數學物理方法與仿真(第2版)（簡體書）

本書系統地闡述了復變函數論、數學物理方程的各種解法、特殊函數以及計算機仿真編程實踐等內容，對培養思維能力和實踐編程能力具有指導意義。本書在取材的深度和廣度上充分考慮到前沿學科領域知識內容，形成了具有前沿學科特點的數學物理方法與計算機仿真相結合的系統化理論體系。
本書結構層次清晰，理論具有系統性和完整性，重點立足于對思維能力的培養，加強計算機仿真能力的訓練，分別介紹了復變函數、數學物理方程和特殊函數的計算機仿真求解及其解的仿真圖形顯示。習題解答和仿真程序等可以通過網絡下載。
本書可作為物理學、地球物理學、電子信息科學、光通信技術、空間科學、天文學、地質學、海洋科學、材料科學等學科領域的理工科大學本科教材，也可供相關專業的研究生、科技工作者作為參考資料并進行計算機仿真訓練。

目 錄
第一篇　復變函數論

第1章　復數與復變函數2
1.1　復數概念及其運算3
1.1.1　復數概念3
1.1.2　復數的基本代數運算4
1.2　復數的表示4
1.2.1　復數的幾何表示4
1.2.2　復數的三角表示5
1.2.3　復數的指數表示6
1.2.4　共軛復數6
1.2.5　復球面、無窮遠點7
1.3　復數的乘冪與方根8
1.3.1　復數的乘冪8
1.3.2　復數的方根9
1.3.3　實踐編程：正17邊形的幾何作圖法10
1.4　區域11
1.4.1　基本概念11
1.4.2　區域的判斷方法及實例分析13
1.5　復變函數14
1.5.1　復變函數概念14
1.5.2　復變函數的幾何意義———映射15
1.6　復變函數的極限16
1.6.1　復變函數極限概念16
1.6.2　復變函數極限的基本定理16
1.7　復變函數的連續17
1.7.1　復變函數連續的概念17
1.7.2　復變函數連續的基本定理18
1.8　典型綜合實例18
小結23
習題24
計算機仿真編程實踐25
第2章　解析函數27
2.1　復變函數導數與微分27
2.1.1　復變函數的導數27
2.1.2　復變函數的微分概念29
2.1.3　可導的必要條件29
2.1.4　可導的充分必要條件31
2.1.5　求導法則32
2.1.6　復變函數導數的幾何意義33
2.2　解析函數34
2.2.1　解析函數的概念34
2.2.2　解析函數的法則35
2.2.3　函數解析的充分必要條件35
2.2.4　解析函數的幾何意義（映射的保角性） 38
2.3　初等解析函數39
2.3.1　指數函數（單值函數） 39
2.3.2　對數函數———指數函數的反函數（多值函數） 40
2.3.3　三角函數（單值函數） 42
2.3.4　反三角函數（多值函數） 44
2.3.5　雙曲函數（單值函數） 44
2.3.6　反雙曲函數（多值函數） 45
2.3.7　整冪函數ｚｎ（單值函數） 46
2.3.8　一般冪函數與根式函數ｗ＝ｎ?ｚ（多值函數） 46
2.3.9　多值函數的基本概念48
2.4　解析函數與調和函數的關系49
2.4.1　調和函數與共軛調和函數的概念49
2.4.2　解析函數與調和函數之間的關系50
2.4.3　解析函數的構建方法50
2.5　解析函數的物理意義———平面矢量場52
2.5.1　用解析函數表述平面矢量場52
2.5.2　靜電場的復勢52
2.6　典型綜合實例54
小結57
習題57


計算機仿真編程實踐58
第3章　復變函數的積分59
3.1　復變函數的積分59
3.1.1　復變函數積分的概念59
3.1.2　復積分存在的條件及計算方法60
3.1.3　復積分的基本性質60
3.1.4　復積分的計算典型實例61
3.1.5　復變函數環路積分的物理意義62
3.2　柯西積分定理及其應用63
3.2.1　柯西積分定理63
3.2.2　不定積分64
3.2.3　典型應用實例66
3.2.4　柯西積分定理（柯西古薩定理）的物理意義66
3.3　基本定理的推廣———復合閉路定理67
3.4　柯西積分公式70
3.4.1　有界區域的單連通柯西積分公式70
3.4.2　有界區域的復連通柯西積分公式71
3.4.3　無界區域的柯西積分公式72
3.5　柯西積分公式的幾個重要推論74
3.5.1　解析函數的無限次可微性（高階導數公式） 74
3.5.2　解析函數的平均值公式76
3.5.3　柯西不等式76
3.5.4　劉維爾定理76
3.5.5　莫勒納定理77
3.5.6　最大模原理77
3.5.7　代數基本定理77
3.6　典型綜合實例78
小結82
習題84
計算機仿真編程實踐85
第4章　解析函數的冪級數表示86
4.1　復數項級數的基本概念86
4.1.1　復數項級數概念86
4.1.2　復數項級數的判斷準則和定理86
4.2　復變函數項級數88
4.3　冪級數90

4.3.1　冪級數概念90
4.3.2　收斂圓與收斂半徑91
4.3.3　收斂半徑的求法92
4.4　解析函數的泰勒級數展開式94
4.4.1　泰勒級數95
4.4.2　將函數展開成泰勒級數的方法96
4.5　羅朗級數及展開方法97
4.5.1　羅朗級數97
4.5.2　羅朗級數展開方法實例99
4.5.3　用級數展開法計算閉合環路
積分101
4.6　典型綜合實例102
小結105
習題107
計算機仿真編程實踐108
第5章　留數定理109
5.1　解析函數的孤立奇點109
5.1.1　孤立奇點概念109
5.1.2　孤立奇點的分類及其判斷定理109
5.2　解析函數在無窮遠點的性質113
5.3　留數概念114
5.4　留數定理與留數和定理116
5.5　留數的計算方法117
5.5.1　有限遠點留數的計算方法117
5.5.2　無窮遠點的留數計算方法119
5.6　用留數定理計算實積分120
5.6.1　∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型積分121
5.6.2　∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型積分122
5.6.3　∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型積分124
5.6.4　其他類型（積分路徑上有奇點）的
積分計算舉例126
5.7　典型綜合實例128
小結131
習題133
計算機仿真編程實踐134
第6章　保角映射135
6.1　保角映射的概念135
6.2　分式線性映射136
6.2.1　分式線性映射的概念136
6.2.2　兩種基本映射137
6.2.3　分式線性映射的性質138
6.2.4　分式線性映射的確定及應用139
6.2.5　三類典型的分式線性映射142
6.3　幾個初等函數所構成的映射145
6.3.1　冪函數映射145
6.3.2　指數函數ｗ＝ｅｚ映射146
6.3.3　儒可夫斯基函數映射147
6.4　典型綜合實例148
小結150
習題152
計算機仿真編程實踐153
第一篇復變函數論全篇總結框圖153
第一篇綜合測試題15


第7章　數學建模———數學物理定解
問題156
7.1　數學建模———波動方程類型的建立158
7.1.1　波動方程的建立158
7.1.2　波動方程的定解條件164
7.2　數學建模———熱傳導方程類型的建立165
7.2.1　數學物理方程———熱傳導類型方程的建立165
7.2.2　熱傳導（或擴散）方程的定解
條件168 7.3　數學建模———穩定場方程類型的建立169
7.3.1　穩定場方程類型的建立169
7.3.2　泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件170
7.4　數學物理定解理論171
7.4.1　定解條件和定解問題的提法171
7.4.2　數學物理定解問題的適定性172
7.4.3　數學物理定解問題的求解方法172
7.5　典型綜合實例172
小結175
習題175
計算機仿真編程實踐176
第8章　二階線性偏微分方程的分類177
8.1　基本概念177
8.2　數學物理方程的分類178
8.3　二階線性偏微分方程標準化181
8.4　二階線性常系數偏微分方程的進一步化簡183
8.5　線性偏微分方程解的特征185
8.6　典型綜合實例185
小結186
習題187
計算機仿真編程實踐187
第9章　行波法與達朗貝爾公式188
9.1　二階線性偏微分方程的通解188
9.2　二階線性偏微分方程的行波解189
9．3　達朗貝爾公式190
9.3.1　一維波動方程的達朗貝爾公式190
9.3.2　達朗貝爾公式的物理意義191
9.4　達朗貝爾公式的應用191
9.4.1　齊次偏微分方程求解191
9.4.2　非齊次偏微分方程的求解194
9.5　定解問題的適定性驗證195
9.6　典型綜合實例196
小結198
習題199
計算機仿真編程實踐200
第10章　分離變量法201
10.1　分離變量理論201
10.1.1　偏微分方程變量分離及條件201
10.1.2　邊界條件可實施變量分離的條件202
10.2　直角坐標系下的分離變量法202
10.2.1　分離變量法介紹202
10.2.2　解的物理意義205
10.2.3　三維形式的直角坐標分離變量206
10.2.4　直角坐標系分離變量例題分析207
10．3　二維極坐標系下拉普拉斯方程的分離變量法210

10.4　球坐標系下的分離變量法213
10.4.1　拉普拉斯方程Δｕ＝0的分離
變量（與時間無關） 213
10.4.2　與時間有關的方程的分離變量215
10.4.3　亥姆霍茲方程的分離變量216
10.5　柱坐標系下的分離變量216
10.5.1　與時間無關的拉普拉斯方程分離變量216
10.5.2　與時間相關的方程的分離變量218
10.6　非齊次二階線性偏微分方程的解法219
10.6.1　泊松方程非齊次方程的特解法219
10.6.2　非齊次偏微分方程的傅里葉級數解法221
10.7　非齊次邊界條件的處理222
10.8　典型綜合實例224
小結228
習題230
計算機仿真編程實踐232
第11章　冪級數解法———本征值問題233
11.1　二階常微分方程的冪級數解法233
11.1.1　冪級數解法理論概述233
11.1.2　常點鄰域上的冪級數解法（勒讓德方程的求解） 234
11.1.3　奇點鄰域的級數解法（貝塞爾方程的求解） 236
11.2　施圖姆劉維爾本征值239
11.2.1　施圖姆劉維爾本征值問題239
11.2.2　施圖姆劉維爾本征值問題的性質240
11.2.3　廣義傅里葉級數241
11.2.4　復數的本征函數族242
11.2.5　希爾伯特空間矢量分解243
11.3　綜合實例243
小結243
習題245
計算機仿真編程實踐245
第12章　格林函數法246
12.1　格林公式246
12.2　解泊松方程的格林函數法246
12.3　無界空間的格林函數基本解249
12.3.1　三維球對稱情形250
12.3.2　二維軸對稱情形250
12.4　用電像法確定格林函數251
12.4.1　上半平面區域第一邊值問題的格林函數構建方法251
12.4.2　上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題253
12.4.3　圓形區域第一邊值問題的格林函數構建254
12.4.4　球形區域第一邊值問題的格林函數構建255
12.5　典型綜合實例256
小結257
習題259
計算機仿真編程實踐259
第13章　積分變換法求解定解問題260
13.1　傅里葉變換260
13.1.1　傅里葉變換260
13.1.2　廣義傅里葉變換261
13.1.3　傅里葉變換的基本性質263
13.2　拉普拉斯變換268
13.2.1　拉普拉斯變換268
13.2.2　拉普拉斯變換的性質270
13.2.3　拉普拉斯變換的反演273
13.3　傅里葉變換法解數學物理定解問題275
13.3.1　弦振動問題275
13.3.2　熱傳導問題277
13.3.3　穩定場問題278
13.4　拉普拉斯變換解數學物理定解問題279
13.4.1　無界區域的問題280
13.4.2　半無界區域的問題280
小結282
習題284
第14章　保角變換法求解定解問題285
14.1　保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關系285
14.2　保角變換法求解定解問題典型實例286
習題290
計算機仿真編程290
第15章　數學物理方程綜述291
15.1　線性偏微分方程解法綜述291
15.2　非線性偏微分方程292
15.2.1　孤立波292
15.2.2　沖擊波294
小結295
第二篇綜合測試題296
第三篇　特殊函數
第16章　勒讓德多項式———球函數297
16.1　勒讓德方程及其解的表示297
16.1.1　勒讓德方程、勒讓德多項式297
16.1.2　勒讓德多項式的表示298
16.2　勒讓德多項式的性質及其應用300
16.2.1　勒讓德多項式的性質300
16.2.2　勒讓德多項式的應用（廣義
傅里葉級數展開） 303
16.3　勒讓德多項式的生成函數（母函數） 305
16.3.1　勒讓德多項式的生成函數的定義305
16.3.2　勒讓德多項式的遞推公式306
16.4　連帶勒讓德函數307
16.4.1　連帶勒讓德函數的定義307
16.4.2　連帶勒讓德函數的微分表示309
16．4．3　連帶勒讓德函數的積分表示309
16.4．4　連帶勒讓德函數的正交關系與模的公式309
16．4．5　連帶勒讓德函數———廣義傅里葉級數309
16．4．6　連帶勒讓德函數的遞推公式310
16．5　球函數310
16．5．1　球函數的方程及其解310
16．5．2　球函數的正交關系和模的公式311
16．5．3　球面上函數的廣義傅里葉級數312
16．5．4　拉普拉斯方程的非軸對稱定解
問題313 16．6　典型綜合實例314
小結317
習題320
計算機仿真編程實踐320
第17章　貝塞爾函數321
17.1　貝塞爾方程及其解321
17.1.1　貝塞爾方程321
17.1.2　貝塞爾方程的解321
17.2　三類貝塞爾函數的表示式及
性質322
17.2.1　第一類貝塞爾函數322
17.2.2　第二類貝塞爾函數324
17.2.3　第三類貝塞爾函數324
17.3　貝塞爾函數的基本性質325
17.3.1　貝塞爾函數的遞推公式325
17.3.2　貝塞爾函數與本征值問題327
17.3.3　貝塞爾函數的正交性和模329
17.3.4　廣義傅里葉貝塞爾級數330
17.3.5　貝塞爾函數的母函數（生成函數） 331
17.4　虛宗量貝塞爾方程332
17.4.1　虛宗量貝塞爾方程的解332
17.4.2　第一類虛宗量貝塞爾函數的性質333
17.4.3　第二類虛宗量貝塞爾函數的性質333
17.5　球貝塞爾方程334
17.5.1　球貝塞爾方程334
17.5.2　球貝塞爾方程的解334
17.5.3　球貝塞爾函數的級數表示335
17.5.4　球貝塞爾函數的遞推公式335
17.5.5　球貝塞爾函數的初等函數表示式335
17.5.6　球形區域內的球貝塞爾
方程的本征值問題336
17.6　典型綜合實例336
小結339
習題341
計算機仿真編程實踐341
第三篇綜合測試題341
第四篇　計算機仿真
第18章　計算機仿真在復變函數中的
應用343 18.1　復數運算和復變函數的圖形343
18.1.1　復數的基本運算343
18.1.2　復數的運算344
18.1.3　復變函數的圖形346
18.2　復變函數的極限與導數、解析函數348
18.2.1　復變函數的極限348
18.2.2　復變函數的導數349
18.2.3　解析函數350
18.3　復變函數的積分與留數定理350
18.3.1　非閉合路徑的積分計算350
18.3.2　閉合路徑的積分計算351
18.4　復變函數級數352
18.4.1　復變函數級數的收斂及其收斂半徑352
18.4.2　單變量函數的泰勒級數展開353
18.4.3　多變量函數的泰勒級數展開354
18.5　傅里葉變換及其逆變換355
18.5.1　傅里葉積分變換355
18.5.2　傅里葉逆變換356
18.6　拉普拉斯變換及其逆變換356
18.6.1　拉普拉斯變換357
18.6.2　拉普拉斯逆變換357
計算機仿真編程實踐358
第19章　數學物理方程的計算機仿真求解359
19.1　用偏微分方程工具箱求解偏微分方程359
19.1.1　用ＧＵＩ解ＰＤＥ問題359
19.1.2　計算結果的可視化359
19.2　計算機仿真編程求解偏微分
方程362
19.2.1　雙曲型：波動方程的求解362
19.2.2　拋物型：熱傳導方程的求解365
19.2.3　橢圓型：穩定場方程的求解367
19.2.4　點源泊松方程的適應解369
19.2.5　亥姆霍茲方程的求解370
19.3　定解問題的計算機仿真顯示371
19.3.1　波動方程解的動態演示372
19.3.2　熱傳導方程解的分布373
19.3.3　泊松方程解的分布374
19.3.4　格林函數解的分布375
19.3.5　本征值問題中本征函數的分布376
計算機仿真編程實踐377
第20章　特殊函數的計算機仿真應用378
20.1　連帶勒讓德函數、勒讓德函數、
球函數378
20.1.1　連帶勒讓德函數378
20.1.2　勒讓德多項式378
20.1.3　球函數379
20.1.4　勒讓德多項式的母函數圖形379
20.2　貝塞爾函數（柱函數） 380
20.2.1　貝塞爾函數380
20.2.2　虛宗量貝塞爾函數382
20.2.3　球貝塞爾函數的圖形382
20.2.4　平面波用柱面波形式展開383
20.2.5　定解問題的圖形顯示384
20.3　其他特殊函數385
計算機仿真編程實踐385
第四篇綜合測試題386
參考文獻387