數值分析（簡體書）

“數值分析”也叫“計算方法”，主要研究使用計算機解決數學問題的數值計算方法和理論。本書主要內容包括非線性方程（組）求根、解線性方程組的直接法和迭代法、曲線擬合和函數插值、數值微積分、常微分方程的數值解法、矩陣的特徵值問題等。考慮到工科院校該課程教學的目的是滿足工程和科研應用需要，因此本書更注重介紹工程應用的方法，弱化數學理論的推導證明，並且各章大多配有應用案例、上機實驗和習題。本書提供配套電子課件，登錄華信教育資源網註冊後可以免費下載。 本書適合作為普通工科院校少學時本科生和研究生教材或教輔使用。

陳欣教授一直從事數學教學工作，多年來一直在校專用數控機床開發中心暨遼寧省複雜曲面製造技術重點實驗室進行科學研究工作。發表學術論文20多篇，參編著作2 部。

前言
“數值分析”也叫“計算方法”，是大學理工類各專業普遍開設的一門課程，其主要研究使用計算機解決數學問題的數值計算方法和理論。數值計算是當今科學研究的基本手段之一，它是計算數學、計算機科學與其他工程學科結合的產物。隨著工程技術突飛猛進的發展，大量複雜計算問題也隨之產生，使得數值計算顯得尤為重要，這也推動了數值計算的發展。
在多年的教學中，我們也曾採用過一些經典的數值分析教材，取得過一定的教學效果，但這類教材更關注理論與系統的完整性，自然無法全面考慮學生層次不同、學時數減少及工科教學目的改變等因素，畢竟普通工科院校在我國高校中占大多數。本書的寫作目的是為普通工科高等院校提供一本易於理解的、有一定工程應用背景的，並且用實際問題引導的教材。
本書的主要內容與其他“數值分析”教材基本一致，包括數值代數、數值逼近和微分方程數值解法的主要內容。在內容編寫上，具有以下特點：在介紹數學理論時，力求簡明扼要，在不失嚴謹性的前提下，弱化一些數學理論和繁複的推導，省略部分定理的證明；在介紹數值方法時，儘量採用形象且通俗易懂的語言，借助圖、表對算法、現象進行描述和分析，強調算法的實際應用和分析比較。
本書在章節安排上，考慮了近幾年普通工科院校本課程教學學時數減少的現狀，並結合了知識的相關性。本書主要內容包括：第1章為緒論，第2～4章介紹了非線性方程（組）的數值解法和線性方程組的數值解法，第5、6章介紹了曲線擬合與函數插值和數值微積分，第7章介紹了常微分方程的數值解法，第8章介紹了矩陣的特徵值問題。對學時較少的院校，這樣的安排有利於教學內容的連貫性，方便編制教學計劃。
考慮到工科院校“數值分析”課程教學的目的是滿足工程和科研應用的需要，因此本書更注重介紹工程應用的方法，並且各章大多配有應用案例，指導學生對實際問題進行建模，並使用數值分析方法進行求解。此外，各章大多還附有上機實驗和習題，以提高學生的實踐能力。
本書適合作為普通工科院校少學時本科生和研究生教材或教輔使用，並提供配套電子課件，登錄華信教育資源網註冊後可以免費下載。
本書由瀋陽工業大學和瀋陽理工大學聯合編寫，幾位作者都具有多年教學經驗，且從未間斷本科、研究生課程的數值分析教學工作，無論是對教學內容、體系、方法和安排，還是對工程教育的發展方向，以及工科學生的實際情況，均有著深刻的理解，這使得本書的寫作更具有針對性。我們期望通過本書使數值分析內容更容易理解、學習和掌握，以促進課堂教學質量的提高。
本書的出版得到了瀋陽工業大學和諸多老師的支持與幫助，在此深表感謝！
限於編者水平有限，教材中仍會存在不妥與錯誤之處，歡迎廣大讀者批評指正。


作者　
2018年6月

第1章 緒論 1
1.1 引言 1
1.2 誤差 2
1.2.1 誤差來源與分類 2
1.2.2 絕對誤差、相對誤差與有效
數字 3
1.3 數值算法設計原則 6
習題1 9
第2章 非線性方程與方程組的數值
解法 11
2.1 引言 11
2.2 二分法 12
2.3 簡單迭代法 14
2.3.1 簡單迭代法的構造原理 14
2.3.2 迭代法的收斂性 16
2.3.3 局部收斂性與收斂階 18
2.3.4 迭代法的加速技巧 20
2.4 牛頓法及其變形方法 22
2.4.1 牛頓法 22
2.4.2 牛頓法的變形 25
2.5 多項式方程求根法 30
2.6 非線性方程組的數值解法 31
2.7 應用案例：球體進水深度問題 33
習題2 33
上機實驗 35
第3章 解線性方程組的直接法 36
3.1 引言 36
3.2 高斯消去法 37
3.2.1 高斯消去法的基本思想 37
3.2.2 n元線性方程組的高斯消去法 38
3.3 列主元高斯消去法 42
3.4 直接三角分解法及列主元三角
分解法 43
3.4.1 直接三角分解法 43
3.4.2 列主元三角分解法 47
3.5 特殊矩陣的三角分解法 49
3.5.1 對稱矩陣的三角分解法 49
3.5.2 對稱正定矩陣的三角分解法 50
3.5.3 三對角方程組的追趕法 52
3.6 應用案例：食物營養配餐問題 54
習題3 56
上機實驗 57
第4章 解線性方程組的迭代法 58
4.1 預備知識 58
4.1.1 向量的數量積及其性質 58
4.1.2 向量范數和向量序列的極限 59
4.1.3 矩陣範數和矩陣序列的極限 60
4.1.4 方程組的性態與矩陣的條件數 62
4.2 簡單迭代法 64
4.2.1 簡單迭代法的基本構造 64
4.2.2 迭代法的收斂性 64
4.2.3 迭代法收斂的誤差估計 66
4.3 雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法 66
4.3.1 雅可比迭代法 67
4.3.2 高斯-賽德爾迭代法 69
4.3.3 雅可比迭代法和高斯-賽德爾
迭代法的收斂性 72
4.4 超鬆弛迭代法 74
4.5 共軛梯度法 76
4.5.1 等價的極值問題 77
4.5.2 最速下降法 78
4.5.3 共軛梯度法 79
4.6 應用案例：迭代法在求解偏微分
方程中的應用 82
習題4 84
上機實驗 86
第5章 曲線擬合與函數插值 88
5.1 曲線擬合的最小二乘法 88
5.1.1 最小二乘問題 88
5.1.2 最小二乘擬合多項式 90
5.2　插值問題的提出 94
5.3 拉格朗日插值 96
5.3.1 線性插值與二次插值 96
5.3.2 拉格朗日插值多項式 97
5.3.3 插值余項 99
5.4 差商與牛頓插值 102
5.4.1 差商的定義與性質 102
5.4.2 牛頓插值公式 103
5.5 差分與等距節點插值 105
5.5.1 差分的定義與性質 105
5.5.2 等距節點插值公式 106
5.6 埃爾米特插值 108
5.7 分段低次多項式插值 111
5.7.1 高次多項式插值的龍格現象 111
5.7.2 分段線性插值 112
5.7.3 分段三次埃爾米特插值 112
5.8 三次樣條插值 113
5.8.1 三次樣條函數 113
5.8.2 三次樣條插值函數的計算 114
5.9 應用案例：應用三次樣條函數實現
曲線擬合 117
習題5 119
上機實驗 121
第6章 數值微積分 123
6.1　數值積分的基本概念 123
6.1.1　求積公式與代數精度 123
6.1.2　插值型求積公式 124
6.2　牛頓-柯特斯公式 125
6.2.1　牛頓-柯特斯係數及常用求
積公式 125
6.2.2　誤差估計 128
6.2.3　收斂性與穩定性 129
6.2.4　複化求積公式 130
6.3　龍貝格算法 132
6.3.1　變步長梯形求積算法 132
6.3.2　理查森外推算法 134
6.3.3　龍貝格算法 135
6.4　高斯型求積公式 137
6.4.1　求積公式的最高代數精度 137
6.4.2　正交多項式 138
6.4.3　高斯型求積公式的一般理論 140
6.4.4　高斯-勒讓德求積公式 141
6.5　數值微分 143
6.5.1　中點方法 143
6.5.2　插值型求導公式 145
6.6 應用案例：衛星軌道長度計算問題 146
習題6 148
上機實驗 150
第7章 常微分方程的數值解法 151
7.1 引言 151
7.2 簡單數值計算方法 152
7.2.1 歐拉法 152
7.2.2 隱式歐拉法 153
7.2.3 梯形法 154
7.2.4 改進歐拉法 155
7.3 龍格-庫塔方法 156
7.3.1 泰勒展開公式 156
7.3.2 龍格-庫塔方法的基本思想 158
7.3.3 二階龍格-庫塔公式 159
7.3.4 三階龍格-庫塔公式 160
7.3.5 四階龍格-庫塔公式 161
7.4 線性多步法 162
7.4.1 線性多步法的一般公式 162
7.4.2 阿當姆斯顯式與隱式公式 163
7.4.3 阿當姆斯預測-校正公式 166
7.5 一階方程組與高階方程 167
7.5.1 一階方程組 167
7.5.2 化高階方程為一階方程組 168
7.6 應用案例：閉電路中電流的計算
問題 170
習題7 172
上機實驗 173
第8章 矩陣的特徵值問題 174
8.1 冪法和反冪法 174
8.1.1 冪法 174
8.1.2 冪法的加速技巧 178
8.1.3 反冪法 180
8.2 對稱矩陣的雅可比方法 182
8.2.1 平面旋轉矩陣 182
8.2.2 雅可比方法 184
8.3 QR方法 186
8.3.1 正交變換 186
8.3.2 矩陣的QR分解 188
8.3.3 QR算法 191
8.4 求實對稱三對角陣特徵值的二分法 192
8.4.1 特徵多項式序列及其性質 192
8.4.2 求特徵值的二分法 193
8.5 應用案例：互聯網頁面等級計算
問題 195
習題8 197
上機實驗 198
參考文獻 199