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商品簡介
目次
書摘/試閱

商品簡介

《實變函數與泛函分析學習指導》對實變函數與泛函分析以及Banach空間中微積分學的一些基本問題和習題進行了詳細的分析、解答和討論,注重通過反例來加深讀者對概念和內容的理解。《實變函數與泛函分析學習指導》主要內容包括集合與測度、可測函數、Lebesgue積分、線性賦範空間、內積空間、有界線性算子與有界線性泛函、Banach空間中的微分和積分,每一章按著知識梗概梳理、典型問題討論和習題詳解與精析來安排內容,解決學習實變函數與泛函分析課程中的難點問題,幫助讀者學好這門課程。《實變函數與泛函分析學習指導》還有習題精解視頻,掃描二維碼可以反復學習,鞏固掌握重難點。

目次

目錄
前言
第1章 集合與測度 1
一、知識梗概梳理 1
二、典型問題討論 9
三、習題詳解與精析 12
第2章 可測函數 27
一、知識梗概梳理 27
二、典型問題討論 30
三、習題詳解與精析 33
第3章 Lebesgue積分 52
一、知識梗概梳理 52
二、典型問題討論 60
三、習題詳解與精析 68
第4章 線性賦範空間 82
一、知識梗概梳理 82
二、典型問題討論 87
三、習題詳解與精析 92
第5章 內積空間 102
一、知識梗概梳理 102
二、典型問題討論 105
三、習題詳解與精析 108
第6章 有界線性算子與有界線性泛函 113
一、知識梗概梳理 113
二、典型問題討論 119
三、習題詳解與精析 128
第7章 Banach空間中的微分和積分 138
一、知識梗概梳理 138
二、典型問題討論 144
三、習題詳解與精析 158
參考文獻 174

書摘/試閱

第1章 集合與測度
定理1.1 設是一集族, B是任一集合, 則
定理1.2 (De Morgan對偶律) 如果為全集, 是的子集族, 則
推論 設X為全集, 如果是X的子集族, 則
定義1.1 設是一列集合, 簡記為{An}. 稱集合為{An}的上限集, 記為或; 稱集合為的下限集, 記為或. 如果, 則稱集列{An}收斂, 並稱這個集合為集列{An}的極限集, 記為.
定理1.3 設是一列集合, 則
從而.
定義1.2 設是一列集合. 如果, 則稱這列集合為單調遞減集列, 簡稱為遞減集列; 如果, 則稱這列集合為單調遞增集列, 簡稱為遞增集列. 遞增集列與遞減集列統稱為單調集列.
單調集列收斂, 如果是遞增集列, 那麼; 如果是遞減集列, 那麼.
定義1.3 設為全集, , 作上的函數
稱為集合的特征函數.
定理1.4 設X為全集, 是X的子集族, 則
(1)
(2)
(3)
(4) 如果, 當A(i=1,2,3, ,n)互不相交時,
(5)
(6)
定義1.4 設X1,X2, ,Xn是n個非空集合. 稱下列有序元素組的集合
為X1,X2, ,Xn的Descartes乘積, 簡稱為X1,X2, ,Xn的積集, 記為
特別地, 記
定義1.5 設X,Y是兩個非空集合, 如果存在一個法則f, 使得對於任意x∈X, 在Y中有**確定的元素y與之對應, 則稱f是X到Y的一個映射, 記為. y稱為x在映射f之下的像, 記為y=f(x).X稱為映射f的定義域, 記為.
集合稱為映射f的值域, 記為. 當Y=R時, 將映射f叫做函數. X×Y的子集稱為映射f的圖像, 記為. 如果, 稱Y的子集為在映射f下的像, 記為f(A); 稱X的子集為映射f下B的原像, 記為.
設X,Y,Z都是非空集合, 映射, . 定義
則是X→Z的映射, 稱為f與g的復合映射.
定義1.6 設X,Y是兩個非空集合, 映射. 如果, 當x1≠x2時, 有, 則稱f是X到Y的單射; 如果, 則稱f是X到Y的滿射; 如果f既是X到Y的單射, 又是X到Y的滿射, 則稱f是X到Y的雙射, 或稱f是X到Y的一一對應.
如果中的集合, 則; 如果的子集, 則.
定理1.5 設是兩個非空集合, 映射. 如果集合, 是的子集族, 是的子集族, 則
(1) 當是單射時,
(2) 當是滿射時,
(3)
(4) 當為單射時,
(5)
定義1.7 設A,B是兩個非空集合, 如果存在一個A到B的雙射f, 則稱集合A與集合B對等, 記為A~B.
定理1.6 (Bernstein) 設A,B是兩個集合. 如果A對等於B的一個子集, 又B對等於A的一個子集, 則A與B對等.
定義1.8 如果集合A與正整數集合N對等, 那麼稱A是可數集或可列集. 如果A既不是有限集也不是可數集, 則稱A是不可數集.
將有限集和可數集統稱為至多可數集.
集合A是可數集當A且僅當中的元素可以排成無限序列的形式
定理1.7 任一無限集中含有可數子集.
推論 可數集的每個無限子集也是可數集.
定理1.8 可數個可數集的並集是可數集.
定理1.9 有理數集Q是可數集.
定理1.10 區間[0,1]是不可數集.
推論 任何區間I(開區間、閉區間、半開區間、無限區間)都是不可數集.
定理1.11 如果集合A中的元素為直在線互不相交的開區間, 那麼A是至多可數集.
定義1.9 設是非空集合, 如果映射
滿足下列條件(稱為度量公理):
(1) 正定性, 且;
(2) 對稱性
(3) 三角不等式
則稱是上的度量函數或距離函數, 非負實數稱為兩點之間的距離.定義了距離的集合稱為度量空間或距離空間, 記為. 如果不需要特別指明度量, 簡記為.
如果X1是度量(X,d)空間的非空子集, 顯然也是X1上的度量函數, 這時稱是的子空間.
命題1.1 中的Euclid距離滿足度量公理.
在Rn中可以定義其他的度量, 如, 定義或. 以後我們提到空間, 除非特別說明, 都是指賦予Euclid距離的度量空間.
定義1.10 設是度量空間中的一個點列,如果, 則稱點列收斂於, 也稱是點列的極限, 記為或.
定理1.12 度量空間(X,d)中的極限具有**性.
定理1.13 設度量空間(X,d)中的點列{xn}收斂於x0, 則{xn}的任意子列也收斂於.
命題1.2 在度量空間Rn中, 點列收斂於當且僅當時, .
設,度量空間中的集合
叫做以x0為球心、δ為半徑的開球, 也稱為x0的δ鄰域. 如果度量空間X中的子集M能被包含在一個開球中, 則稱M為有界集, 否則稱為無界集. 設是的非空子集, 如果存在的鄰域, 則稱是的內點, 的全體內點的集合稱為的內部, 記為. 如果存在的鄰域, 使得, 則稱是的外點. 如果, 有
則稱是的邊界點, 的全體邊界點的集合記為, 稱為的邊界. 如果, 有
則稱是的聚點, 的全體聚點的集合記為, 稱為的導集. 如果集合的每一點都是它的內點, 即, 則稱為開集. 如果, 則稱為閉集. 記, 稱為的閉包. 如果但不是的聚點, 則稱是的孤立點.
空集以及本身既是開集也是閉集.
定理1.14 設是度量空間, 是的非空子集.
(1) 是閉集, 並且, 另外是包含的*小閉集, 即當是閉集且時, ;
(2) 是開集, 並且, 另外是包含於的*大開集, 即當是開集且時, ;
(3) 是閉集當且僅當;
(4)
(5) 是的外點;
(6) 若是開集, 則是閉集;
(7) 若是閉集, 則是開集;
(8) 任意多個開集的並集是開集, 有限個開集的交集是開集;
(9) 任意多個閉集的交集是閉集, 有限個閉集的並集是閉集;
(10) 當且僅當存在, , 使得.
定理1.15 設是度量空間中的子集, 則是閉集當且僅當對中的任意點列, 如果時, , 那麼.
設, 是度量空間中的非空子集, 稱為點到集合的距離, 記為.
定理1.16 設, 是度量空間中的非空閉子集. 如果, 則到的距離.
設是度量空間, 是的非空子集, 顯然也是上的度量函數,稱為的度量子空間, 在不產生混淆時簡稱子空間. 設, 子空間中的開球
稱為在子空間中的鄰域. 設是的非空子集, 如果存在在子空間中的鄰域, 則稱是在子空間中的內點, 在子空間中全體內點的集合稱為的相對內部, 記為. 記, 如果並且, 有
則稱是在子空間中的邊界點, 在子空間中的全體邊界點的集合記為, 稱為相對邊界. 如果, 有
則稱是在子空間中的聚點, 在子空間中全體聚點的集合稱為的相對導集, 記為. 如果集合的每一點都是它在子空間中的內點, 即, 則稱為相對開集. 如果, 則稱為相對閉集. 記, 稱為的相對閉包.
空集以及本身既是相對開集也是相對閉集.
定理1.17 設為的度量子空間, 是的非空子集.

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