啟發每個人的數學小書：愛因斯坦愉悅推薦，經典長銷70年

獻給所有時代，擁有好奇心的人們！
所有愛看數學書、不看數學書的人，都從這本書得到啟發，不只懂了數學，更懂了人生！

我帶著愉悅的心情讀李伯的這本書，優美的例子和深具啟發的內容，相信這原創性十足的嘗試，必定贏得人們激賞。　～愛因斯坦

這本數學入門經典以詩一般的文字和充滿想像力的插畫，為數學思考的本質與哲學作了最迷人的闡釋。原是為了在二次世界大戰那個動盪的年代，讓人們重新認識數學和科學的美好，經過70年的傳頌，這本小書所要傳達的，在在證明都是生活哲思與做事態度上，最具價值的提醒！

本書特色

1942年，長島大學數學系主任和藝術系主任夫婦，聯手創作了這本圖文數學小書。
1944年，它被美國國防部送往戰場，陪伴士兵們度過艱苦的戰時歲月。
經過70年歲月的淬練，它依然發光發熱，2011年還登上日本暢銷書排行榜。

莉莉安‧李伯（Lillian R. Lieber，1886～1986）

生於俄羅斯的猶太人家庭，後來隨家人移民美國。先後取得巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士學位，1914年榮獲克拉克大學博士學位。

1934年任教於紐約長島大學數學系時，與當時的系主任休‧李伯結為連理。1945年，休‧李伯轉任該校藝術系主任，她則繼任數學系主任，直到1954年退休。
基於普及數學的崇高理想，莉莉安希望利用科普書寫，讓年輕人理解數學與科學在政治與倫理等方面的蘊涵，在一九四○年代寫了一系列相當受歡迎，也備受尊崇的科普書，包括《愛因斯坦的相對論》《無限》《Mits，機智與邏輯》等等。

繪者簡介

休‧李伯（Hugh Gray Lieber，1896～1961）

曾任紐約長島大學數學系、藝術系主任。妻子莉莉安的多本科普書籍都是由他擔任插畫。

譯者簡介
洪萬生

美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任教台灣師範大學數學系，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並建立數學史與HPM社群。2009年開始，利用「台灣數學博物館」網站（museum.math.ntnu.edu.tw），結合科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源。退休後，更積極投入數學普及讀物的閱讀推廣、書寫與出版。

英家銘

台灣師範大學博士，現任台北醫學大學人文暨社會科學院助理教授。曾任中學教師、台灣師範大學助教與中原大學講師。研究興趣與教學專長為數學史與科學史，及其在教育上的應用。對數學、天文、歷史、哲學、科幻，以及棒球運動等有廣泛的興趣。

哈佛大學校聘教授貝利‧馬祖爾　專序推薦
台灣師範大學數學系前教授洪萬生　導讀
小野
李偉文
台大科學教育發展中心主任陳竹亭
北一女中校長張碧娟
親子作家番紅花
一致好評！

跨時代的好評

‧這是本可愛的小書，文字精練、引人入勝，我十分享受。儘管它吸引人的原因是如此難以分析，也許是它的幽默，也許是它的親切，也許是它關於人類智慧的根本信念；又或者，三者皆是。　──《紐約時報》

‧我帶著愉悅的心情讀李伯的這本書，優美的例子和深具啟發的內容，相信這原創性十足的嘗試，必定贏得人們激賞。　──愛因斯坦（1879～1955）

‧非數學家的一般人，更需要讀這本書。　──數學家 E. T. 貝爾（1883～1960）

‧這本小書所帶來的興奮感，剛好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書（有時候，我很好奇搬著它們到處跑的學生，為什麼沒有額外的體育課學分），真是有相當大的對比。　──數學家、哈佛校聘教授 貝利‧馬祖爾

‧這一本年齡即將邁入70歲的阿嬤級讀物，既是數學普及書寫的一絕，也是數學知識永恆性的一個見證。因此，我們非常樂意中譯並推介給中文讀者，特別是中學師生閱讀。　──師大數學系前教授 洪萬生

‧我很喜歡這種科普書！本來也以為自己的數學不好，後來在大學考微積分考到全班最高後，發現數學不是我們想的那樣。學校畢業後，我還當了一年國中的數學老師。　──小野

‧在超過半紀前寫的書，現在讀來仍只有一句話可以形容：實在太棒啦！希望所有中學以上的人都能一讀。　──科普作家 竹內薰

‧李伯寫了一本巧妙、有趣，又充滿啟發的書。　──《週六文學評論》

讓人不禁愛上的數學小書
哈佛大學校聘教授 貝利‧馬祖爾

進入這本書的世界，宛如發現一個充滿希望的地方，裡面的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮，就像向日葵一樣，等不及向你展現初綻的花瓣，洋溢著各種可能性、喜悅和益處。

作者極具天分，寫出了一本給所有人看的數學書，擷取出最值得探討的概念，讓書中涵蓋了使數學真正成為數學的本質。他們寫得如此吸引人，讓我們不管在電車上或散兵坑裡都想閱讀；他們也寫得如此簡約，本書最早的美國大兵版，甚至可以塞進一包軍隊口糧裡面。

能邂逅李伯一家（本書作者與插畫者是一對夫婦），令我非常興奮，因為他們筆下的數學是如此精采。他們提出令人驚豔的簡單問題，像是為赤道繫上皮帶，再稍微鬆開（第三章），藉此神奇地讓你、我和Mits先生在不知不覺中，開始以數量化的方式思考，並且是深入思考。

李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴（第九章）。他們面無表情地述說一個迷人、但卻無法成立的歐氏幾何證明，其說服力全仰賴他們所畫的圖中一個狡猾而錯誤的假設（第十三章）。一旦他們協助揭發那個使人誤解的圖解，其中的寓意也會隨之出現，正如你所想像。

他們也提供讀者一丁點微積分的概念（第十章），就我看來，要感受微積分的奧妙，你只需要知道這些就夠了。他們還帶我們體驗有限幾何（第十五章，標題為「傲慢與偏見」），而幾何公理的模型概念就輕巧地從中流洩而出，因此對於更加抽象的概念，他們幾乎無須多作說明，你就是看得懂！

他們也在有限算術上運用同樣的手法（第十六章）。他們說明，而且是真正地說明了四維空間（第十八章）。他們也解釋相對論。這些說明都有其附加的寓意，或是對希特勒的批判，並且洋溢著和煦的長者之風。

這本寫於1942年的書籍，反映了那個年代的嚴酷和險惡，也因堅信「理念可以造就輝煌的未來」而生輝。本書的美國大兵版，標題為「給海外軍隊的版本」，大小只有3又3/4吋×5又3/8吋。戰時書籍評議會非常幸運，得以讓部隊閱讀如此具有教育價值的書，裡面充滿了T. C. Mits的明亮插畫，他常常帶著一頂雙曲面的帽子，蔑視（或許根本不以為意）當代毀滅性戰爭的貪婪，快活地思考他在浩瀚的數學頂層的位置。

正如你即將見到的，你手中的這本書相當有趣，但有時候也會惹人惱怒。我自己讀的時候，本書對我的第一個影響，就是把我帶回十二歲，作者就像是我慈愛的阿姨和伯伯，把我放在腳搆不到地面的椅子上，塞給我一大杯巧克力牛奶和自家烤的餅乾，準備傾注予我豐富的課程（關於生命、數學、這個世界……等等），每個故事都伴隨著別有用心的寓意。

然而，這本小書所帶來的興奮感，正好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書，真是有相當大的對比（我有時候很好奇，搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分）。

不知道是因為懶惰，或者只是個性叛逆，當我還是青少年的時候，很喜歡那種精簡的小書，旨在寫出所探討的主題之本質，不帶任何噱頭。在這方面，我和傳說中去找希列拉比，要這位有名望的智者在自己單腳站立的時間內，教完整部《律法書》的懷疑家是同一陣線的。

而這位親切的拉比，則告訴他一個絕對命令**。因此，我會愛上李伯一家的書也是理所當然，因為書中所闡述的—而且文筆是那麼地熟練、輕巧（不管有沒有巧克力牛奶和餅乾）—正是數學感性的真正本質。你真正需要知道的，全在這裡了。

* 「哈佛大學校聘教授」是哈佛頒給教學人員的最高級位，幾可與諾貝爾獎、普立茲獎、國家元首等榮譽相提並論，至今僅有24位教授獲此殊榮，經營策略大師麥可‧波特亦是其中之一。貝利‧馬祖爾於1998年受封，在數學界具有相當大的影響力，也致力於科普寫作。

** 希列拉比的回答是：「己所不欲，勿施於人。」這句話即代表了猶太教《律法書》的要義。

數學是一種思維方式，更是一種生活方式
台灣師範大學數學系前教授 洪萬生

當你翻開到目錄時，請先猜猜看，第九章和第十章標題為什麼分別稱為「締結良緣」與「早生貴子」？哈佛大學傑出數學家貝利‧馬祖爾說這是「李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴」。事實上，這對在十七世紀組成的數學新家庭，就叫作「解析幾何」，至於他們早生的貴子，當然就是第十章的主題「微積分」了。

上述這個充滿數學史洞識的比喻，可以見證本書作者李伯一家人的博雅素養，以及非常樂觀的自由主義思想，儘管當時二戰正酣，時局嚴酷、險惡。馬祖爾指出：
進入這本書的世界，宛如發現一個充滿希望的地方，裡面的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮，就像向日葵一樣，等不及向你展現初綻的花瓣，洋溢著各種可能性、喜悅和益處。

當然，這是因為「作者極具天分，寫出了一本給所有人看的數學書。」事實上，本書是數學家莉莉安‧李伯教授於1942年，為二戰出征的美國大兵所寫的一本數學休閒小書。全書才大約三萬字，為了方便閱讀，還採用一行一詞句的方式書寫，再加上作者先生休‧李伯的俏皮貼切插畫，使得本書洋溢著極大的啟發性。無怪乎馬祖爾教授還特別強調：

這本小書所帶來的興奮感，正好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書，真是有相當大的對比（我有時候很好奇，搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分）。

不知道是因為懶惰，或者只是個性叛逆，當我還是青少年的時候，很喜歡那種精簡的小書，旨在寫出所探討的主題之本質，不帶任何噱頭。

可見，本書之所以受到馬祖爾的青睞，完全是因為這位傑出數學家的十二歲年代，受到它直指核心且「帶點叛逆性」的風格所吸引。而這種「現代性」，當然也見證了美國數學家養成教育制度的逐漸成熟，以及二十世紀早期許多美國本土培養的數學博士，如何以數學教育與普及為職志。

根據約瑟夫‧雅伯的說明，莉莉安是生於俄羅斯的猶太人家庭，後來隨家人移民美國。她先後取得紐約的巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士，1914年榮獲克拉克大學博士學位。1934年，當她應聘到紐約長島大學數學系任教時，與當時的系主任休‧李伯結為連理。1945年，當修‧李伯轉任該校藝術系主任時，莉莉安繼任數學系主任，直到1954年退休為止。

顯然基於普及數學的崇高理想（她的科普系列書籍至少有十本之多），莉莉安希望利用科普寫作，讓年輕人理解數學與科學，在政治、倫理等方面的蘊涵。另一方面，她也注意到一般學生直到大學階段，才有機會接觸源自十九世紀的現代數學。因此，為了讓學生體會數學知識活動是多麼地令人興奮，她認為有必要引進伽羅瓦群、非歐幾何、四維空間，乃至於現代邏輯等等革命性的風貌。而所有這些，都在本書中有了相當具體的實現。

本書除了〈前言〉〈關於主角T. C. MITS〉，以及書末的〈寓意〉之外，共有二十章，所介紹的數學主題涵蓋歐氏幾何、非歐幾何、有限幾何、有限代數、解析幾何、微積分、第四維空間和相對論等等，並且論及方法論之省思，以及現代數學vs.現代藝術的抽象性之對比。

各章篇幅精簡、內容強悍，但呈現手法卻十分輕鬆俏皮，尤其各章標題更是時有佳作。除了前述的第九章〈締結良緣〉、第十章〈早生貴子〉之外，還有分別介紹非歐幾何的第十四章〈自由與特許〉，以及有限幾何的第十五章〈傲慢與偏見〉。

所有的這些，都是由於莉莉安認為，所謂的SAM（Science, Art & Mathematics）表現了人類文化的真、善、美，從而對年輕讀者娓娓道來現代數學的理論、啟示和它引人入勝之處，這是現代教育，以及數學普及著述必須承擔的時代使命。

儘管如此，李伯夫婦非常「到位」的科普素養，足以在本書一開始，就讓年輕讀者愛不釋手。譬如說吧，在第一章中，作者就提醒我們「五千萬人也可能是錯的」，他們經由一個簡單的計算題，告訴我們「別成為倉促作決定的人」。

其次，在第二章中，作者提出加倍疊紙巾（每張厚度0.003吋）的問題，然後要讀者猜，當疊到第32次時，這疊紙巾總共會有多高？作者利用這個例子說明，很多時候我們依賴直覺解決問題固然無可厚非，然而，直覺的東西在被檢查和複檢之前，「並不會成為值得尊敬的科學和數學」，儘管她十分仰慕法拉第緣起於直覺的許多貢獻。

至於在第三章中，作者則拋出另一個問題：假設有一條鋼環緊緊環繞著地球的赤道。現在你將它移走，從一處切開來，額外接合一段10呎長的鋼條。這條新的鋼環和地球之間的空隙會有多大？針對它令人出乎意料的解答，作者提醒我們：「沒有理論或計畫，光是機械式的操作問題裡的數字，並不因為你使用算術而變得有意義！」

以上所提及的問題都常見於數學普及書籍，作者在此「老生常談」，其目的就是希望我們都能運用數學來提升心靈效率。為此，當我們學習數學時，就必須強調一般化、抽象化，以及精確定義的重要性，進而位於作者所謂「圖騰柱」頂層的純數學思維，當然就至為重要了。

作者以收音機為例，說明這個發明如何先後受惠於義大利馬可尼的無線電設備、德國赫茲的電磁波實驗、英國馬克斯威爾的電磁學理論，乃至於最後，牛頓微積分是如何被應用在電磁的微分方程式上。因此，要是沒有純粹的數學理論，哪來科技上的重要發明？

當然，從本書的說明，我們也可以看到，數學不只是給工程師，或是需要數學公式的人使用而已，「數學是一種思維方式、一種生活方式」，這才是作者所念茲在茲的理念。因此，在第十一章「PART I的總結」最後，作者特別指出：

大部分的數學課程都沒有留時間讓你思考上面那些事情。時間都用來學習演算技術。我們必須停下來，從技術的操弄中，看出可以從中得到什麼一般性觀念，而這些觀念是對我們所有人都管用的。

作者這種針對比較結構主義式進路的「新式教育」之呼籲，在本書後半部提供了一個教育現代數學的藍圖。至於其具體內容，則是基於隨意定奪的假設、但卻邏輯相容的公設數學，如非歐幾何、有限幾何、有限代數、第四維空間等等。如此一來，受過這種現代數學訓練的公民，「他對於自由止於何處，以及特許始於何處，有著非常清楚的體認。

他完全了解，他不能在一個系統中引進任何會引發矛盾、進而摧毀這個系統本身的事物。」因此，基於這樣的自由主義之倫理蘊涵，「即使在一個民主制度中，允許民主的敵人使用言論自由去摧毀民主，是不合乎邏輯的。同理，自由企業也必須因著民主的其他設準而有所規範。」

上述作者所關心的這種自由vs.特許的張力，在現代藝術與音樂等等的創作上，倒是沒有什麼禁忌，因為它的奇特性正是現代主義的一大特徵，「就好比今日的數學比過去的要多元化，那麼，你也不會訝異，現代藝術比起過去的時尚藝術要多樣化得多。」。

無論作者基於現代數學精神的自由主義倫理主張是否具有說服力，本書的精緻內容與圖文並茂的表現形式，都值得我們細細品味。總之，這一本年齡即將邁入七十歲的阿嬤級讀物，既是數學普及書寫的一絕，也是數學知識永恆性的一個見證。因此，我們非常樂意中譯並推介給中文讀者，特別是中學師生閱讀。

前言

一開始
本書並沒有打算以自由詩的型式呈現。
將每個詞句分行書寫，
為的是方便迅速閱讀，
如今，
每個人都行色匆匆。

關於主角T. C. MITS

先介紹我們的主角。
T. C.出生，並且接受了某種教育──
也許是大學，也許是「社會大學」。
不論如何，他試著理解要如何好好「過日子」。
他學到許多相互矛盾的資訊：
「過去是過時的，你必須革新。」
「過去是美好的，這些最新的流行是墮落的象徵。」

「科學會拯救我們免於迷信和欺騙。」
「科學是人類所創造出最恐怖的威脅。」

「五千萬人不可能是錯的。」
「有些種族一定是錯的。」

「作人要實際，習得一技之長，
別把時間浪費在數學和藝術上。」
「為什麼要終其一生當一個狹隘的、實際的農人呢？
走出去，學習一點理論，並且發現如何用更好的方法做事情。」
等等，等等。

他很自然地被這些資訊所困惑，
並且被禁閉在其中。
不只是名字成了Mits*，
手指上、腳趾上，甚至在腦袋上，
也都被牢牢套住了。

本書企圖以鳥瞰的角度，
來查看T. C.的困境，
並且尋找是否有可能的出路。
為了要生動地進行，我們會盡量多使用圖形。
而且為了要清楚地進行，我們使用的是人類所創出最清楚的語言──
數學。

噢，我知道你不喜歡數學，
但是，我們答應不會將它當成拷問的工具，
而是顯示它對於前面所提到的矛盾格言，
以及諸如下列之間，可能會有什麼關係：

民主
自由和特許
傲慢與偏見
成功
孤立主義
準備
傳統
進步
理想主義
常識
人性
戰爭
自力更生
謙卑
容忍
偏狹
無政府狀態
忠誠
抽象藝術
等等。

有時候我們會指出一個「寓意」。
但是請別認為我們想教訓什麼，或是在對讀者說教。
事實上，我們只是在自言自語，
因為我們就和其他數百萬人一樣，都是T. C.本人。

* Mits原意是手套。

3 面紙的思考

現在你知道，我們必須更小心、更審慎地思考，
那麼你已經準備好要挑戰另一個問題了：

假設有一條鋼環緊緊環繞著地球的赤道。
現在你將它移走，從一處切開來，
額外接合一段10呎長的鋼條，
這個新的鋼環會比原本的還要長10呎。
你再把它重新放回赤道上，
它應該會鬆一點，不是嗎？

問題就是：
這條鋼環和地球之間的空隙有多大？
它會大到足夠讓
（a）一個6呎高的人走過去，
（b）一個人匍匐前進，
（c）一張面紙剛剛好可以穿過？

在翻到下一頁之前請先作答。
你是說（c）才是正確答案嗎？
也許這個想法是你腦袋裡面的「靈光一閃」，
因為你覺得，10呎在一條幾千哩長的鋼環上不會造成多少差別。

或者，你已經學習到不要太信任這個「靈光一閃」，
決定用以下的方法來計算：

「因為赤道一圈是25,000哩，
用25,000哩來分10呎，會得到一個非常小的數，
所以，我還是認為（c）才是正確答案。」
但是，這樣的數字操作並不能算是「計算答案」。
我們有什麼理由可以作這些運算呢？

這行動背後的理論又是什麼？
在更仔細地考慮之後，
你必須承認，好像真的沒有理由這麼做。

換句話說，沒有理論、沒有計畫，
光是機械式地操作問題裡的數字，
並不會因為你使用算術而變得有意義！

現在讓我們明智地檢視這個問題：
你應該知道，任一個圓的圓周（C），
可以由半徑（R）乘以2π得知，
其中，π是希臘字母（唸作「拍」），
而且是個數值大約為3又1/7的符號。

用更簡略的方式來表示這個有關圓的事實，
我們可以說：

C＝2πR
這個事實對任何圓都是成立的，不管它多大多小。

現在，如果我們將半徑增加數值x
畫出一個半徑為R＋x
新的、更大的圓。

新的圓周會是：
C'＝2πR＋2πx
如果我們將它和之前的C，
也就是C＝2πR相比較，
可以看到，
C'比2πR多出2πx。

換句話說，
半徑增加x，圓周會增加2πx，
或者說是6又2/7乘以x。

現在，
回到我們的問題，
如果我們將圓周增加10呎，
我們得到：
6又2/7乘以x＝10呎

以及結果：
x＝大約1又1/2呎
也就是說，圓周增加10呎，
會讓半徑增加大約1又1/2呎，
所以，第41頁的選項（b）才是這個問題的正確答案。

於是你可以看到，
你不能跟機器人一樣，只會做機械式的計算。
現在你已經看到解決這種問題的合理方法，
再試試這題吧：

假設你要進行徒步環繞赤道的長途旅行，
（假設地球是一個完美的球面）
另外，假設你身高6呎，
那麼，你的頭會比你的腳多行進多少距離呢？

也許你會對下述這個想法感到驚訝，
當你行走時，你的頭可以行進得比你的腳還要遠！
也許你認為這違反「常理」。

但是，請仔細看看下面的圖，
應該可以毫無疑問地說服你這個想法完全合理！
因為，當你的腳沿著內圈行走的時候，
你的頭明顯地會隨著外圈移動。

寓意：
你的頭可以行進得比你的腳還要遠！

4 一般化

你應該毫無疑問地察覺，在第三章
有關圓的公式是一種「代數」。

也許你也可以從這猜出
代數和算術的差異之一就是，
在算術裡面我們一次解決一個特定的問題，
而在代數裡面我們會提供一個一般性法則，
來解某一類型的許多問題。

因此，當我們發現
一個底4吋、高2吋的長方形，面積為8平方吋，
這是算術。

但是當我們寫：
A＝ab （1）
也就是說，要找到任何長方形的面積A，
我們必須將高度a，乘以底邊b，
這就是代數。

換句話說，代數比算術更一般化。
但也許你會說這差異並不大，
因為在算術中也有一般性法則，
只是它們以文字描述，
而不是像（1）那樣以字母的形式表現。

因此，在算術裡我們會說：
「要算出任何長方形的面積，
只要將底乘以高就好。」

而在代數中我們說：
A＝ab
但你可能還是覺得，這只是一種便利的縮寫，
而不是什麼新鮮事。

不過事實是，這不只是便利縮寫的問題，
以這種非常便利的符號法則來表現公式，
尤其當一個公式比前面給的要複雜許多的時候，
我們就可以一眼看出許多有趣的事實，

這要從一連串複雜的文字敘述中挖出來，是很困難的。
同時，更進一步地，
當我們學習處理這些公式時，我們會發現，
我們幾乎是自動地解決問題，

如果以其他方式處理
得花費許多苦思。

就如同，當我們學會開車，
我們就可以輕鬆、愉快地「兜風」，
而不是耗盡力氣，用走的過去。
因此，如果我們越了解數學，

生活就會越簡單，
因為它是一個可以幫助我們處理
徒手無法解決的難題的工具。
所以，數學可以幫助我們的頭腦、我們的手和腳，
讓我們每個人都成為超人。

也許你會說：
「但是我喜歡走路啊，我不想要每次都搭車。
而且我喜歡說話，我不想要老是用抽象的符號。」

而我們的回答是：
當然，請盡情地走路和說話，
但是，當你有一個困難的工作要做時，
請務必幫自己備齊所有可能需要的工具，
要不然，你可能會發現，要完成它是不可能的事。

因此，如果你想當工程師，建造橋梁或其他的東西，
你必須懂數學。

如果你想算出現在得存多少錢，
才能夠在年老的時候好好過日子，
那就使用公式吧。

如果你想知道當你借錢，或是使用分期付款的時候，
你付的利息到底是多少，
也請使用公式。

然後提醒你，這些是代數的公式，
有一些問題是無法只用算術解決的！

如果你努力一點查明它們的話，
你可能會驚訝地發現，
一些非凡和有用的公式可以帶來很多幫助。

事實上，
現在世界上的問題，
並不是因為我們知道了太多數學，
而是我們知道的還不夠。

因為，目前在心理學、社會學，以及其他重要領域，
還缺乏強而有力的數學方法。
所以在這些領域中，即使是最好的研究者，
打個比方，還是運用徒手的方式，還是在走路（而不是開車），
並且以日常言語在論述。

也許，
在這些領域中，我們的確玩得很開心，
但是，我們馬上就會哪裡都走不到，
因為我們正逐步地面臨烽火遍野。

毫無疑問，一定有人會說：
「但是這些戰爭的始作俑者，
他們所使用的現代化武器，
確實就是以數學為基礎。

希特勒的成功應該怪罪科學才對，
因此，它不可能引導我們到更好的生活。」
我們希望在此證明這不是真的。

科學和數學，
不只可以保護我們免於水災、閃電和疾病，
以及其他物質世界的危險，
我們更可以在其中學到哲學，
保護自己免於鬆散思考所造成的錯誤。

因此，如果我們能夠仔細地檢視它們，
它們就會成為防範所有邪惡的──圖騰柱。

寓意：
運用數學來提升你的心靈效率。