大學數學：流形上的微積分（簡體書）

《大學數學》是普通高等教育“十五”國家級規劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學數學”系列教材的第二版。 《大學數學》主要講授定義在拓撲空間和微分流形上的連續函數、光滑函數和光滑影射，並介紹處理它們之間的關係的原理和方法。全書由4章組成：拓撲結構，光滑結構，外微分式及其積分，黎曼流形上的微分算子等。《大學數學》可作為高等學校理工科各專業的教材，也可供其他專業人員參考。

提高大學數學教學質量的關鍵在於教師，但一套較好的教材也是重要的,隨著我國大學數學教學內容改革的逐步深入，當前不少高等學校在基礎數學教學內容的改革方面有了一些進展，例如單純“面向專業”的觀念有所淡化，代數課程的內容和學時有所增加，開設了一些新的課程，如“數學實驗”和“隨機數學”等；相應地有一批新教材出版．本套教材也在試用了兩年多以後，進行了部分修訂．這就是《大學數學》的第二版．
在保持原有的指導思想和風格的前提下，這一套教材由原來的五本：《一元微積分》、《多元微積分及其應用》、《代數與幾何》、《隨機數學》及《數學實驗》改編、擴充為七本，即：《微積分(一)》、《微積分(二)》、《多元微積分及其應用》、《流形上的微積分》、《代數與幾何》、《隨機數學》及《數學實驗》，其中《流形上的微積分》是新編入的．其它幾本修訂的大致情況如下：
《微積分(一)》以原來的《一元微積分》中的第一篇，即“直觀基礎上的微積分”為其主要內容，力求做到“返璞歸真”，除了進一步強調了計算和應用之外，還增加了一些對“極限”的樸素描述。
《微積分(二)》是把原來《一元微積分》中的第二篇，即“理性微積分”的內容作一些修改而成．其中為了使讀者能更好體會數學分析中的一些基本手法，對用階梯函數逼近的辦法來處理定積分(即函數集擴張的思想)又作了一些改進。
《多元微積分及其應用》是把原書加以適當精簡而成．原書中“複變函數”部分重新改寫以求突出重點和更加精練；原書的“微分幾何”部分移到《代數與幾何》。
以上三本教材的習題也都作了調整。
《流形上的微積分》與前面三本微積分教材合在一起，就顯示了微積分從古典一直到現代的基本面貌，而且也是一個理解當代數學和物理的一個不可缺少的臺階．雖然目前它並不屬�數學基礎課的範圍，但可供對此有興趣的學生選修．此外，對從事微積分教學而在這方面有所欠缺的教師來講，不妨順便補上這一課。
《代數與幾何》內容的變動是適當精簡了代數的內容，增加了“行列式的幾何意義”；幾何部分則增加了“微分幾何”的基本內容。

第一章　拓撲結構
1．1　n維歐氏空間
1．1．1n維歐氏向量空間
1．1．2n維歐氏空間上的距離函數
1．1．3n維歐氏空間中的球狀鄰域
1．1．4n維歐氏空間中點列的極限
1．1．5n維歐氏空間上的連續函數
1．1．6從n維歐氏空間到m維歐氏空間的連續映射
1．2　拓撲空間
1．2．1拓撲
1．2．2拓撲基
1．2．3由拓撲直接派生的基本概念
1．2．4拓撲子空間
1．2．5連續映射
1．3　常見的拓撲空間
1．3．1度量空間
1．3．2乘積空間
1．3．3商空間
1．4　重要的拓撲性質
1．4．1分離性公理
1．4．2緊致性
1．4．3局部緊致性
1．4．4連通性和道路連通性
1．4．5局部連通性和局部道路連通性
1．5　習題一

第二章　光滑結構
2．1　微分流形
2．1．1拓撲流形
2．1．2局部坐標的變換
2．1．3光滑微分結構
2．1．4光滑流形的例子
2．2　光滑函數
2．2．1光滑函數的定義
2．2．2截斷函數
2．2．3單位分解定理
2．2．4光滑映射
2．3　切空間
2．3．1切向量
2．3．2切空間
2．3．3自然基底
2．3．4切向量的分量
2．3．5光滑映射的切映射
2．3．6切映射的坐標表示
2．4　子流形
2．4．1浸入子流形
2．4．2R中的正則曲線和正則曲面
2．4．3光滑函數的水平面
2．5　光滑切向量場
2．5．1光滑切向量場
2．5．2作為微分算子的光滑切向量場
2．5．3Poisson括號積
2．5．4在光滑映射下相關的光滑切向量場
2．6　習題二

第三章　外微分式及其積分
3．1　外形式
3．1．1對偶向量空間
3．1．2對偶基底
3．1．3線性函數的分量的坐標變換公式
3．1．4多重線性函數
3．1．5r次外形式
3．1．6反對稱化算子
3，1．7外形式的外積
3．1．8外形式的坐標表達式
3．1．9外多項式
3．1．10向量空間的線性映射在外形式空間上的誘導映射
3．2　外微分式
3．2．1餘切向量和餘切空間
3．2．2r次外微分式
3．2．3外微分
3．2．4外微分的運算規則
3．2．5外微分的求值公式
3．2．6拉回映射
3．3　可定向光滑流形和帶邊區域
3．3．1向量空間的定向
3．3．2可定向光滑流形
3．3．3可定向性的判別準則
3．3．4帶邊區域
3．3．5有向光滑流形在帶邊區域的邊界上的誘導定向
3．4　外微分式的積分
3．4．1外微分式的支撐集包含在坐標域內的情形
3．4．2一般情形
3．4．3積分的性質
3．4．4在浸入子流形上的積分
3．5　Stoke-s定理
3．5．1Stokes定理的敘述
3．5．2Stokes定理的證明
3．5．2．1情形UnaD=Φ的證明
3．5．2．2情形unaD≠Φ的證明
3．6　習題三

第四章　黎曼流形上的微分算子
4．1　黎曼流形
4．1．1歐氏向量空間
4．1．2黎曼流形的定義
4．1．3黎曼流形的例子
4．1．4R中的正則曲面
4．2　梯度算子
4．2．1歐氏向量空間與其對偶空間的自然同構
4．2．2歐氏向量空間V和V的自然同構在任意的基底下的表示
4．2．3黎曼流形上的梯度算子
4．3　光滑切向量場的協變微分
4．3．1R上的光滑切向量場的微分
4．3．2黎曼流形上的光滑切向量場的協變微分
4．3．3光滑切向量場的分量的協變導數及其坐標變換公式
4．4　散度算子和Laplace算子
4．4．1光滑切向量場的散度
4．4．2散度的局部坐標表達式
4．4．3Laplace算子
4．4．4單位球面上的Laplace算子
4．5　黎曼流形上的外微分學
4．5．1n維歐氏向量空間中的Hodge星算子
4．5．2Hodge星算子在非單位正交基底下的表達式
4．5．3Hodge星算子在外微分式上的作用
4．5．4R中的場論公式
4．5．5有向黎曼流形上的Hodge星算子和餘微分算子
4．6習題四
參考文獻
索引