按圖索驥：無字的證明

在數學教學中，引導學生認識證明，是進入數學性思考，很扎實的一環。像是盡可能利用文字敘述、符號表達、邏輯推演，嚴謹地向學生呈現直接證法、間接證法和數學歸納法。敝人在教學現場觀察到：學生有多元的學習能力，透過眼到、心到、手到等等方式，可以找到屬於自己學習數學的竅門。這不獨需要運算式的堆疊，也需要繪製適當圖形作為輔助，更需懂得如何發展「數」與「形」，這兩大數學學理根基的展現。於是在累積了多年的教學經驗後，整理出本書與讀者大眾分享。

蔡宗佑

1983年出生於臺南，畢業於國立臺灣大學，現任於新北市立新北高級中學（原國立三重高中），致力於中學數學教育，在教育現場得知許多人在學習數學時，或多或少有過挫敗感，對數學理論存在距離感，喜歡揉合科普知識及正規教材，以簡單有趣的方法教學，期望以淺顯易懂的方式，與學生、讀者分享多元化的數學觀。

看膩了數學課本中如阿嬤的裹腳布一般，又臭又長的數學證明了嗎？這本按圖索驥將帶領您從另一種不同的角度來閱讀數學證明，讓您對於數學證明有耳目一新的感覺。

萊茵巴哈（H.Reichenbach）曾將科學的學習歷程分為：發現及驗證（the context of discovery and the context of justification）兩個階段。人類不斷地透過觀察自然，體察事物，利用邏輯找出及發現可能的模式，再敘述及驗證之，達到分析、體認這自然世界，來說明、闡述自然哲理，更能運用這模式與能力做抽象思考以及解決所遇到的問題。

敝人感謝三民書局，特別是臺灣大學的蔡聰明教授，指導及幫忙審定，並給了我這個機會向數學界，特別是國、高中生及奉獻給中學教育的前輩、老師們呈現這本作品，這是屬於是理解數學證明的小品。在從事數學教學中，引導學生認識證明是進入數學思考中很扎實的一環，介紹：直接證法、間接證法和數學歸納法，利用文字敘述、符號表達、邏輯推演都盡可能嚴謹地向學生呈現。敝人觀察出學生有多元的學習能力，透過眼到、心到、手到等等方式，找到屬於自己學習數學的竅門，不獨是運算式的堆疊，也需要繪製適當圖形作為輔助，更是數與形兩大數學學理根基的展現，於是在教學歷程累積下來，整理出這一本「按圖索驥」！

這本「按圖索驥」不論是對學養豐富的教師學者們，研讀漸漸成熟的學生族群，或正在修習的初學者，都很適合參閱這本書，在這本書努力的方向是以「多元化、具啟發性、具參考性、有記憶點」這幾個要點做發揮，希望在傳統的論證架構之上，讓數學學習中加入多元的聯想力、富有創造性的思考力，雖不敢稱妙不可言、打破成規，但內心是希望可以另闢蹊徑，多走出一個方向，縱使路途雖遠，心仍嚮往之。

本書針對中學教材及科普知識中的主題，共有六章，分為兩冊：第一冊有三章，第一章基礎幾何：畢氏定理、三角形面積、西瓦定理等等；第二章基礎代數：乘法公式、配方法等；第三章不等式：四大不等式及應用、Jordan不等式。第二冊也有三章，第四章三角學：正餘弦定理、和角公式、和差化積、正弦疊合；第五章數列與級數：連續整數和、三角數、費式數列等等；第六章極限與微積分：分部積分、無窮等比級數和等等。

每一個主題皆以「起、承、轉、合」的方式繪製四個圖形，搭配顏色為運算邏輯上增添層次，讓讀者將四張圖細細閱讀時，有如親身經歷一般，輕鬆簡易地完成主題的論證；本書也提供同一個主題的多種證法，希望能帶給讀者更多元的啟發，能從中取得更多共鳴。其次，敝人要感恩及感謝編寫這本書一路上朋友的鼓勵與幫忙，還有幾位不可多得的貴人。在求學時期就深深影響我，時刻地給我鼓勵與啟發的臺灣大學張海潮教授，教授時常勉勵：「當一個老師的人，做學問不能越做越差，要時時精進，時時充實」這也是敝人家裡書桌上的箴言，藉此勉勵自己充實能力，更進一步，這本書的起源便是與張教授討論中學數學時，教授做了提點而深受啟發的。

臺灣大學蔡聰明教授，是敝人完成此書的最大動力與指引。在跟隨蔡教授學習的過程中，聽教授將舊典籍娓娓道來，卻富有新的靈感；把古今中外的數學知識及史料，開闊縱橫，融會貫通，不自覺嚮往之。蔡教授學識淵博，中學數學、科普知識及數學史料無不精通，成了此書最重要的動力來源，是踏實的請益對象，也是溫暖的師長長輩，更是在出版數學書籍道路上最為豐富且嚴謹的學者教授。

最後，敝人將此書呈現給各位讀者，希望能有所共鳴，雖有不足的地方，尚祈不吝指教。

《鸚鵡螺數學叢書》總序
推薦序一
推薦序二
自序
導讀

C1 基礎幾何1
1-01 畢氏定理(I)
1-02 畢氏定理(II)
1-03 畢氏定理(III)
1-04 畢氏定理(IV)
1-05 直角三角形面積=兩月牙形面積和
1-06 直角三角形兩股與斜邊之不等式
1-07 封閉 芒星之內角和
1-08 四邊形面積
1-09 三角形面積(I)
1-10 三角形面積(II)
1-11 直角三角形之內切圓半徑
1-12 內切圓半徑
1-13 西瓦定理
1-14 孟氏定理(I)
1-15 孟氏定理(II)
1-16 點到直線距離
1-17 二階行列式之幾何意義
1-18 黃金比例
1-19 圓內接正三角形與黃金比例
1-20 圓內接正 邊形的面積與正 邊形周長之關係
1-21 正四面體高之垂足(外心)
1-22 正四面體高之垂足(重心)
1-23 錐體與柱體體積
1-24 拋物線光學性質

C2 基礎代數1
2-01 二元乘法公式
2-02 二元乘法公式和
2-03 配方法
2-04 平方差
2-05 代數公式
2-06 平方和的乘積
2-07 等差數列四項連乘積

C3 不等式1
3-01 分數不等式(I)
3-02 分數不等式(II)
3-03 分數不等式(III)
3-04 算幾平均不等式(I)
3-05 算幾平均不等式(II)
3-06 算幾平均不等式(III)
3-07 算幾平均不等式(IV)
3-08 算幾平均不等式(V)
3-09 三維算幾平均不等式
3-10 一正數及其倒數和大於或等於2 (I)
3-11 一正數及其倒數和大於或等於2 (II)
3-12 一正數及其倒數和大於或等於2 (III)
3-13 算術對數幾何平均不等式
3-14 算術幾何調和平均不等式
3-15 四大平均數不等式(I)
3-16 四大平均數不等式(II)
3-17 四大平均數不等式(III)
3-18 算幾平均不等式之應用(I)
3-19 算幾平均不等式之應用(II)
3-20 Cauchy-Schwarz不等式(I)
3-21 Cauchy-Schwarz不等式(II)
3-22 Jordan不等式
3-23 Aristarchus不等式
3-24 指數不等式
3-25 Napier不等式(I)
3-26 Napier不等式(II)
3-27 發散級數