。數學不過是一種毫無意義的智力展示，是為了美化個人簡歷而進行的長期練習罷了。這個結論使我大受打擊，更讓我擔憂的是，學生們對此都很信服。

那些學生說得沒錯，從某些角度來看，教育的確關乎競爭，如同一場零和博弈，數學在其中多少發揮了給學生分類和排序的作用。可是，他們忽略了數學更深層次的功能，這也怪我，我沒向他們展示這個。

為什麼說生活中的一切都以數學為基礎呢？它是怎樣將那些看上去毫無關聯的事物（硬幣和基因、骰子和股票、書和棒球）聯系起來的？歸根結底，數學是一種成體系的思考方式，而世界上的每一件事都得益於思考。

從2013年起，我一直在寫有關數學和教育的文章，有些發表在刊物上，比如在線雜志《板巖》（Slate）、《大西洋月刊》（The Atlantic）和《洛杉磯時報》（Los Angeles Times），但大多數還是發表在我的博客“數學和爛插畫”（Math with Bad Drawings）裡。文章的重點明明是數學，卻還是常常有人留言問我為什麼不能用心畫得更好一些。奇怪了，怎麼沒人問我為什麼不烤一只香橙脆皮雞當晚餐，卻要做那些普通的家常菜呢？還不是因為我的廚藝不達標嘛。我的繪畫天賦也一樣，非常平庸。比起“說真的，各位，這是我盡最大努力畫出來的數學”，“數學和爛插畫”至少聽上去沒那麼可憐，但對我來說，“爛插畫”和“我盡最大努力畫”，結果都是一樣的。

有一天，為了解釋一道題，我在黑板上畫了一只小狗，惹得學生們哄堂大笑，正是這片笑聲讓我在教學上豁然開朗。對於我在繪畫技藝上的笨拙表現，學生先是感到意外，然後覺得滑稽可笑，最後覺得親切可愛。數學往往被人視為一場高段位的對決，當學生看到所謂的專家顯示出自己在某件事上是全場最糟時，就會突然發現原來他也有親切的、有血有肉的一面。如此一來，這門高高在上的學科也跟著變得可親起來，不再有距離感。從那以後，我將“老師出糗”列為自創教學方法中的一個要素——你不太可能在任何教師培訓項目中找到這個小技巧，但這真的非常管用。

在那之前，我在教室裡度過了很長一段備受打擊的日子。對我的學生來說，數學就像一個發霉的地下室，一串串沒有意義的符號在其中拖著腳步。而孩子們只是聳聳肩，跟著這些步子，跳著沒有一絲韻律和美感的舞。

但在那之後，數學課堂活躍起來了，學生們看到了遠處的光亮，發現了這個地下室其實是一條秘密隧道，能夠把他們所知道的一切關聯起來。學生們開始努力，開始創新，開始用數學連接起不同的事物，他們有了飛躍式的進步，獲得了學習中只可意會不可言傳的秘籍——理解。

和教案不同，本書會跳過那些技術性的細節，也沒有幾個方程式。別擔心，那些天書一般的方程式在這裡都是裝飾（硬核知識點在書後注中有詳細說明）。本書關注的是我眼中數學的真正核心：思維。書中的每一部分都將帶領你遊覽一系列景觀，它們互相連通，建筑在一個簡單而宏大的觀點之上。你將看到，幾何規則如何限制了人們對設計的選擇，人們如何通過概率獲得源源不斷的收入，微小的增量如何引發巨變，統計數據如何幫助人們梳理混亂的歷史和現實……

寫這本書的時候，數學帶著我遊歷了很多讓人意想不到的地方。我希望你在讀書的時候，也能體會到這種感受。

本·奧爾林

前言……………………………………………………………………………1

第一部分 如何像數學家一樣思考？

第1章　終極井字棋：什麼是數學………………………………………… 7

第2章　學生眼中的數學什麼樣？………………………………………… 19

第3章　數學家眼中的數學什麼樣？………………………………………21

第4章　科學和數學眼中的彼此什麼樣？…………………………………30

第5章　優秀的數學家和偉大的數學家…………………………………… 39

第二部分 設計：必須遵循的幾何學

第6章　三角形建造的城市…………………………………………………54

第7章　怎樣才是合理的紙張尺寸？……………………………………68

第8章　立方體背後的寓言…………………………………………………77

第9章　骰子的遊戲………………………………………………………… 94

第10章　口述：死星的歷史 ……………………………………………111

第三部分 概率：描述可能性的數學

第11章　排隊買彩票時遇到的10種人…………………… 131

第12章　用硬幣拋出的孩子 ……………………………… 150

第13章　概率在不同職業中的角色 ……………………… 161

第14章　千奇百怪的保險 ………………………………… 168

第15章　如何用一枚骰子擊潰全球經濟 ………………… 188

第四部分 統計學：誠實說謊的藝術

第16章　為什麼不要相信統計數據 …………………………209

第17章　最後一位打擊率0.400的傳奇球員 ……………… 228

第18章　兵臨城下：科學殿堂的危機 ……………………… 241

第19章　記分牌爭奪戰 ……………………………………… 259

第20章　碎紙機的故事 ………………………………………277

第五部分 轉折點：一步的力量

第21章　最後一粒鉆石粉末 ………………………………296

第22章　納稅等級的學問 ………………………………… 309

第23章　一個州、兩個州，紅色州、藍色州 ……………323

第24章　混沌的歷史 ……………………………………… 337

尾注…………………………………………………………… 353

致謝…………………………………………………………… 393

概率在不同職業中的角色

說人類對概率的理解太“差”未免有些刻薄，而且這種說法把問題簡單化了。概率是現代數學一個精妙的分支，概率的世界中布滿了悖論陷阱，即使是一個非常基礎的問題也可能讓專家陷入困境。嘲笑普通人不懂概率就像念叨他們不善於飛行、不能在海裡生活或者防火性能不佳一樣滑稽。

畢竟，公平地說，人類在概率問題上簡直一無是處。

丹尼爾·卡尼曼和阿莫斯·特沃斯基在心理學研究中發現，人們對事件的不確定性缺乏準確的認知，他們常常高估那些小到可以忽略的概率，又低估大到接近必然的概率。

感覺這也沒什麼大不了的，對吧？你可能會想，概率真的會影響現實生活嗎？我們並沒有用一生去追求知識性的工具，這些工具可能會讓我們在每一刻都要面對的不確定性旋渦中獲得一絲絲安穩。

好吧，保險起見，本章是一篇關於不同的人如何看待不確定性的便攜指南。概率很難，但這並不代表我們不能從中得到樂趣。

人類

哈嘍，人類！你有眼睛、鼻子等各種感覺器官。你會做夢、會笑、會撒尿，當然你不一定是按這個順序習得這些技能的。

此外，你生活在一個一切都無法確定的世界裡。

舉個簡單的例子：請問你所在的太陽系中有多少顆行星？現在，你會回答說“八個”；在1930年到2006年年初，你的回答會是“九個”（包括冥王星），但如果是在19世紀50年代，你可能會寫12本書，分別詳細地介紹水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星、谷神星、智神星、婚神星和灶神星（現在你會將後面四顆稱作“小行星”）；如果是在公元前360年，你可能會說出七顆行星：水星、金星、火星、木星、土星、月球和太陽（現在你不會把最後兩顆稱作行星）。

隨著新數據和新理論的出現，你的想法會不斷改變。這就是典型的人類行為：當學習和探索知識時，你有很多好想法，但不能保證這些想法會永遠正確。你知道，老師、科學家、政治家，甚至你的感覺器官……都可能欺騙你。

概率是不確定性的語言。它會量化你知道的、你懷疑的、你懷疑你知道的和你知道你懷疑的，它用一種清晰、定量的語言表達這些信心的細微差別。至少，我是這麼想的……

政治新聞記者

哈嘍，政治新聞記者！你的工作是報道即將到來和剛剛落幕的大選。在沒有選舉的日子裡，你也會寫些關於“政策”和“治理”之類的文章。

不過，你看起來似乎很困惑——一些幾乎不可能發生的事情竟然也能發生。

這個世界以前不是這樣的。曾幾何時，你會把選舉看作充滿無限可能的神奇時刻。你故意淡化最有可能的結果，以便制造懸念，讓人們覺得每場選舉都是靠最後半天的衝刺贏得的。2004年大選之夜，喬治·W. 布什以10萬張選票的優勢在俄亥俄州選區中領先，這時明明只剩下不到10萬張選票沒有計數，你卻說這場選舉依然“難分伯仲”。當概率模型算出巴拉克·奧巴馬在2012年贏得大選的機會高達90% 時，你仍說這場競選“勝負難料”。

可是後來，在2016年的大選中，唐納德·特朗普擊敗了希拉裡·克林頓，你的世界觀被顛覆了。第二天醒來時，你覺得自己經歷了一個量子奇點，就像看到了一只憑空出現的兔子。但對於概率學家內特·西爾弗（Nate Silver）和他的同道中人來說，這只是一個中等程度的意外，一個發生概率為三分之一的事件，就像擲骰子擲到了5個點或6個點一樣，沒什麼稀奇的。

投資銀行家

哈嘍，投資銀行家！你把資產存入銀行，也為銀行投入資產，你的西裝比我的車還值錢。

直到20世紀70年代，你的工作還相當無聊。你就是個資金的漏斗，把錢投進“股票”或“債券”。股票驚險刺激，債券平淡無味，而你是人類與它們之間的紐帶。

而到了現在，你的工作就和沒經過安全檢查的過山車一樣刺激。從20 世紀70、80年代起，你開始發明復雜的、大家都不太理解的金融工具，尤其不理解的是政府的監管機構。這些金融工具有時會為你帶來巨額的利潤，但有時又會讓你的百年企業轟然倒閉，如同導致了恐龍滅絕的行星一般，給整個經濟體留下巨大的創傷。真是驚心動魄！

公平地說，資本配置在資本主義中是一項非常重要的工作，有創造大量價值的潛力。如果你為刻薄的數學老師看不起你的專業而生氣，花點時間算算你的工資超過那些刻薄的數學老師的可能性，我想你會發現自己的心情一下子就好起來了。

地方新聞主播

哈嘍，新聞主播！你有一頭漂亮的頭發，發音標準，經常需要和搭檔開些做作的玩笑。

你也會被一些幾乎不可能發生的事情所困擾。

你報道的通常是危險的寒潮、當地的謀殺案、空氣中的致癌物，還有會像電影《異形》裡的怪物一樣粘在寶寶小胖臉上的劣質玩具。表面上，你報道這些是為了向聽眾提供信息，但事實上，你這樣做不過是為了引起他們的注意。如果你真的希望人們能夠提高警惕，關注統計數據中對兒童成長最大的威脅，就應該提醒人們注意槍支和遊泳池造成的家庭事故。可你非但沒這麼做，反而生動地描繪了綁架和鱷魚攻擊這類概率小而又小的事件。你知道，我們無法把注意力從這些可怕的事情中移開——尤其是當它們被人為發酵的時候。

天氣預報員

哈嘍，天氣預報員！作為電視上的天氣預言家，你帶著堅定的手勢播報天氣情況，每次播報的結束語都是“現在，我們把現場交回直播間”。不過，為了避免人們因天氣不如意而遷怒於你，你有時候會在概率上做點小手腳。

當然，你是希望實話實說的。當你說有80% 的可能性下雨時，你說的就是事實：根據以往的統計，80% 的這種日子都會下雨。但當下雨的可能性降低時，你就會把這個數字放大，畢竟你會擔心有人在忘帶雨傘後將天氣的變化歸咎於你，甚至在網上吐槽和謾罵。所以當你說有20% 的可能性下雨時，其實下雨的概率只有10%，你提高了下雨的概率，從而降低自己遭受網絡暴力的概率。

或許有一天，人們能更好地理解概率，你也不再害怕說出真相。人們似乎認為“10%”的意思就是“不會發生”。如果他們接受了它的真正含義（每十次中會發生一次），你就不必對真實的概率守口如瓶，可以誠實地說出實際的概率了。而在那之前，你的天氣預報還是只能半真半假。

現在，我們把現場交回讀者。

哲學家

哈嘍，哲學家！你是個怪人，讀的書奇怪，寫的書更奇怪，和你一塊兒混跡於酒吧的朋友中既有基督教牧師，也有猶太教教士。

特立獨行的你，自然不會被概率嚇唬住。

你喜歡把“很可能”留給經驗主義者，轉而挖掘其他人認為“幾乎不可能”的想法，你問的問題和思考的觀點都與常人不同，因為這些想法深奧又晦澀，而且還很可能是錯的。但這就是你對這個世界的意義所在！在哲學發展的巔峰時期，哲學家帶領著人類發現了諸多全新的領域。比如，從亞裡士多德到威廉·詹姆斯，心理學發源於哲學。即使在哲學最糟糕的階段，哲學家的思考和質疑也能激發和鼓舞我們，這是其他學科都無法望其項背的。

《碟中諜》電影中的特工

哈嘍，《碟中諜》（Mission : Impossible）特工！你要完成“不可能的任務”。你是個傳奇人物，懸吊在天花板上潛入上鎖的金庫，戴著吸盤手套攀爬摩天大樓的外墻，向雙面間諜解釋自己三重間諜的真實身份。

不過，你似乎也不明白“不可能”到底意味著什麼。

“不可能”既不代表“像季度收益報告那樣規整而無趣”，也不代表“非常罕見”“相當困難”或“喲，幸好刀鋒停在了離湯姆·克魯斯眼睛一毫米遠的地方”。它的意思是“一絲可能性都不存在”。然而，這種“不可能”卻一直在發生。《碟中諜》系列電影的標題有多不誠實，電影主題曲的旋律就有多動聽。

不過，你不是唯一犯這類錯誤的人。這種似是而非的問題在小說界十分常見。《勝利之光》（Friday Night Lights）是我最喜歡的電視劇之一，這部劇描繪了得克薩斯州一個小鎮的平凡生活，探索了普通人的人性掙扎。然而，即便是在這個看起來可信度很高的故事裡，千載難逢的戲碼也在每場橄欖球比賽中屢屢上演：長達80米的觸地傳球、球門在線低級失誤，或者本該進門的球被橫梁彈飛。這不禁讓我陷入了思考：到底是我們把不可能的幻想投射到了電視屏幕上呢，還是電視屏幕把這些幻想植入了我們的內心？

“千年隼號”船長

哈嘍，“千年隼號”的船長！你是一方惡霸，卻心地善良。你的生活伴侶是一只2.43 米高、身披彈藥袋的太空狗。

還有，你完全拒絕談概率。

你不是深思熟慮的人。作為一個走私犯，一個帝國殺手，拼的就是速度和蠻勇。你殺害格裡多（Greedo）時果斷地一擊致命，而對手正是死於自己的猶豫不決。你的一生都在槍林彈雨中度過，戰場上沒有概率學家。對你來說，花費力氣去計算概率是一種拖累人的行為，就像允許旁邊有個神經質的金色機器人不停地絮叨：“天哪！不能這樣！”“主人，有句話我不知該不該說……”

我想，每個人心中都有你的影子。有條件冷靜而仔細地進行評估時，概率對我們很有用，但有時候我們也需要必勝的信念，哪怕這種信念並沒有堅實的、可以定量的事實支撐。在需要依靠本能行動的時刻，如果總是受縛於看似可信的概率，我們的靈魂將永遠在需要冒險時裹足不前。在這種時候，我們要做的其實是忘掉數字，堅信自己。