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商品簡介
作者簡介
序
目次
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《立體幾何的秘密》從立體幾何學科的特點出發，重點討論立體幾何的基本量問題的深度學習，從學生學習立體幾何的困惑點切入，重點突破立體幾何學習中的轉化與借用兩大技巧，以彌補空間想象能力的不足，試圖從“破”與“立”人手，對知識進行脫胎換骨式的重構，打通知識內在的“任督二脈”，盤活知識，使之變成鮮活的知識，使之變得更加豐滿，重現其獨有的脈絡感。對方法進行深度架構，使得方法呈現立體骨感，凸顯其系統性，達到一種境界：信手拈來，談笑間檣櫓灰飛煙滅。對於知識方法不求面面俱到，但求點點獨到，觸及問題的本源，化解立體幾何學習的痛點。
作者簡介
蘇立標，浙江省數學特級教師，浙江省中小學浙派名師，浙江省教師資格評審專家組成員，杭州市數學教研大組成員，杭州市中小學學科帶頭人，杭州市中學高級職稱評審專家組成員，浙江省高考、學考命題專家庫成員，杭師大附中數學教研組組長。曾參加浙江省高中學考命題工作，多次參與杭州市高三統測命題。在20多種刊物上公開發表論文100多篇，著有《圓錐曲線的秘密》等。
序
“前不見古人，後不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下。”這是唐代文學家陳子昂對時間與空間的認識，時間的模型是一條兩端無限延伸的直線，詩人處在原點，天與地各為兩個平面，悠悠地、無限地延展著……幾何就是在這樣的空間中緩緩地拉開了序幕，這裡的詩人、時間、天與地構成了點、線、面，而點、線、面則是構成空間幾何圖形的基本元素。立體幾何是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關係的數學學科，是認識空間圖形，培養和發展空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流能力以及幾何直觀能力的一門學科，
初識“立幾”，驚鴻一瞥，大到浩瀚星空，小到微觀粒子，都是立體幾何所研究的範疇。
正如李尚志老師所描繪的：“錐頂柱身立海天，高低大小也渾然；平行垂直皆風景，有角有棱足壯觀。”該詩生動、形象地描述了立體幾何研究的物件是空間幾何體。就像是海邊一張建筑照片似的，建筑頂部是錐體，底部是柱體，墻的邊緣、屋頂的邊緣形成多面體的棱和角，棱與棱之間有的平行，有的垂直，這些既是大自然的風景，也是立體幾何研究的主角。詩中還體現了一個生活哲理：壯麗的風景不能只要大的不要小的，只要高的不要低的，有大也有小，有高也有矮，有平行也要有垂直，多姿多彩，渾然一體，才是風景，才有壯觀，從這個角度來看立體幾何問題，其研究範圍包羅萬象，豐富多彩，無處不在，無時不有。可以說，立體幾何的問題就是“頂天立地”的問題。
再識“立幾”，驚嘆於其無比嚴密的推理過程，競把推理玩弄於股掌之間而遊刃有餘。曾經有一道大學生競賽題目：
一個正三棱錐與一個正四棱錐，它們的所有棱長都相等，把這個正三棱錐的一個側面重合在正四棱錐的一個側面上，這個組合體的面有幾個？
給出的參考答案是7個面。其實，如圖所示，當正三棱錐P-BCE的一個側面與正四棱錐P-ABCD的一個側面重合時，得到的是一個三棱柱，共5個面，因為正四棱錐P-ABCD的兩個側面所成的角與正三棱錐P-BCE的兩個側面所成的角正好互補，所以P，E，C，D四點共面，因此這個組合體共有5個面。
在學習立體幾何的過程中，我們需要具備幾何直觀想象能力，幾何直觀想象是揭示現代數學本質的有力工具，是認識幾何圖形的基礎。借助於幾何直觀、幾何解釋，啟迪思路，這可以幫助我們理解和接受立體幾何抽象的內容。但如果只有直觀想象而沒有嚴密推理的數學是非常可怕的。
正如章建躍博士所說：“如果說數學運算是數學的童子功，那麼數學推理則是數學的命根子。”推理是立體幾何問題解答的重要思維載體，在推理過程中滲透公理化思想，養成言必有據的理性思維精神。所以立體幾何問題解答的推理過程要步步有據，條條有理，一步一驟總關“理”。從這個角度來看，立體幾何是最講“道理”的數學學科，是推理的天堂。在這裡，大有“不懂推理者請勿入內”之範。
回眸“立幾”時，大有驀然回首之感。立體幾何是代數與幾何的完美結合，古人云：“風馬牛不相及。”但空間、平面與向量卻集一體，而且是“舉杯邀明月，對影成三人”的和諧景象。事實上，很多同學在學習立體幾何問題時，有很多的無奈和苦衷，很多時候是錯把幾何問題當作代數來學，讓美妙的幾何問題淹沒在茫茫的運算之中。從這個角度來看，重振立體幾何的“幾何雄風”迫在眉睫，這是本書成冊的一個美好的初衷，也是探索立體幾何秘密的重要通道。
本書從立體幾何學科的特點出發，重點討論立體幾何的基本量問題的深度學習，從學生學習立體幾何的困惑點切入，重點突破立體幾何學習中的轉化與借用兩大技巧，以彌補空間想象能力的不足，試圖從“破”與“立”人手，對知識進行脫胎換骨式的重構，打通知識內在的“任督二脈”，盤活知識，使之變成鮮活的知識，使之變得更加豐滿，重現其獨有的脈絡感。對方法進行深度架構，使得方法呈現立體骨感，凸顯其系統性，達到一種境界：信手拈來，談笑間檣櫓灰飛煙滅。對於知識方法不求面面俱到，但求點點獨到，觸及問題的本源，化解立體幾何學習的痛點。
初識“立幾”，驚鴻一瞥，大到浩瀚星空，小到微觀粒子，都是立體幾何所研究的範疇。
正如李尚志老師所描繪的：“錐頂柱身立海天，高低大小也渾然；平行垂直皆風景，有角有棱足壯觀。”該詩生動、形象地描述了立體幾何研究的物件是空間幾何體。就像是海邊一張建筑照片似的，建筑頂部是錐體，底部是柱體，墻的邊緣、屋頂的邊緣形成多面體的棱和角，棱與棱之間有的平行，有的垂直，這些既是大自然的風景，也是立體幾何研究的主角。詩中還體現了一個生活哲理：壯麗的風景不能只要大的不要小的，只要高的不要低的，有大也有小，有高也有矮，有平行也要有垂直，多姿多彩，渾然一體，才是風景，才有壯觀，從這個角度來看立體幾何問題，其研究範圍包羅萬象，豐富多彩，無處不在，無時不有。可以說，立體幾何的問題就是“頂天立地”的問題。
再識“立幾”，驚嘆於其無比嚴密的推理過程，競把推理玩弄於股掌之間而遊刃有餘。曾經有一道大學生競賽題目：
一個正三棱錐與一個正四棱錐，它們的所有棱長都相等，把這個正三棱錐的一個側面重合在正四棱錐的一個側面上，這個組合體的面有幾個？
給出的參考答案是7個面。其實，如圖所示，當正三棱錐P-BCE的一個側面與正四棱錐P-ABCD的一個側面重合時，得到的是一個三棱柱，共5個面，因為正四棱錐P-ABCD的兩個側面所成的角與正三棱錐P-BCE的兩個側面所成的角正好互補，所以P，E，C，D四點共面，因此這個組合體共有5個面。
在學習立體幾何的過程中，我們需要具備幾何直觀想象能力，幾何直觀想象是揭示現代數學本質的有力工具，是認識幾何圖形的基礎。借助於幾何直觀、幾何解釋，啟迪思路，這可以幫助我們理解和接受立體幾何抽象的內容。但如果只有直觀想象而沒有嚴密推理的數學是非常可怕的。
正如章建躍博士所說：“如果說數學運算是數學的童子功，那麼數學推理則是數學的命根子。”推理是立體幾何問題解答的重要思維載體，在推理過程中滲透公理化思想，養成言必有據的理性思維精神。所以立體幾何問題解答的推理過程要步步有據，條條有理，一步一驟總關“理”。從這個角度來看，立體幾何是最講“道理”的數學學科，是推理的天堂。在這裡，大有“不懂推理者請勿入內”之範。
回眸“立幾”時，大有驀然回首之感。立體幾何是代數與幾何的完美結合，古人云：“風馬牛不相及。”但空間、平面與向量卻集一體，而且是“舉杯邀明月，對影成三人”的和諧景象。事實上，很多同學在學習立體幾何問題時，有很多的無奈和苦衷，很多時候是錯把幾何問題當作代數來學，讓美妙的幾何問題淹沒在茫茫的運算之中。從這個角度來看，重振立體幾何的“幾何雄風”迫在眉睫，這是本書成冊的一個美好的初衷，也是探索立體幾何秘密的重要通道。
本書從立體幾何學科的特點出發，重點討論立體幾何的基本量問題的深度學習，從學生學習立體幾何的困惑點切入，重點突破立體幾何學習中的轉化與借用兩大技巧，以彌補空間想象能力的不足，試圖從“破”與“立”人手，對知識進行脫胎換骨式的重構，打通知識內在的“任督二脈”，盤活知識，使之變成鮮活的知識，使之變得更加豐滿，重現其獨有的脈絡感。對方法進行深度架構，使得方法呈現立體骨感，凸顯其系統性，達到一種境界：信手拈來，談笑間檣櫓灰飛煙滅。對於知識方法不求面面俱到，但求點點獨到，觸及問題的本源，化解立體幾何學習的痛點。
目次
第一章 立體幾何問題中的基本量——又見炊煙裊裊升起
1．1 基本量——表面積與體積
1．2 基本量——兩大位置關係
1．2．1 平行關係
1．2．2 垂直關係
1．3 基本量——三大空間角
1．3．1 線線角
1．3．2 線面角
1．3．3 二面角
思考題
第二章 立體幾何問題中的轉化——山不轉水轉
2．1 轉化為法向量
2．2 轉化為平面
2．2．1 截面
2．2．2 展開
2．2．3 投影
2．3 轉化為幾何體
2．3．1 補成正方體
2．3．2 補成長方體
2．3．3 補成正四面體
2．3．4 補成直三棱柱
思考題
第三章 立體幾何問題中的借用——春風又綠江南岸
3．1 借用符號
3．2 借用圖形
3．2．1 正方體或長方體
3．2．2 正四面體
3．2．3 球
3．2．4 圓錐
3．3 借用運算
3．3．1 向量三項和的平方公式
3．3．2 向量的對角線定理
3．4 借用結論
3．4．1 三餘弦定理
3．4．2 三正弦定理
3．4．3 最大角與最小角定理
思考題
……
第四章 立體幾何問題中的向量——小荷才露尖尖角
第五章 立體幾何問題中的探究——天光云影共徘徊
思考題解答
後記 你若盛開清風自來
1．1 基本量——表面積與體積
1．2 基本量——兩大位置關係
1．2．1 平行關係
1．2．2 垂直關係
1．3 基本量——三大空間角
1．3．1 線線角
1．3．2 線面角
1．3．3 二面角
思考題
第二章 立體幾何問題中的轉化——山不轉水轉
2．1 轉化為法向量
2．2 轉化為平面
2．2．1 截面
2．2．2 展開
2．2．3 投影
2．3 轉化為幾何體
2．3．1 補成正方體
2．3．2 補成長方體
2．3．3 補成正四面體
2．3．4 補成直三棱柱
思考題
第三章 立體幾何問題中的借用——春風又綠江南岸
3．1 借用符號
3．2 借用圖形
3．2．1 正方體或長方體
3．2．2 正四面體
3．2．3 球
3．2．4 圓錐
3．3 借用運算
3．3．1 向量三項和的平方公式
3．3．2 向量的對角線定理
3．4 借用結論
3．4．1 三餘弦定理
3．4．2 三正弦定理
3．4．3 最大角與最小角定理
思考題
……
第四章 立體幾何問題中的向量——小荷才露尖尖角
第五章 立體幾何問題中的探究——天光云影共徘徊
思考題解答
後記 你若盛開清風自來
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