好玩的數學：有趣的經典數學謎題（簡體書）

世界近代三大數學難題之一。哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生于1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小于6的偶數都是兩個素數(只能被1和它本身整除的數)之和。如6=3+3，12=5+7等等。
1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，正式提出了以下的猜想：a.任何一個大于6的偶數都可以表示成兩個素數之和。b.任何一個大于9的奇數都可以表示成三個素數之和。這就是哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。從此，這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。
在信中他寫道：“我的問題是這樣的：
隨便取某一個奇數，比如77，可以把它寫成三個素數之和：77=53+17+7：
再任取一個奇數，比如461，
461=449+7+5，
也是三個素數之和，46l還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。這樣，我發現：任何大于9的奇數都是三個素數之和。
但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結果，但是不可能把所有的奇數都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。”
同年的6月30日，歐拉給哥德巴赫回信說：“這個命題看來是正確的”。但是他也給不出嚴格的證明。同時歐拉又提出了關于此猜想的另一個等價的版本：任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和，但是這個命題他也沒能給予證明。
哥德巴赫猜想看似簡單，但要證明它卻很不容易。在18、19世紀，所有的數論專家對哥德巴赫猜想的證明都沒有作出實質性的推進，直到20世紀才有所突破。1937年蘇聯數學家維諾格拉多夫，用他創造的“三角和”方法證明了“任何大奇數都可表示為三個素數之和”。但是維諾格拉多夫的所謂大奇數要求大得出奇，與哥德巴赫猜想的要求仍有很大的差距。
想要直接證明哥德巴赫猜想是不容易的，于是采取了“迂回戰術”，就是先考慮把偶數表示為兩數之和，而每一個數又是若干素數之積。
哥德巴赫猜想最初的內容也可表述為“任何一個大于5的整數都可寫成三個質數之和”。而現在常見的猜想陳述為歐拉的版本，即“任何一個大于2的偶數都可寫成兩個質數之和”。
事實上，任何一個大于5的奇數都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。假設歐拉的命題成立，那么偶數2N就可以寫成兩個素數之和，因此奇數2N+1可以寫成三個素數之和，從而，對于大于5的奇數，哥德巴赫猜想是成立的。
但哥德巴赫猜想成立并不能確保歐拉命題也成立，因而歐拉命題比哥德巴赫猜想要求更高。現在，數學界通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想。把命題“任何一個大偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和”，記作“a+b”。哥德巴赫猜想就是要證明“1+1”成立。
1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。P1-3