改造命題（簡體書）

研究特例考察*更換角度改造命題●逐步逼近充分條件●●圖表轉換建立對應●借橋過河●

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ⅱ序問題是數學的心臟，學數學離不開解題．我國著名數學家華羅庚教授曾說過：如果你讀一本數學書，卻不做書中的習題，那就猶如入寶山而空手歸．因此，如何解題，也就成為了一個千古話題．國外曾流傳著這樣一則有趣的故事，說的是當時數學在歐幾裡得的推動下，逐漸成為人們生活中的一個時髦話題（這與當今社會截然相反），以至於托勒密一世也想趕這一時髦，學點數學．雖然托勒密一世見多識廣，但在學數學上卻很吃力．一天，他向歐幾裡得請教數學問題，聽了半天，還是云裡霧裡不知所云,便忍不住向歐幾裡得要求道：“你能不能把問題講得簡單點呢？”歐幾裡得笑著回答：“很抱歉，數學無王者之路．”歐幾裡得的意思是說，要想學好數學，就必須扎扎實實打好基礎，沒有捷徑可走．後來人們常用這一故事譏諷那些凡事都想投機取巧之人．但從另一個角度想，托勒密一世的要求也未必過分，難道數學就只能是“神來之筆”，不能讓其思路來得更自然一些嗎？記得我少年時期上學，每逢學期初發新書的那個時刻是最令我興奮的，書一到手，總是迫不及待地看看書中有哪些新的內容，一方面是受好奇心的驅使，另一方面也是想測試一下自己，看能不能不用老師教也能讀懂書中的內容．但每每都是失望而終：盡管書中介紹的知識都弄明白了，書中的例題也讀懂了，但一做書中的練習題，卻還是不會．為此，我曾非常苦惱，卻又萬思不得其解．後來上了大學，更是對課堂中老師那些“神來之筆”驚嘆不已，嚴密的邏輯推理常常令我折服．但我未能理解的是，為什麼會想到這麼做呢？20世紀中葉，美國數學教育家G．Polya的數學名著《怎樣解題》風靡全球，該書使我受益匪淺．這並不是說，我從書中學到了“怎樣解題”，而是它引發了我對數學思維方法的思考．實際上，數學解題是一項系統工程，有許許多多的因素影響著它的成敗．本質的因素有知識、方法（指狹義的方法，即解決問題所使用的具體方法）、能力（指基本能力，即計算能力、推理能力、抽象能力、概括能力等）、經驗等，由此構成解題基礎；非本質的因素有興趣、愛好、態度、習慣、情緒、意志、體質等，由此構成解題的主觀狀態；此外，還受時空、環境、工具的約束，這些構成了解題的客觀條件．但是，具有扎實的解題基礎，且有較好的客觀條件，主觀上也做了相應的努力，解題也不一定能獲得成功．這是因為，數學中真正標準的、可以程序化的問題（像解一元二次方程）是很少的.解題中，要想把問題中的條件與結論溝通起來，光有雄厚的知識、靈活的方法和成功的解題經驗是不夠的．為了判斷利用什麼知識，選用什麼方法，就必須對問題進行解剖、識別，對各種信息進行篩選、加工和組裝，以創造利用知識、方法和經驗的條件．這種復雜的、創造性的分析過程就是數學思維過程．這一過程能否順利進行，取決於思維方法是否正確．因此，正確的思維方法亦是影響解題成敗的重要因素之一．經驗不止一次地告訴我們：知識不足還可以補充，方法不夠也可以積累，但若不善思考，即使再有知識和方法，不懂得如何運用它們解決問題，也是枉然．與此相反，掌握了正確的思維方法，知識就不再是孤立的，方法也不再是呆板的，它們都建立了有血有肉的聯系，組成了生機勃勃的知識方法體系，數學思維活動也就充滿了活力，得到了更完美的發揮與體現．G．Polya曾指出，解題的價值不是答案本身，而在於弄清“是怎樣想到這個解法的”，“是什麼促使你這樣想、這樣做的”．這實際上都屬於數學思維方法的範疇．所謂數學思維方法，就是在基本數學觀念系統作用下進行思維活動的心理過程．簡單地說，數學思維方法就是找出已有的數學知識和新遇的數學問題之間聯系的一種分析、探索方法．在一般情況下，問題與知識的聯系並非是顯然的，即使有時能在問題中看到某些知識的“影子”，但畢竟不是知識的原形，或是披上了“外衣”，或是減少了條件，或是改變了結構，從而沒有現成的知識、方法可用，這就是我在學生時代“為什麼知識都明白了，例題也看懂了，還是不會做習題”的原因．為了利用有關的知識和方法解題，就必須創造一定的“條件”，這種創造條件的認識、探索過程，就是數學思維方法作用的過程．
ⅲ
ⅳ但是，在當前數學解題教學中，由於“高考”指揮棒的影響，教師往往只注重學生對知識方法掌握的熟練程度，不少教師片面地強調基本知識和解決問題的具體方法的重要性，忽視思維方法方面的訓練，造成學生解決一般問題的困難．為了克服這一困難，各種各樣的、非本質的、龐雜零亂的具體解題技巧統統被視為規律，成為教師諄諄告誡的教學重點，學生解題也就試圖通過記憶、模仿來補償思維能力的不足，利用胡猜亂碰代替有根據、有目的的探索．這不僅不能提高學生的解題能力，而且對於系統數學知識的學習，對於數學思維結構的健康發展都是不利的．數學思維方法通常又表現為一種解題的思維模式．例如，G．Polya就在《怎樣解題》中列出了一張著名的解題表．容許我們大膽斷言，任何一種解題模式均不可能囊括人們在解題過程中表現出來的各種思維特征，諸如觀察、識別、猜想、嘗試、回憶、比較、直覺、頓悟、聯想、類比、歸納、演繹、想象、反例、一般化、特殊化等．這些思維特征充滿解題過程中的各個環節，要想用一個模式來概括，那就像用數以千計的思維元件來構造一個復雜而龐大的解題機器．這在理論上也許是可行的，但在實際應用中卻很不方便，難以被人們接受．更何況數學問題形形色色，任何一個模式都未必能適用所有的數學問題．因此，究竟如何解題，其核心內容還是學會如何思考．有鑒於此，筆者想到寫這樣一套關於數學思維方法的叢書．本叢書也不可能窮盡所有的數學思維方法，只是選用一些典型的思維方法為代表做些介紹．這些方法，或是作者原創發現，或是作者從一個全新的角度對其進行了較為深入的分析與闡述．囿於水平，書中觀點可能片面武斷，錯誤難免，敬請讀者不吝指正．
馮躍峰
2015年1月

序（ⅰ）
1符號化(001)
1.1數學語言刻畫(001)
1.2引入記號(011)
1.3編號(025)
習題1(037)
習題1解答(041)
ⅴ
ⅵ2疊合(060)
2.1倒序疊合(060)
2.2輪換疊合(076)
習題2(095)
習題2解答(097)
3搭配(108)
3.1順序搭配(108)
3.2錯位搭配(114)
3.3同構搭配(120)
3.4功能搭配(125)
3.5奉陪搭配(130)
3.6勝負局搭配(147)
習題3(176)
習題3解答(181)
4捆綁(205)
4.1同類元素捆綁(205)
4.2相鄰元素捆綁(213)
4.3操作捆綁(220)
習題4(235)
習題4解答(238)
5更新觀點(252)
5.1方程觀點(252)
5.2模觀點(264)
5.3函數觀點(277)
習題5(300)
習題5解答(303)