應用隨機過程（簡體書）

本書介紹應用隨機過程的基礎知識，將隨機過程的基本理論和分析問題、解決問題的方法與自然科學、工程技術、經濟學及社會科學等相關知識結合，注重滲透現代數學思想和方法，融入數學建模思想，加強培養學生應用隨機過程的理論、方法解決實際問題的能力。 全書共分為10章，分別是預備知識、隨機過程的基本概念、泊松過程、更新過程、馬爾可夫鏈、連續時間的馬爾可夫鏈、隨機分析與隨機微分方程、鞅、布朗運動和平穩過程。本書提供配套電子課件和每章習題詳細解答。 本書既可以作為大專院校相關專業高年級本科生或研究生的教材或教學參考書，也可以供相關領域的讀者學習、參考。

施三支，博士，長春理工大學理學院教授，長期講授隨機過程、數理統計、數學分析、多元統計分析等課程。2013年度榮獲吉林省數學建模優秀指導教師。

前 言
隨機過程是研究客觀世界中隨機演變過程的理論工具，起源於統計物理學領域，是對一系列的隨機事件間動態關係的定量描述，其理論在物理、生物、工程、心理學、計算機科學、經濟、社會科學等領域都得到了廣泛的應用，發展迅速，並顯示出十分重要的作用。隨機過程在處理問題的思路和方法上有著獨特的風格，為進一步學習現代科學技術、探索科學技術新領域奠定了必要的數學基礎。
本書是編者根據多年的教學和科研經驗，在原有的作者編寫的《隨機過程》一書的基礎上修改編寫而成的。本書對應用隨機過程的基本理論做了介紹，將隨機過程的基本理論分析問題、解決問題的方法與自然科學、工程技術、經濟學及社會科學等相關知識結合，注重滲透數學建模思想，加強培養學生應用隨機過程的理論、方法解決實際問題的能力。應用隨機過程是各理工科專業，特別是統計學、電子通信、計算機、金融工程等專業的本科生及研究生重要的專業基礎課，先修課程是高等數學、概率論和線性代數。
全書共分為10章，分別是預備知識、隨機過程的基本概念、泊松過程、更新過程、馬爾可夫鏈、連續時間的馬爾可夫鏈、隨機分析與隨機微分方程、鞅、布朗運動和平穩過程。本書在內容上力求以簡明扼要、通俗易懂的語言深入淺出地為讀者詮釋概念、解析疑難，著重強調了基本方法的敘述和實際事例的演示，並在書後給出了每章習題的詳細解答。
本書既可以作為大專院校相關專業高年級本科生或研究生的教材或教學參考書，也可以供相關領域的讀者學習、參考。
本書提供配套電子課件，請登錄華信教育資源網（http://www.hxedu.com.cn）註冊下載，也可聯繫本書編輯［（010）88254113，wangxq@phei.com］索取。
施三支編寫了本書的第1～4章和第7、8章，馬文聯編寫了第5、6、9、10章及相應的習題答案。本書得以出版，得到了長春理工大學教務處領導和電子工業出版社編輯的大力幫助和支持，在此向他們致以誠摯的謝意。特別要感謝王曉慶編輯對本書的出版給予了極大的幫助。
由於編者水平和學識有限，書中難免有錯誤和不妥之處，懇請廣大讀者批評指正。

作 者
2018年2月
于長春理工大學

目 錄
第1章 預備知識 1
1.1 概率 1
1.2 隨機變量與分佈函數 3
1.3 數字特徵 4
1.4 矩母函數與特徵函數 8
1.5 條件期望 12
1.6 n維高斯分佈 14
1.7 收斂性 15
1.7.1 依概率收斂 15
1.7.2 概率1收斂 16
1.7.3 均方收斂 16
1.7.4 依分佈收斂 16
習題一 17
第2章 隨機過程的基本概念 19
2.1 隨機過程的定義 19
2.2 隨機過程的數字特徵 21
2.3 複隨機過程 24
2.4 幾種常用的隨機過程 26
2.4.1 平穩過程 26
2.4.2 獨立增量過程 27
2.4.3 馬爾可夫過程 27
2.4.4 高斯過程 28
習題二 29
第3章 泊松過程 31
3.1 泊松過程的定義 31
3.2 到達間隔時間與等待時間的分佈 34
3.2.1 到達間隔時間序列與等待時間序列 34
3.2.2 到達時刻的條件分佈 36
3.3 非齊次泊松過程 39
3.4 複合泊松過程 41
習題三 44
第4章 更新過程 46
4.1 更新過程的定義 46
4.1.1 更新過程的定義 46
4.1.2 更新函數 47
4.2 更新定理 51
4.3 更新過程的推廣 52
習題四 54
第5章 馬爾可夫鏈 56
5.1 馬爾可夫鏈 56
5.1.1 馬爾可夫鏈的定義 56
5.1.2 n步轉移概率，C-K方程 59
5.1.3 初始概率和絕對概率 61
5.2 馬爾可夫鏈的狀態分類 62
5.2.1 可達和互通 62
5.2.2 狀態的週期性和常返性 63
5.3 狀態空間的分解 68
5.4 pij(n)的漸近性質與平穩分佈 72
5.4.1 pij(n)的漸近性質 72
5.4.2 平穩分佈 76
5.5 馬爾可夫鏈應用模型――鋼琴庫存量 80
習題五 85
第6章 連續時間的馬爾可夫鏈 87
6.1 連續時間的馬爾可夫鏈的定義 87
6.2.1 定義 87
6.2.2 泊松過程是連續時間的齊次馬爾可夫鏈 90
6.2 柯爾莫哥洛夫微分方程 90
6.3 生滅過程 96
習題六 99
第7章 隨機分析與隨機微分方程 101
7.1 均方極限 101
7.2 均方連續與均方導數 103
7.2.1 均方連續 104
7.2.2 均方導數 105
7.3 均方積分 107
7.4 隨機微分方程 110
習題七 112

第8章 鞅 114
8.1 鞅的定義 114
8.1.1 鞅 114
8.1.2 上、下鞅的定義及性質 117
8.2 停時 117
8.2.1 停時 117
8.2.2 鞅停時定理 118
8.2.3 一致可積性 120
8.3 鞅收斂定理 120
習題八 122
第9章 布朗運動 123
9.1 布朗運動的定義 123
9.2 擊中時刻、最大值變量和反正弦率 126
9.2.1 擊中時刻 126
9.2.2 最大值變量和反正弦律 127
9.3 布朗運動的幾種變化 129
9.3.1 布朗橋 129
9.3.2 有吸收值的布朗運動 129
9.3.3 在原點反射的布朗運動 130
9.3.4 幾何布朗運動 130
9.3.5 積分布朗運動 131
9.3.6 有漂移的布朗運動 131
習題九 132
第10章 平穩過程 134
10.1 平穩過程的定義與性質 134
10.2 平穩過程的各態歷經性 139
10.3 平穩過程的譜函數與譜密度 145
10.3.1 平穩過程的譜函數與譜密度 145
10.3.2 譜密度的物理意義 147
10.3.3 譜密度的性質 150
10.3.4 白噪聲過程的譜密度 156
10.3.5 互譜密度 157
習題十 159
每章習題詳細解答 162
參考文獻 208