間斷有限元理論與方法（簡體書）

有限元方法是現代科學與工程計算領域中最重要的數值方法之一，間斷有限元方法則是傳統（連續）有限元方法的創新形式、改進和發展。《間斷有限元理論與方法》系統地闡述了間斷有限元的基本理論、思想和方法，
《間斷有限元理論與方法》主要針對橢圓方程、一階雙曲方程、一階正對稱雙曲方程組、對流擴散方程、Stokes方程和橢圓變分不等式等偏微分方程定解問題，介紹各種形式間斷有限元方法的構造、穩定性和誤差分析、超收斂性質、後處理技術、後驗誤差估計和自適應計算。本書可供高等院校計算數學、應用數學、計算物理和計算力學等專業的研究生、教師以及從事科學與工程計算工作的科技人員閱讀和參考。

《信息與計算科學叢書》序
前言

第1章 預備知識
1.1 Sobolev空間簡介
1.2 嵌入定理
1.3 有限元空間及其性質
1.3.1 有限元空間
1.3.2 插值和投影逼近
1.3.3 逆性質和跡不等式
1.4 橢圓邊值問題的有限元方法
1.4.1 邊值問題的適定性
1.4.2 連續有限元逼近

第2章 橢圓問題懲罰形式的間斷有限元方法
2.1 歷史的回顧
2.2 懲罰方法的一般理論
2.3 相容方法
2.4 不相容方法
2.5 後驗誤差分析
2.5.1 後驗誤差上界估計
2.5.2 後驗誤差下界估計
2.5.3 數值算法
2.6 插值函數的超逼近性質
2.6.1 -維插值函數的超逼近性質
2.6.2 高維插值函數的超逼近性質
2.7 後處理技術與超收斂性
2.7.1 超逼近估計
2.7.2 L2-投影的後處理技術
2.7.3 導數小片插值恢復技術
2.7.4 整體插值後處理技術

第3章 橢圓相關問題的間斷有限元方法
3.1 對流占優反應擴散方程
3.1.1 間斷有限元格式
3.1.2 穩定性與誤差分析
3.1.3 超收斂與後驗誤差估計
3.2 Stokes問題
3.2.1 線性速度-常數壓力間斷元
3.2.2 誤差分析
3.2.3 高次間斷有限元
3.3 橢圓變分不等式問題
3.3.1 問題及其間斷有限元近似
3.3.2 最優誤差估計與迭代求解
3.4 第二類橢圓變分不等式
3.4.1 問題及其正則化
3.4.2 間斷有限元方法
3.4.3 先驗誤差估計
3.4.4 後驗誤差估計
3.4.5 數值計算例

第4章 數值通量形式的間斷有限元方法
4.1 介紹
4.2 數值通量方法的基本公式
4.3 基本公式的理論分析
4.4 不穩定格式
4.5 廣義局部間斷有限元方法
4.6 對流擴散問題
4.6.1 迎風型間斷有限元格式
4.6.2 誤差分析
4.6.3 對流擴散反應方程
4.7 橢圓相關問題

第5章 一階雙曲方程的間斷有限元方法
5.1 起源與歷史發展
5.2 問題及其間斷有限元格式
5.3 最優階誤差估計
5.4 三角元的超收斂估計
5.5 矩形元的超收斂估計
……
第6章 與階正對稱雙曲方程組的間斷有限元方法
參考文獻
已出版書目

不同于懲罰形式間斷有限元方法的獨立產生與發展，橢圓問題數值通量形式的間斷有限元方法是在一階雙曲問題間斷有限元和混合有限元方法的基礎上發展起來的.在20世紀90年代，求解一階雙曲問題的間斷有限元方法已經取得了相當的成功，人們自然想到將其推廣到對流擴散問題或者純擴散問題（橢圓問題）。1992年，Richter首先將Reed和Hill提出的求解一階雙曲問題的間斷有限元方法應用于求解對流占優擴散問題[68].然而Richter的方法有許多限制，要求擴散系數V=O（h），并且對流方向向量與所有剖分單元邊界的夾角有正的下界.顯然這種方法不適用于一般的對流擴散問題.另一方面，在橢圓問題的混合有限元方法中，人們早已采用間斷有限元來近似位移函數，這啟示人們將混合有限元方法（處理擴散項）與一階雙曲問題的數值方法（處理對流項）相結合來形成求解對流擴散問題的間斷有限元方法.1993年，Dawson將Raviart-Thomas混合元方法與高階Godunov方法相結合建立了所謂的求解對流擴散方程的迎風混合元方法；1995年，Chen和Cockburn等將Raviart-Thomas混合元方法與Runge-Kutta間斷有限元方法相結合建立了求解半導體方程的混合間斷有限元方法；1998年，Lomtev等將更一般的混合元方法與對流項的間斷元離散相結合得到了求解Navier-Stokes方程的混合間斷有限元方法。
……