三角形趣談（簡體書）

《三角形趣談》為三角形趣談，全書共分10章，每章後配 有練習題，書後附有習題參考答案。《三角形趣談》適合初、高中學生，初、高中數學競賽選手及教練員使 用，也可作為高等師範院校、教師進修學院數學專業開設的“競賽數學”課 教材及國家級、省級骨幹教師培訓班參考使用。．

《三角形趣談》為三角形趣談，全書共分10章，每章后配有練習題。書后附有習題參考答案。《三角形趣談》適合初、高中學生，初、高中數學競賽選手及教練員使用，也可作為高等師范院校、教師進修學院數學專業開設的“競賽數學”課教材及國家級、省級骨干教師培訓班參考使用。

第1章 整邊三角形與三角數組
第1節 整邊三角形的性質
第2節 整邊勾股形與勾股數組
第3節 海倫三角形與海倫數組
第4節 另外兩種特殊的整邊三角形
練習1
第2章 三角形計數問題
第1節 整邊三角形的計數
第2節 三角形網絡中的計數公式
第3節 三角形計數名題
練習2
第3章 三角形組合問題
第1節 剖分及其應用
第2節 覆蓋與填充
第3節 著色問題及其他
第4節 三角形序列
練習3
第4章 三角形邊角的一般關係
第1節 基本關係
第2節 角問關係式
第3節 邊間關係式
第4節 邊角之間的關係
第5節 綜合的成功
練習4
第5章 著名三角形不等式
第1節 厄爾多斯一莫德爾不等式
第2節 外森比克不等式
第3節 匹多不等式
第4節 一個“母不等式”的發現
第5節 控制不等式
練習5
第6章 三角形關係式的應用
第1節 面積關係及其應用
第2節 三角形其他元素間的關係
第3節 三角形定型問題
練習6
第7章 三角形和圓
第1節 三角形的五心
第2節 九點圓
第3節 垂心組
第4節 費馬點
第5節 三角形共點圓舉例
練習7
第8章 三角形的共線點與共點線
第1節 塞瓦定理
第2節 梅涅勞斯定理
第3節 類似重心
第4節 迪沙格定理
練習8
第9章 西姆松線
第1節 西姆松定理
第2節 垂足三角形
第3節 西姆松定理的推廣（一）
第4節 西姆松定理的推廣（二）
練習9
第10章 幾種特殊三角形
第1節 直角三角形
第2節 等腰三角形及其推廣
第3節 黃金三角形
第4節 三邊成特殊數列的三角形
練習10
練習題解答概要
編輯手記
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【例9】平面上有n條直線l1，l2，…，ln（這里n≥4），它們兩兩相交，三三不共點，而把平面分為不重疊的區域，設P3為三角形區域數，求證P3≥2/3（n—1）
這是一個很漂亮的結果，證明的大體思路如下：以Aij表示直線li與lj的交點，考慮直線lk，由于n≥4，就是說至少有4條直線，這些直線除了同lk相交，還交于lk之外的點，設在lk一側的交點中，Aij是離lk最近的，如圖2.5（a）所示。那么，不會有直線從△ijAjkAki內部穿過，就是說，它是符合題目條件的三角形區域（稱為Jk的伴隨三角形），一般說來，在lk另一側還有一個，而在整個構圖里，n條直線l1，l2，…，ln中，至多有兩條只在一側有伴隨三角形。這是因為，否則，設l1，l2，l3只在一側有伴隨三角形，n≥4；再可取l4看看，如果A14在線段A31A12之外，則l1或l2兩側均有伴隨三角形，如圖2.5（b）所示，與假設矛盾。在△A31A12A23的任何邊的延長線上同樣不行。因此，它只能同時穿過這三角形三邊（內部），而這也是不可能的，這樣一來，至少有n—2條直線每條有兩個伴隨三角形，至多有兩條各有一個，因此，三角形區域總數至少為2（n—2）+2=2（n—1）。而每個三角形有3邊，至多被計算三次，因而P3≥2/3（n—1）。