矩陣論引論（簡體書）

本書較為全面、系統地介紹了與工程技術聯繫密切的矩陣理論及其應用，注重理論和應用的結合，具有工科教材的特點和方法．全書共分為六章，分別介紹了線性空間與線性變換、內積空間、矩陣的若當標準型與若干分解、矩陣分析及應用、特徵值的估計、廣義逆矩陣．

《工科研究生教材:矩陣論引論》可作為理工科院校碩士研究生和高年級本科生的教材，也可作為有關專業的教師及工程技術人員的參考書。

前言
第1章線性空間與線性變換
1．1線性空間
1．2基變換與坐標變換
1．3線性子空間
1．4線性空間的同構
1．5線性變換
1．6線性變換的矩陣表示
1．7特徵值與特徵向量
1．8不變子空間
習題1

第2章內積空間
2．1實內積空間
2．2正交基及正交補
2．3兩個特殊的線性變換
2．4歐氏空間的同構
2．5點到子空間的距離與最小二乘法
2．6複內積空間
2．7正規矩陣
2．8Hermite二次型
習題2

第3章矩陣的若爾當標準形及其分解
3．1矩陣及其標準形
3．2矩陣的若爾當標準形
3．3矩陣的最小多項式
3．4矩陣的若干分解
習題3

第4章矩陣分析及應用
4．1向量的範數
4．2矩陣的範數
4．3矩陣序列及其極限
4．4矩陣冪級數
4．5矩陣函數
4．6矩陣的微分和積分
4．7矩陣函數的應用
習題4

第5章特徵值的估計
5．1特徵值的界的估計
5．2圓盤定理
5．3譜半徑的估計
習題5

第6章廣義逆矩陣
6．1{1}-廣義逆矩陣A－
6．2M-P廣義逆矩陣A+
6．3廣義逆矩陣在線性方程組求解中的應用
習題6
部分習題參考答案
參考文獻

第3章 矩陣的若爾當標準形及其分解
矩陣的標準形和矩陣的分解是矩陣理論中一個內容廣泛而又十分重要的部分，它在許多領域中都有重要的應用。本章首先討論多項式矩陣的施密斯標準形問題和數字矩陣的若爾當標準形問題。然后，論述20世紀60年代后以Givens與House—holder變換發展起來的矩陣的QR分解，它在計算數學中扮演著十分重要的角色，尤其是以QR分解為基礎建立的QR方法，已對數值線性代數理論的近代發展起了關鍵作用。最后介紹在廣義逆矩陣等理論中經常遇到的矩陣的奇異值分解和滿秩分解，它們與QR方法都是近20年來求解各類最小二乘法問題和最優化問題的主要數學工具。當然，對這些應用性較強的材料，我們只能給出一個導引性的討論，而不做更深入詳盡的闡述。
3.1λ—矩陣及其標準形
設P是一個數域，λ是一個文字。如果一個矩陣的元素都是λ的多項式，那么稱此矩陣為λ—矩陣。因為數域P中的數也是多項式（零次），所以在λ—矩陣中也包括以數為元素的矩陣。為了區別，我們把以數域P中的數為元素的矩陣稱為數字矩陣。以下用A（λ），B（λ）等表示λ—矩陣。本節我們主要討論λ—矩陣的一些性質，并用這些性質來證明關于矩陣若爾當標準形的主要定理。
和數字矩陣一樣，我們可以定義λ—矩陣的加法與乘法，它們與數字矩陣的運算有相同的運算規律。甚至還可以定義n階λ—矩陣的行列式。一般地，λ—矩陣的行列式與數字矩陣的行列式有相同的性質。
定義3.1 λ—矩陣A（λ）的不為零的子式的最高階數稱為它的秩。
定義3.2 n×佗階λ—矩陣A（A）稱為可逆的，如果有一個n×n階的λ—矩陣B（λ）使得A（λ）B（λ）=B（λ）A（λ）=E。
關于λ—矩陣可逆的條件有以下定理成立。
定理3.1 λ—矩陣A（λ）可逆的充分必要條件是行列式|A（λ）|是非零常數。證明 設A（λ）可逆，則存在λ—矩陣B（λ）使得
A（λ）B（λ）=B（λ）A（λ）=E。
上式兩邊取行列式，|A（λ）||B（λ）|=1。因為|A（λ）|與|B（λ）|都是A的多項式，所以由它們的乘積是1可以推知，它們都是零次多項式，也就是非零常數。