剩餘格與模糊集（簡體書）

《剩餘格與模糊集》是一部集中研究模糊集理論並能反映多值序結構介入和邏輯推理多值化特點的數學著作。全書共分8章：第1章是序集理論和格理論的基本知識，第2、3、4章主要論述具有較好分配性和邏輯推理背景的各種典型格，第5、6、7章是模糊集理論的核心部分，第8章內容為格值邏輯。
《剩餘格與模糊集》可作高等院校高年級本科生和研究生的教材和參考書，也可供以模糊數學及其應用技術為基礎的研究人員和教師參考。·

《剩余格與模糊集》是一部集中研究模糊集理論并能反映多值序結構介入和邏輯推理多值化特點的數學著作。全書共分8章：第1章是序集理論和格理論的基本知識，第2、3、4章主要論述具有較好分配性和邏輯推理背景的各種典型格，第5、6、7章是模糊集理論的核心部分，第8章內容為格值邏輯，《剩余格與模糊集》可作高等院校高年級本科生和研究生的教材和參考書，也可供以模糊數學及其應用技術為基礎的研究人員和教師參考。

前言
第1章 序與格
1.1 序集
1.2 序集之間的運算
1.2.1 和
1.2.2 乘積
1.2.3 對偶偏序集
1.3 保序映射
1.4 格與格同態
1.5 分配格、布爾代數及完備格
1.5.1 分配格
1.5.2 布爾代數
1.5.3 完備格
1.6 理想與濾子
1.6.1 上集和下集
1.6.2 理想與濾子
1.6.3 素理想與素濾子
1.6.4 分配格表示定理
1.7 素元與餘素元

第2章 伽羅瓦聯絡與Heyring代數
2.1 伽羅瓦聯絡
2.1.1 伽羅瓦聯絡的概念和例子
2.1.2 伽羅瓦聯絡的性質
2.1.3 閉包算子與伽羅瓦聯絡的關係
2.2 Heyting代數
2.2.1 Heyting代數的引入
2.2.2 代數學風格的刻畫
2.2.3 Heyting代數中的否定
2.2.4 Heyting代數的分配性

第3章 完全分配格
3.1 完全分配格的概念和例子
3.2 完全分配格的構造性質
3.3 完全分配格的伽羅瓦聯絡描述

第4章 剩餘格
4.1 剩餘格的引入
4.1.1 剩餘格的定義和例子
4.1.2 三角模
4.1.3 特殊的剩餘格
4.2 剩餘格的性質
4.2.1 剩餘格的基本性質
4.2.2 剩餘格上的伽羅瓦聯絡
4.2.3 否定運算和雙剩餘運算的性質
4.3 若干特殊剩餘格的刻畫條件和性質
4.3.1 預線性剩餘格的性質
4.3.2 可除剩餘格的性質
4.3.3 否定對合剩餘格的性質

第5章 模糊集
5.1 模糊集的定義和運算
5.1.1 概念和例子
5.1.2 格值冪集上的序和運算
5.2 L-包含關係和L-相等關係
5.2.1 L-包含關係
5.2.2 L-相等關係
5.3 L-子集的分解定理
5.3.1 截集
5.3.2 L-子集的分解定理
5.4 L-子集的表現定理
5.4.1 表現定理I
5.4.2 表現定理II
5.4.3 表現定理III、IV
5.5 幾何表現定理
5.5.1 幾何表現定理I
5.5.2 幾何表現定理II

第6章 一般論域上的L-等價關係和L-相等關係
6.1 概念和例子
6.2 相容性問題
6.2.1 L-子集的相容性
6.2.2 L-集合套的相容性

第7章 擴張原理
7.1 經典擴張原理
7.2 查德擴張原理
7.3 廣義擴張原理
7.4 L-集合套的像和逆像

第8章 格值邏輯
8.1 句法
8.1.1 語言的引入
8.1.2 項與公式
8.1.3 替換
8.2 語義理論
8.2.1 語言的解釋和例子
8.2.2 賦值
8.2.3 公式誘導的L-關係和項誘導的函數
參考文獻
索引·

伽羅瓦聯絡的概念對描述模糊數學理論中的非經典推理至關重要，同時，在諸多可以擔任非經典推理的真值格中，Heyting代數是典型的和簡明的。因此，正像章標題的直觀意義表明的那樣，本章內容主要包括兩個主要部分，即伽羅瓦聯絡（Galois connection）和Heyting代數，本章在第一個部分中，首先介紹在偏序集理論中為反映兩個偏序集之間聯系而引入的概念，即伽羅瓦聯絡的概念，其中左伴隨映射和右伴隨映射是介紹伽羅瓦聯絡這一概念所必備的。然后，通過若干實例來說明伽羅瓦聯絡是兩個偏序集彼此聯系的規律性現象。其次，由于這種伽羅瓦聯絡現象的重要性，文中重點總結了伽羅瓦聯絡的基本計算性質，在此基礎上，簡明地界定了偏序集之間的序同態構成伽羅瓦聯絡的充分必要條件。特別地，對完備格之間的保序映射構成伽羅瓦聯絡的條件與具體計算給出了完整的回答。為了從其他角度理解伽羅瓦聯絡的意義，本章還特別介紹了偏序集上閉包算子的概念，并具體說明偏序集之間的伽羅瓦聯絡和偏序集上的閉包算子是可以相互確定的。在本章第二個部分，主要介紹直覺主義的代數學模型，即Heyting代數（包括完備Heyting代數）。由于在前面有伽羅瓦聯絡的概念及其相關內容作為預備，在內容安排思路上，采用伽羅瓦聯絡作為原始概念來引入Heyting代數的方式（事實上，可以有多種方式來引入，筆者認為這是最簡明的方式，本章在開始安排介紹伽羅瓦聯絡內容的用意也部分地在于此）。代數學方式是一種抽象的方式，為了使對代數學情有獨鐘的讀者可以從代數學的角度理Heyting代數，本章還安排了Heyting代數的代數學風格的刻畫。Heyting代數在擔任非經典推理的真值格的角色時，其特點是否定的運算并非對合（經典推理中，否定的否定等價于肯定，因而否定是對合的），因此，接續的內容是重點介紹Heyting代數中的否定運算及其逆序性和非對合性。此外，文中還從更一般的角度介紹了（完備）格上自映射的逆序性和對合性，也包括它們與De Morgan對偶律的聯系，這些內容除自身的理論價值外，對本節要建立的Heyting代數與Boole代數的聯系也是必須的。最后，我們從分配性的角度對Heyting代數在何條件下恰好回歸到布爾代數給出明確答案，并證明完備格是Heyting代數等價于其滿足交無限分配律。