矩陣論引論(第2版)（簡體書）

《高等學校研究生教材:矩陣論引論(第2版)》既可作為碩士研究生的教材，又可作為自學讀物，也可作為工科院校有關專業教師的參考資料。

第1章矩陣的初等性質
1.1矩陣及其初等運算
1.1.1矩陣和向量
習題1.1
1.1.2矩陣的分塊乘法與初等變換
習題1.2
1.2矩陣的行列式和矩陣的秩
1.2.1行列式及其性質
習題1.3
1.2.2矩陣的秩及其性質
習題1.4
1.3矩陣的跡和矩陣的特征值
1.3.1矩陣的跡及其初等性質
1.3.2矩陣的特征值及Gersgorin圓盤定理
習題1.5
第2章線性代數基礎
2.1線性空間
2.1.1線性空間的定義及例子
習題2.1
2.1.2子空間的概念
習題2.2
2.1.3基底和維數
習題2.3
2.1.4和空間與直和空間概念的推廣
2.2內積空間
2.2.1內積空間的定義及例子
習題2.4
2.2.2由內積誘導出的幾何概念
2.2.3標準正交基底與Gram—Schmidt過程
習題2.5
2.3線性變換
2.3.1映射和線性變換
習題2.6
2.3.2線性變換的運算
習題2.7
2.3.3與線性變換有關的子空間
習題2.8
2.4線性變換的矩陣表示和空間的同構
2.4.1線性變換的矩陣表示
2.4.2線性空間的同構
習題2.9
2.5線性變換的最簡矩陣表示
2.5.1線性變換的特征值與特征向量
習題2.10
2.5.2線性變換的零化多項式及最小多項式
習題2.11
2.5.3不可對角化線性變換的最簡矩陣表示
習題2.12
第3章矩陣的幾種重要分解
3.1矩陣的UR分解及其推論
3.1.1滿秩方陣的UR分解
3.1.2關于矩陣滿秩分解的幾個推論和應用
3.2舒爾引理與正規矩陣的分解
3.2.1舒爾引理
3.2.2矩陣的奇異值分解
習題3.1
3.3冪等矩陣、投影算子及矩陣的譜分解式
3.3.1投影算子、冪等算子和冪等矩陣
3.3.2可對角化矩陣的譜分解
習題3.2
第4章矩陣的廣義逆
4.1Moore—Penrose廣義逆矩陣
4.2廣義逆矩陣A（1）
4.2.1廣義逆A（1）的定義和構造
4.2.2廣義逆A（1）的性質
4.2.3廣義逆A（1）應用于解線性方程組
習題4.1
4.3廣義逆矩陣A（1.2）
4.3.1廣義逆A（1.2）的定義及存在性
4.3.2廣義逆（1.2）的性質
4.3.3廣義逆（1.2）的構造
習題4.2
4.4廣義逆矩陣A（1.3）
4.4.l廣義逆A（1.3）的定義和構造
4.4.2廣義逆A（1.3）應用于解方程組
習題4.3
4.5廣義逆矩陣A（1.4）
4.5.1廣義逆A（1.4）的定義和構造
4.5.2廣義逆A（1.4）應用于解方程組
習題4.4
4.6M—P廣義逆矩陣
4.6.1M—P廣義逆的存在及性質
4.6.2M—P廣義逆的幾種顯式表示
4.6.3M—P廣義逆用于解線性方程組
習題4.5
4.7幾種計算A+的直接方法
第5章矩陣分析
5.1向量范數及矩陣范數
5.1.1向量范數
5.1.2矩陣范數
習題5.1
5.2矩陣序列與矩陣級數
5.2.1向量序列的極限
5.2.2矩陣序列的極限
5.2.3矩陣級數
習題5.2
5.3矩陣的微分與積分
5.3.1函數矩陣及其極限
5.3.2函數矩陣的微分和積分
5.3.3純量函數關于矩陣的導數
5.3.4矩陣對矩陣的導數
習題5.3
5.4矩陣函數
5.4.1矩陣多項式
5.4.2矩陣函數
5.4.3常用矩陣函數的性質
習題5.4
5.5矩陣分析在微分方程中的應用
習題5.5
第6章矩陣的Kronecker積
6.1矩陣的Kronecker積的定義和性質
6.1.1Kronecker積的定義
6.1.2Kronecker積的性質
6.2Kronecker積的應用
6.2.1矩陣的拉直及其與直積的關系
6.2.2直積的應用
習題6.1
參考文獻

2.3線性變換
2.3.1映射和線性變換
定義2.3.1設X和Y為兩個非空集合，如果存在一個法則T，根據這個法則，對X中的任一元素X，在Y中都能找到唯一的元素Y與之對應，則稱T為從X到y的一個映射。記為T：X→y，如果T使X∈X與y∈Y對應，則記為Tx=y。有時也簡記為T：X→y，x|→y。今后為方便起見，稱y為x的像，而稱x為y的原像。X中所有元素在映射T之下的全體像的集合
M={y|y=Tx，x∈X）
稱為X在T之下的像集或值域，記為M=TX。
顯然有TX∈y，但不一定有TX—Y。
例1 設Z是全體整數的集合，Y為全體偶數的集合，T：Z→y，n|→2n，則T是從Z到Y的一個映射。
例2 設X=Cn×n，T：X→C，A|→det A，則T是從Cn×n到C的一個映射。
定義2.3.2 如果映射T：X→Y，x|→y對于任意y∈Y都有原像x∈X，則稱T為從X到Y的滿映射，簡稱為滿射，或稱為從X到Y上的映射。如果對X中任意兩個不同的元素x1，x2都有Tx1≠Tx2，則稱T為一對一的映射，如果T既是一對一的又是滿映射，則稱T是一一到上的映射。
例1中的映射是一一到上的映射，而例2中的映射是滿射但不是一對一的。
定義2.3.3 設X和y均為數域F上的線性空間，映射T：X→Y，x|→y滿足：
（1）對任意x1，x2，∈X都有T（x1+x2）=Tx1+Tx2；
（2）對任意X∈X，λ∈F，有T（λx）=λTx，則稱T為從X到Y的線性映射。線性映射常稱為線性變換或線性算子。
線性變換是線性空間中一種非常重要的映射，本章將詳細地討論它的性質。首先有下述定理。
定理2.3.4設T為從X到Y的線性變換，則
（1）T0=0，其中等式左邊的0∈X，右邊的0∈Y；
（2）若x=∑xixi∈X，則Tx=∑aiTxi；
（3）若x1，x2，…，xk為X中線性相關的向量組，則Txs，Tx2，…，Txk為Y中線性相關的向量組；
（4）若Tx1，Tx2，…，Txk為Y中線性無關的向量組，則x1，x2，…，xk為X中線性無關的向量組。
證明 由定義2.3.3的（2）有T0=T（0x）=0Tx=0。故本定理的（1）得證。再由定義2.3.3的（1）及歸納法即可證得本定理的（2）。本定理的（3）是顯然的。至于（4）的證明可用反證法并考慮到（3）的結果即可完成。證畢。
例3 設A∈Cm×n，求證A是從空間Cn到空間Cm的線性變換。