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商品簡介
作者簡介
名人/編輯推薦
序
目次
書摘/試閱
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《沒有王者之路:幾何原本》內容簡介:《原本》成書于公元前三百年左右,距離今天兩千三百年,《原本》的作者是亞歷山德拉的歐基里得(Euclid of Alexandria),他的生卒年根據推測大概是公元前330~260年,正是馬其頓英主亞歷山大開始發展勢力,開創希臘化文化的初期。《原本》是一本數學著作,章節安排有著嚴謹的結構,全書由定義、公設、設準、命題(定理)、證明,以及符號和圖像所構成,全書共十三卷。
《原本》其實是歐基里得將古希臘數學集大成的著作,包括了希臘科學數學家:泰利斯、畢達哥拉斯、希波克拉提斯等人的成果。導讀者翁秉仁教授認為《原本》之所以是經典,是因為歐基里得采用了非常特殊的編纂法,就是推理的方法或邏輯。歐基里得的原創性不是表現四百多個命題的敘述,因為許多命題在當時是已知的知識。歐基里得的天才表現在他有精準深刻的眼光,選擇恰當的公設,又有驚人的推理能力,可以一步步將這許多命題整合成一個體系。引用笛卡兒的譬喻,歐基里得不是只找出一條鐵鏈,而是將許多條推理的長練,編織成一張鐵鏈網,將所有的《原本》命題都固定在五個牢靠的首環上,亦即五個公設上,包括著名的“平行公設”。
《原本》其實是歐基里得將古希臘數學集大成的著作,包括了希臘科學數學家:泰利斯、畢達哥拉斯、希波克拉提斯等人的成果。導讀者翁秉仁教授認為《原本》之所以是經典,是因為歐基里得采用了非常特殊的編纂法,就是推理的方法或邏輯。歐基里得的原創性不是表現四百多個命題的敘述,因為許多命題在當時是已知的知識。歐基里得的天才表現在他有精準深刻的眼光,選擇恰當的公設,又有驚人的推理能力,可以一步步將這許多命題整合成一個體系。引用笛卡兒的譬喻,歐基里得不是只找出一條鐵鏈,而是將許多條推理的長練,編織成一張鐵鏈網,將所有的《原本》命題都固定在五個牢靠的首環上,亦即五個公設上,包括著名的“平行公設”。
作者簡介
原著:(古希臘)歐幾里德 導讀作者:翁秉仁 插圖者:Akibo
翁秉仁,1960年生,1991年美國加州大學博士。目前為臺灣大學數學系副教授,研究興趣為拓樸學與幾何學。「數學知識網站」的負責人。
Akibo,藝術家、設計師。曾任實踐大學應用美術系講師、國立臺灣師范大學駐校藝術家,現任臺北科技大學互動媒體設計研究所講師,Akibo Works 負責人。曾為臺灣流行音樂創作許多令人矚目的經典設計;同時他也創作許多機器人作品,從純藝術創作擴及到商業品牌、表演藝術、公共藝術到等各個領域。
翁秉仁,1960年生,1991年美國加州大學博士。目前為臺灣大學數學系副教授,研究興趣為拓樸學與幾何學。「數學知識網站」的負責人。
Akibo,藝術家、設計師。曾任實踐大學應用美術系講師、國立臺灣師范大學駐校藝術家,現任臺北科技大學互動媒體設計研究所講師,Akibo Works 負責人。曾為臺灣流行音樂創作許多令人矚目的經典設計;同時他也創作許多機器人作品,從純藝術創作擴及到商業品牌、表演藝術、公共藝術到等各個領域。
名人/編輯推薦
《沒有王者之路:幾何原本》編輯推薦:羅素曾經這樣形容某本書給他的讀後感:“宛如初戀,我從沒想到世上有如此甘美的事物。”他說的不是愛情小說,而是由謎一般的歐幾里得所寫的《原本》。理解《原本》價值的人,都經歷過類似的心路歷程:突然意識到自己憑借著思考,就能在變化復雜的現實世界中,推論出確定的知識,中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。
這就是《原本》的魔力。
這就是《原本》的魔力。
序
大約一百年前,甘地在非洲當律師。有天,他要搭長途火車,朋友在月臺上送了他一本書。火車抵站的時候,他讀完了那本書,知道自己的未來從此不同。因為,“我決心根據這本書的理念,改變我的人生。”
日後,甘地被稱為“印度聖雄”的一些基本理念與信仰,都可溯源到這本書’。
閱讀,可以有許多收獲與快樂。
其中最神奇的是,如果我們有幸遇上一本充滿魔力的書,就會跨進一個自己原先無從遭遇的世界,見識到超出想象之外的天地與人物。于是,我們對人生、對未來的認知與準備,截然改觀。
充滿這種魔力的書很多。流傳久遠的,就有了“經典”的稱呼。
稱之為“經典”,原是贊嘆與敬意。偏偏,敬意也容易轉變為敬畏。因此,不論中外,提到“經典”會敬而遠之,是人性之常。
還不只如此。這些魔力之書的內容,包括其時間與空間的背景、作者與相關人物的關系、遣詞用字的意涵,隨著物換星移,也可能會越來越神秘,難以為後人所理解。
于是,“經典”很容易就成為“傳說中的書”——人人久聞其名,卻沒有機會也不知如何打開的書。
我們讓傳說中的書隨風而逝,作者固然遺憾,損失的還是我們。
每一部經典,都是作者夢想之作的實現;每一部經典,都可以召喚起讀者內心的另一個夢想。
讓經典塵封,其實是在封閉我們自己的世界和天地。
何不換個方法面對經典?何不讓經典還原其魔力之書的本來面目?
這就是我們的想法。
因此,我們先請一個人,就他的角度,介紹他看到這部經典的魔力何在。
再來,我們以跨越文字、繪畫、攝影、圖表的多元角度,來打開困鎖住魔力之書的種種神秘符號。
然後,為了使現代讀者不會在時間和心力上感受到太大壓力,我們挑選經典原著最核心、最關鍵的篇章,希望讀者直接面對魔力之書的原始精髓。此外,還有一個網站,提供相關內容的整合、影音數據、延伸閱讀,以及讀者互動的可能。
因為這是從多元角度來體驗經典,所以我們稱之為《經典3.0》。
最後,我們邀請的就是讀者,您了。
您要做的唯一的事情,就是對這些魔力之書的光環不要感到壓力,而是好奇。
您會發現:打開傳說中的書,原來就是打開自己的夢想與未來。
日後,甘地被稱為“印度聖雄”的一些基本理念與信仰,都可溯源到這本書’。
閱讀,可以有許多收獲與快樂。
其中最神奇的是,如果我們有幸遇上一本充滿魔力的書,就會跨進一個自己原先無從遭遇的世界,見識到超出想象之外的天地與人物。于是,我們對人生、對未來的認知與準備,截然改觀。
充滿這種魔力的書很多。流傳久遠的,就有了“經典”的稱呼。
稱之為“經典”,原是贊嘆與敬意。偏偏,敬意也容易轉變為敬畏。因此,不論中外,提到“經典”會敬而遠之,是人性之常。
還不只如此。這些魔力之書的內容,包括其時間與空間的背景、作者與相關人物的關系、遣詞用字的意涵,隨著物換星移,也可能會越來越神秘,難以為後人所理解。
于是,“經典”很容易就成為“傳說中的書”——人人久聞其名,卻沒有機會也不知如何打開的書。
我們讓傳說中的書隨風而逝,作者固然遺憾,損失的還是我們。
每一部經典,都是作者夢想之作的實現;每一部經典,都可以召喚起讀者內心的另一個夢想。
讓經典塵封,其實是在封閉我們自己的世界和天地。
何不換個方法面對經典?何不讓經典還原其魔力之書的本來面目?
這就是我們的想法。
因此,我們先請一個人,就他的角度,介紹他看到這部經典的魔力何在。
再來,我們以跨越文字、繪畫、攝影、圖表的多元角度,來打開困鎖住魔力之書的種種神秘符號。
然後,為了使現代讀者不會在時間和心力上感受到太大壓力,我們挑選經典原著最核心、最關鍵的篇章,希望讀者直接面對魔力之書的原始精髓。此外,還有一個網站,提供相關內容的整合、影音數據、延伸閱讀,以及讀者互動的可能。
因為這是從多元角度來體驗經典,所以我們稱之為《經典3.0》。
最後,我們邀請的就是讀者,您了。
您要做的唯一的事情,就是對這些魔力之書的光環不要感到壓力,而是好奇。
您會發現:打開傳說中的書,原來就是打開自己的夢想與未來。
目次
02 他們這么說這本書
04 與作者相關的一些人
06 這本書的事情
08 這位作者的事情
10 這本書要你去旅行的地方
13 導讀 翁秉仁
63 隱藏在Akibo機器人幾何世界里的公設與命題Akibo
81 原典選讀 歐幾里得原著
116 這本書的譜系
118 延伸的書、音樂、影像
04 與作者相關的一些人
06 這本書的事情
08 這位作者的事情
10 這本書要你去旅行的地方
13 導讀 翁秉仁
63 隱藏在Akibo機器人幾何世界里的公設與命題Akibo
81 原典選讀 歐幾里得原著
116 這本書的譜系
118 延伸的書、音樂、影像
書摘/試閱
作為“經典”的有力證明
當讀者知道這本經典竟然是一本初高中程度的數學書時,也許覺得很泄氣又疑惑,納悶數學書怎么可以比得上《莊子》、《詩經》或者莎士比亞的大著?在我們的教育里,數學或科學一向被塑造成困難又技術性的無聊學科,對一般人來說,除了考試之外,根本和我們沒有什么關系,讀者如果這樣想其實并不奇怪。但是,《原本》到現在流傳一千多種版本,除了《聖經》之外,這本書是現存版本最多的書籍,這表示它有極高的傳抄度與傳播價值。《聖經》的重要性廣為人知,但為什么第二名竟然會是一本數學書呢?《原本》也是年代最久遠、最成功、影響最深遠的教科書──一本教科書可以跨越時空、擁有多達一千多種版本,當然有著非常重要的意義在里頭。
《原本》是西方到二十世紀之前,知識分子或是精英教育必讀的經典,地位就像中國人的《四書》。中世紀時,西方大學有所謂的“四藝”,學生要學算術、幾何、音樂跟天文,研讀《原本》是當時精英想掌握知識的基本訓練。當然這種教育和現代普及教育很不一樣,當時的讀書人很少。
讓我再舉一些知名《原本》讀者的話來佐證。愛因斯坦無疑是當世最知名的物理學家,是大家談到“天才”一詞時的首選。愛因斯坦這樣說過:
十二歲剛開學時,我經歷了人生……奇妙的事,一本處理歐氏幾何的小書,上頭提到三角形的三高交于一點,這件事絕非顯然,但是書上卻以不容置疑的確定性,證明了這個命題。那種清澈與確定的感覺,讓我留下難以形容的印象。
再舉個例,我拿到這本神聖幾何小書前,舅舅曾經告訴我勾股定理,經過一番奮斗後,我用相似三角形的方法“證明”了這個定理,任何人第一次經歷這種事,都會覺得人類竟然能夠達到這樣的確定性與純粹思考,實在是不可思議。
這兩段話最重要的是後面的結論,理解《原本》價值的人都經歷過類似的心路歷程,突然意識到自己憑借著思考,就能在變化復雜的現實世界中,推論出確定的知識,中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。
同樣的感受,也見諸英國知名的知識分子羅素。羅素的散文清晰而睿智,是諾貝爾文學獎的得主。他和數學的關系不深,但對數學哲學與分析哲學卓有貢獻,他說過:
我十一歲開始跟哥哥讀歐幾里得,這是我一生中的大事,宛如初戀,我從沒想到世上有如此甘美的事物。
由此可知《原本》有一種魔力,讓這兩位智慧超絕的大師在年少時,就受到莫大的吸引。
接下來看看第十六任美國總統林肯的說法:
最後我對自己說,林肯,如果你始終搞不懂“證明”是什么,就別當律師了。所以我放棄春田市的工作,回到父親家,直到我能夠將身邊歐幾里得六卷中的命題都做出來,我才繼續回去研究法律。
林肯是律師出身,他當時在春田市剛開始當助理見習,受到挫折,因此回家躲起來練功,直到練完《原本》的前六卷,理解了證明的精義,才有信心繼續律師的事業。這是因為《原本》的思考方式和律師論證的方式一樣,需要嚴格的推理。
《幾何原本》譯者徐光啟是農家子弟,四十二歲中進士,跟利瑪竇學習西法,四十四歲開始跟利瑪竇合譯《幾何原本》,他是西風東漸早期,最能夠鑒賞西方思想的華人之一。底下段落節自《幾何原本》卷首之《幾何原本雜義》:
此書有四不必:不必疑,不必揣,不必試,不必改。有四不可得:欲脫之不可得,欲駁之不可得,欲減之不可得,欲前後更置之不可得。
這是對《原本》很高的推崇,表示《原本》的結構嚴謹,內容知識確定,沒有可以懷疑和更動的空間。接著下面這段話很有意思:
有三至三能:似至晦,實至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,實至簡,故能以其簡簡他物之至繁;似至難,實至易,故能以其易易他物之至難。易生于簡,簡生于明,綜其妙在明而已。
學過初中數學尤其是幾何證明的讀者,對他這段話必定感到心有戚戚焉。沒學懂的,覺得數學真是晦澀、繁雜、困難。但是偏偏那些學懂的,說數學其實很明白、簡單、容易,而且他們還不是嘴巴上說說而已,面對一堆數學問題時,好像真的掌握了什么鑰匙,一通百通。徐光啟顯然也經歷過這樣的震撼,然後他反省出中間的道理:我們之所以覺得容易,是因為其中的道理簡單,而之所以簡單,則是因為原理很明白,是每個人直覺就知道的事情。
徐光啟是進士,對漢學傳統中抽象思想的部分有一定的理解,中國思想中儒道釋都有玄談的一面,像這類以至易御至難的文字并不少見,但是漢文化的玄學,通常以比附類推這種“闡釋”型、後見之明思想居多。但是《原本》卻不是玄學,是真正有用的以簡馭繁之學,徐光啟寫這段話必定心中頗有感觸,想必是讓他把《原本》這門西學引入中國的原因之一。
往聖先賢的數學知識
《原本》有兩個基本要素。首先,它的內容,也就是當時已知的數學知識,部分是兩河流域文明、埃及文明已經知道的經驗知識;有些是希臘先賢發展的數學知識,大部分都不是歐幾里得的個人創見。
經驗知識是從操作和觀察中所得到的知識,可能正確,也可能錯誤。例如許多文明都知道圓“周三徑一”,也就是圓周長是半徑的三倍,這是實用的錯誤知識。又例如許多文明知道3、4、5構成直角三角形的三邊長,這是實用的正確知識。重點是,他們原來并不知道這些知識到底是對還是錯。人類的素樸數學知識,很像小學時代學習數學的探索
方式。譬如說我要看三角形內角和是不是180度,可去剪幾個三角形量量看,這樣的結果當然不可靠,因為光靠測量結果所歸納的知識,可能只是近似的對,通常也只是孤立的知識。他們多半不知道手邊的知識,彼此之間是不是有關聯。
比如光知道3、4、5構成直角三角形的三邊長,和確定知道任意直角三角形,兩短邊的平方加起來是最長邊(斜邊)的平方(也就是勾股定理),這兩者的知識層級相去甚遠。來自早期文明的素樸數學知識通常只是經驗有用的法則。
不過《原本》的內容倒不全是素樸知識,其中也有比較成熟的數學知識。歐幾里得并不是古希臘的第一個數學家,上文提過在他以前的很多先驅者,均是天文、數學或哲學上的大家。泰利斯經常被稱為“西方科學之父”,因為他是第一個用理性方式思考宇宙原理的人;畢達哥拉斯創立了畢氏學派,他有非常完整的數學哲學,認為宇宙萬物都是數,因此一定有辦法用數的學問來理解這個宇宙。勾股定理一般認為是畢達哥拉斯或畢氏學派的杰作,這表示他們至少能局部上證明數學定理。尤多瑟士的“窮盡法”是極限概念的先聲,他和後來的希累提特斯打造了無理數的理論,發展“不可公度量”的概念。這些都收錄在《原本》中。
事實上,到了柏拉圖時代,希臘文化已經十分尊崇幾何學。柏拉圖在雅典開創的雅典學院,提供知識分子學術思辨與教育傳承的場所,號稱史上第一所大學。據說在學院入口的大門上刻著“不識幾何學不能入此學院”的教箴。柏拉圖甚至還說過“上帝以幾何造世”(God ever geometrize)的名言。因此,身為雅典學院的傳人,歐幾里得在撰寫《原本》時,面前已經有許多已知的數學知識,因為先驅者已經提煉出許多經過思考、成熟度不一的材料。他所面臨的問題,是如何編纂這些數學知識。如果他只是將這些知識羅列起來,按照人名或領域來分門別類或排序的話,那么《原本》就根本稱不上偉大。《原本》之所以是經典,就是因為歐幾里得采用了非常特殊的編纂法,這就直接牽涉到《原本》背景的第二個基本要素。
掌握邏輯推理的鑰匙《原本》的第二個要素,簡單地說,就是推理的方法或邏輯。柏拉圖時代的雅典社會,是基于奴隸制的民主城邦社會。雅典人喜歡議論或辯論,也讓他們從經驗里慢慢發展出嚴格的推理邏輯。希臘哲學家蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德號稱“希臘三哲”,他們的思想是西方思想的源頭。我們從柏拉圖著作中所記載的蘇格拉底言論,還有柏拉圖、亞里士多德的著作中,知道希臘人掌握了這樣的思考方法。
思考推理的方法脫胎于人類的言語方式。只是希臘哲學家,從里面整理出推理的規則。比如柏拉圖非常重視敘述的真假、有效的推理、運用定義的方法,而他的學生亞里士多德,更完成了第一個邏輯推理體系。推理方法是歐幾里得編纂《原本》的重要基礎。
所謂推理方法,就是思考時,能夠從前面的敘述推出後面結論的正確方法。希臘哲學家看出一個關鍵點:當我們思考時,必須嚴格遵守推理的形式,不然思考就有陷入錯誤的危險;至于思考過程的正確與否,并不能依靠結論的真假來判斷。舉一個簡單的例子,假設“所有動物都會死亡”,那么因為“人是動物”,所以你可以推論出“人會死亡”的結果,這是一個正確的推論形式。我們現在套用這個形式,假設“所有動物都是卵生”,都要產卵孵育下一代,那因為“人是動物”,所以“人是卵生”的。請注意,這個推論是正確的,因為它遵守了正確的推理形式。當然,人是卵生動物是荒謬的,但這并不表示推理過程的形式有誤,而是一開頭的前提“所有動物都是卵生”是錯的。
再舉一個反面的例子。假設“所有動物都會死亡”,那么因為“人會死亡”,所以“人是動物”。這看起來好像很正確,因為結論是對的,但即使上面三個敘述都是對的,其實這段推理仍然是錯謬的。為什么呢?只要舉出一個反例就可以證明了。例如“蘭花也會死亡”,按照上面的“推理”方式,就應該推論出“蘭花是動物”,這當然是荒謬的。我們從正確的前提,卻“推論”出錯誤的結論,這表示這種推理形式是錯誤的。所以,推論的重點在于形式,并不是其中牽涉到的敘述都對,推論就一定正確。
當讀者知道這本經典竟然是一本初高中程度的數學書時,也許覺得很泄氣又疑惑,納悶數學書怎么可以比得上《莊子》、《詩經》或者莎士比亞的大著?在我們的教育里,數學或科學一向被塑造成困難又技術性的無聊學科,對一般人來說,除了考試之外,根本和我們沒有什么關系,讀者如果這樣想其實并不奇怪。但是,《原本》到現在流傳一千多種版本,除了《聖經》之外,這本書是現存版本最多的書籍,這表示它有極高的傳抄度與傳播價值。《聖經》的重要性廣為人知,但為什么第二名竟然會是一本數學書呢?《原本》也是年代最久遠、最成功、影響最深遠的教科書──一本教科書可以跨越時空、擁有多達一千多種版本,當然有著非常重要的意義在里頭。
《原本》是西方到二十世紀之前,知識分子或是精英教育必讀的經典,地位就像中國人的《四書》。中世紀時,西方大學有所謂的“四藝”,學生要學算術、幾何、音樂跟天文,研讀《原本》是當時精英想掌握知識的基本訓練。當然這種教育和現代普及教育很不一樣,當時的讀書人很少。
讓我再舉一些知名《原本》讀者的話來佐證。愛因斯坦無疑是當世最知名的物理學家,是大家談到“天才”一詞時的首選。愛因斯坦這樣說過:
十二歲剛開學時,我經歷了人生……奇妙的事,一本處理歐氏幾何的小書,上頭提到三角形的三高交于一點,這件事絕非顯然,但是書上卻以不容置疑的確定性,證明了這個命題。那種清澈與確定的感覺,讓我留下難以形容的印象。
再舉個例,我拿到這本神聖幾何小書前,舅舅曾經告訴我勾股定理,經過一番奮斗後,我用相似三角形的方法“證明”了這個定理,任何人第一次經歷這種事,都會覺得人類竟然能夠達到這樣的確定性與純粹思考,實在是不可思議。
這兩段話最重要的是後面的結論,理解《原本》價值的人都經歷過類似的心路歷程,突然意識到自己憑借著思考,就能在變化復雜的現實世界中,推論出確定的知識,中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。
同樣的感受,也見諸英國知名的知識分子羅素。羅素的散文清晰而睿智,是諾貝爾文學獎的得主。他和數學的關系不深,但對數學哲學與分析哲學卓有貢獻,他說過:
我十一歲開始跟哥哥讀歐幾里得,這是我一生中的大事,宛如初戀,我從沒想到世上有如此甘美的事物。
由此可知《原本》有一種魔力,讓這兩位智慧超絕的大師在年少時,就受到莫大的吸引。
接下來看看第十六任美國總統林肯的說法:
最後我對自己說,林肯,如果你始終搞不懂“證明”是什么,就別當律師了。所以我放棄春田市的工作,回到父親家,直到我能夠將身邊歐幾里得六卷中的命題都做出來,我才繼續回去研究法律。
林肯是律師出身,他當時在春田市剛開始當助理見習,受到挫折,因此回家躲起來練功,直到練完《原本》的前六卷,理解了證明的精義,才有信心繼續律師的事業。這是因為《原本》的思考方式和律師論證的方式一樣,需要嚴格的推理。
《幾何原本》譯者徐光啟是農家子弟,四十二歲中進士,跟利瑪竇學習西法,四十四歲開始跟利瑪竇合譯《幾何原本》,他是西風東漸早期,最能夠鑒賞西方思想的華人之一。底下段落節自《幾何原本》卷首之《幾何原本雜義》:
此書有四不必:不必疑,不必揣,不必試,不必改。有四不可得:欲脫之不可得,欲駁之不可得,欲減之不可得,欲前後更置之不可得。
這是對《原本》很高的推崇,表示《原本》的結構嚴謹,內容知識確定,沒有可以懷疑和更動的空間。接著下面這段話很有意思:
有三至三能:似至晦,實至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,實至簡,故能以其簡簡他物之至繁;似至難,實至易,故能以其易易他物之至難。易生于簡,簡生于明,綜其妙在明而已。
學過初中數學尤其是幾何證明的讀者,對他這段話必定感到心有戚戚焉。沒學懂的,覺得數學真是晦澀、繁雜、困難。但是偏偏那些學懂的,說數學其實很明白、簡單、容易,而且他們還不是嘴巴上說說而已,面對一堆數學問題時,好像真的掌握了什么鑰匙,一通百通。徐光啟顯然也經歷過這樣的震撼,然後他反省出中間的道理:我們之所以覺得容易,是因為其中的道理簡單,而之所以簡單,則是因為原理很明白,是每個人直覺就知道的事情。
徐光啟是進士,對漢學傳統中抽象思想的部分有一定的理解,中國思想中儒道釋都有玄談的一面,像這類以至易御至難的文字并不少見,但是漢文化的玄學,通常以比附類推這種“闡釋”型、後見之明思想居多。但是《原本》卻不是玄學,是真正有用的以簡馭繁之學,徐光啟寫這段話必定心中頗有感觸,想必是讓他把《原本》這門西學引入中國的原因之一。
往聖先賢的數學知識
《原本》有兩個基本要素。首先,它的內容,也就是當時已知的數學知識,部分是兩河流域文明、埃及文明已經知道的經驗知識;有些是希臘先賢發展的數學知識,大部分都不是歐幾里得的個人創見。
經驗知識是從操作和觀察中所得到的知識,可能正確,也可能錯誤。例如許多文明都知道圓“周三徑一”,也就是圓周長是半徑的三倍,這是實用的錯誤知識。又例如許多文明知道3、4、5構成直角三角形的三邊長,這是實用的正確知識。重點是,他們原來并不知道這些知識到底是對還是錯。人類的素樸數學知識,很像小學時代學習數學的探索
方式。譬如說我要看三角形內角和是不是180度,可去剪幾個三角形量量看,這樣的結果當然不可靠,因為光靠測量結果所歸納的知識,可能只是近似的對,通常也只是孤立的知識。他們多半不知道手邊的知識,彼此之間是不是有關聯。
比如光知道3、4、5構成直角三角形的三邊長,和確定知道任意直角三角形,兩短邊的平方加起來是最長邊(斜邊)的平方(也就是勾股定理),這兩者的知識層級相去甚遠。來自早期文明的素樸數學知識通常只是經驗有用的法則。
不過《原本》的內容倒不全是素樸知識,其中也有比較成熟的數學知識。歐幾里得并不是古希臘的第一個數學家,上文提過在他以前的很多先驅者,均是天文、數學或哲學上的大家。泰利斯經常被稱為“西方科學之父”,因為他是第一個用理性方式思考宇宙原理的人;畢達哥拉斯創立了畢氏學派,他有非常完整的數學哲學,認為宇宙萬物都是數,因此一定有辦法用數的學問來理解這個宇宙。勾股定理一般認為是畢達哥拉斯或畢氏學派的杰作,這表示他們至少能局部上證明數學定理。尤多瑟士的“窮盡法”是極限概念的先聲,他和後來的希累提特斯打造了無理數的理論,發展“不可公度量”的概念。這些都收錄在《原本》中。
事實上,到了柏拉圖時代,希臘文化已經十分尊崇幾何學。柏拉圖在雅典開創的雅典學院,提供知識分子學術思辨與教育傳承的場所,號稱史上第一所大學。據說在學院入口的大門上刻著“不識幾何學不能入此學院”的教箴。柏拉圖甚至還說過“上帝以幾何造世”(God ever geometrize)的名言。因此,身為雅典學院的傳人,歐幾里得在撰寫《原本》時,面前已經有許多已知的數學知識,因為先驅者已經提煉出許多經過思考、成熟度不一的材料。他所面臨的問題,是如何編纂這些數學知識。如果他只是將這些知識羅列起來,按照人名或領域來分門別類或排序的話,那么《原本》就根本稱不上偉大。《原本》之所以是經典,就是因為歐幾里得采用了非常特殊的編纂法,這就直接牽涉到《原本》背景的第二個基本要素。
掌握邏輯推理的鑰匙《原本》的第二個要素,簡單地說,就是推理的方法或邏輯。柏拉圖時代的雅典社會,是基于奴隸制的民主城邦社會。雅典人喜歡議論或辯論,也讓他們從經驗里慢慢發展出嚴格的推理邏輯。希臘哲學家蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德號稱“希臘三哲”,他們的思想是西方思想的源頭。我們從柏拉圖著作中所記載的蘇格拉底言論,還有柏拉圖、亞里士多德的著作中,知道希臘人掌握了這樣的思考方法。
思考推理的方法脫胎于人類的言語方式。只是希臘哲學家,從里面整理出推理的規則。比如柏拉圖非常重視敘述的真假、有效的推理、運用定義的方法,而他的學生亞里士多德,更完成了第一個邏輯推理體系。推理方法是歐幾里得編纂《原本》的重要基礎。
所謂推理方法,就是思考時,能夠從前面的敘述推出後面結論的正確方法。希臘哲學家看出一個關鍵點:當我們思考時,必須嚴格遵守推理的形式,不然思考就有陷入錯誤的危險;至于思考過程的正確與否,并不能依靠結論的真假來判斷。舉一個簡單的例子,假設“所有動物都會死亡”,那么因為“人是動物”,所以你可以推論出“人會死亡”的結果,這是一個正確的推論形式。我們現在套用這個形式,假設“所有動物都是卵生”,都要產卵孵育下一代,那因為“人是動物”,所以“人是卵生”的。請注意,這個推論是正確的,因為它遵守了正確的推理形式。當然,人是卵生動物是荒謬的,但這并不表示推理過程的形式有誤,而是一開頭的前提“所有動物都是卵生”是錯的。
再舉一個反面的例子。假設“所有動物都會死亡”,那么因為“人會死亡”,所以“人是動物”。這看起來好像很正確,因為結論是對的,但即使上面三個敘述都是對的,其實這段推理仍然是錯謬的。為什么呢?只要舉出一個反例就可以證明了。例如“蘭花也會死亡”,按照上面的“推理”方式,就應該推論出“蘭花是動物”,這當然是荒謬的。我們從正確的前提,卻“推論”出錯誤的結論,這表示這種推理形式是錯誤的。所以,推論的重點在于形式,并不是其中牽涉到的敘述都對,推論就一定正確。
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