我在小學教數學：素養導向的數學教學藝術（簡體書）

如何落實數學學科核心素養的培育？小學數學特級教師牛獻禮基於自己多年的教學實踐與教育反思，從“學為中心，點亮常態課堂”“素養導向，引發深度學習”“一題一課，放大教育價值”“創意教學，讓學習更有趣”等四個維度，揭示了落實數學核心素養培育的有效策略與教學藝術。本書是他在教學實踐中用心“做”出來的，既有方法引領，又有案例示範與剖析，對於廣大一線數學教師提升教育教學水平頗有借鑒價值。

牛獻禮，北京市特級教師，河南省特級教師，北京市經濟技術開發區新創工程“亦麒麟”人才。曾獲河南省小學數學第四屆評優課一等獎第一名、全國小學數學第四屆評優課一等獎，應邀在中國教育學會小學數學專業委員會成立30周年暨第15屆年會上執教觀摩課，赴全國二十多個省、市、自治區執教觀摩課或作專題講座數百場，執教的多節錄像課由中國教育電視臺、中央電教館等單位面向全國播放、發行。在省級以上教育刊物上發表教學論文、案例等近200篇，出版個人專著《讓學習真正發生――我這樣教小學數學》，被《小學數學教師》、《小學教學》(數學版)、《小學教學研究》等雜誌遴選為封面人物，主持研究的3項教科研成果獲省級優秀成果一、二等獎。

小學數學特級教師牛獻禮新力作。
素養導向，著眼於常態課堂，給予一線數學教師實實在在的教學指導。
重視課程創新與深度教學，揭示了落實數學核心素養培育的有效策略與教學藝術。
基於作者多年的教學實踐，是作者用心“做”出來的一本教學必備參考書。
既有教學藝術的引領，又有典型案例示範，便於學習借鑒，可現學現用。

推薦篇目:
代序 以課程視野重建課堂
002 回歸“兩個吃透”的常識
064 素養導向的深度學習
124 由一道題拓展成一堂課

代序

以課程視野重建課堂

毋庸諱言，在課程改革深入推進的當下，眾多一線教師不乏強烈的教學意識，但課程意識卻仍然較為淡薄。所謂課程意識，指的是對課程的敏感與自覺程度。教學意識關注的重點是實現教學目標，認為實現了教學目標的教學就是有效教學；而課程意識關注的重點是前提性問題――教學目標合理嗎？如果教學目標本身不合理，即使實現了教學目標也不能稱作有效教學，而可能是低效或無效教學，有時甚至是負效教學！教學意識往往關注直接的教學效果，特別是考試成績；課程意識也關注考試成績，但它有一根底線，就是考試成績的獲得不能以犧牲學生的身心健康和全面發展為代價。總之，教學意識更多關注教學的效率問題，而課程意識更多關注教學的價值問題。
承擔“立德樹人”重任的一線教師儘管處於整個課程邏輯鏈條的最末端，但仍須具備課程視野，回到課程的邏輯起點去反思幾個基本性問題：一是“為什麼學”，即數學教育對人的發展的獨特貢獻是什麼？數學教育應當堅持怎樣的價值取向？二是“學什麼”，即什麼樣的課程內容更能體現數學的教育價值，更能滿足學生的發展需求？三是“如何學”，即怎樣的教學才能讓學生的深度學習真正發生，如何讓學生的核心素養得以形成和發展？筆者結合自身實踐與思考嘗試作出如下回答，以求教于方家。
一、為什麼學？
數學代表著理性。自然界的基本規律可以用數學來刻畫，因此，學習數學的過程就是一個學習如何看待這個世界，理解這個世界，更好地感悟這個世界的過程。正如史甯中教授所指出的：“數學教育的終極目標是，一個人學習數學之後，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。”
數學講究嚴格，一個數字錯了，一個符號錯了，一個小數點錯了，這道題就錯了。學生“獲得良好的數學教育”，就自然會養成一種踏實認真、一絲不苟的精神。數學強調邏輯思維，強調“化繁為簡”“統籌優化”……這些在數學學習中學會的思想方法和思維方式，能使學生在社會上處理各種事情時，善於抓住主要問題和關鍵，有條不紊地處理與解決有關的工作任務。學數學還有一個好處：遇到做不出來的問題，一定要想法做出來為止，而且要求做得盡善盡美，這也就無形中培養了攻堅克難的精神，養成了精益求精的習慣。可見，數學對培養學生的核心素養無疑是有巨大貢獻的。這就是數學課程的價值所在，也是為什麼從小學一年級起人人都要學數學、都要獲得良好數學教育的主要原因。
但是，反觀當下的數學教育，一些仍然相當普遍的現象值得我們深思與追問：教師在課堂教學中只講知識，不講精神；只講技巧，不講思想……如此施教，學生學到數學的精髓了嗎？能對數學有真正的領悟嗎？比如，學生能夠背誦出“兩個數相除又叫作兩個數的比”就理解“比”的意義了嗎？能夠說出（甚至背誦出）“像100+2x=250，3x=2.4……這樣，含有未知數的等式就是方程”就算認識了方程？能夠“套用歸納出的關係式、分類解決幾種類型的植樹問題”就實現了“植樹問題”的教學價值？……這是素養導向下的數學教學嗎？
如果我們培養的學生只會快速、準確地解答數學題，而從未體驗過真正的“生活化”與“數學化”的過程，不知數學題目中所包含的思想方法和人文精神，只會機械地套用老師教給的固定方法，而不能領悟數學的思維方式，喪失了學習的主動性和思維的靈性，只會大量、重複性地“刷題”以提高數學成績，而不能體會到數學課程的魅力與價值，體驗不到數學學習的樂趣，那麼數學又怎能給他們以思維與生命的潤澤？
數學的教育價值不能僅停留在數學知識與技能上，不能只是單純地讓學生記住一些概念，掌握一些解題的技巧，還要“發揮數學教育在培養人的理性思維與創新能力方面的不可替代的作用”。教師需要不斷追問和落實學習內容的教育價值，思考每節課、每個教學活動的教育價值，為理解而教，為促進思維發展而教，為核心素養的形成和發展而教。在課堂教學中，要讓學生體會數學概念產生的必要性，引導他們去重曆或者模擬數學知識的發生、發展過程，使學生逐漸學會思維，不斷提升思維品質，在知識積累的同時親身體驗到探索、創新的快樂，並從前人研究問題的背景以及相應的方法中得到啟發，感受到數學豐富而巧妙的方法、簡潔而深邃的思想以及數學家嚴謹而科學的精神，領略到數學文明發展進程中豁然開朗的頓悟以及數學本身的文化內涵。
比如，筆者依託教材內容開發了“一題一課”課程，通過對一道題或一個材料的深入研究，挖掘其內在的學習資源與線索，進行適度的拓展延伸，並科學、有序地組織學生進行相關的數學探究活動，從而將這一道題（或一個材料）拓展成一節課，“小題大做”，讓其承載更多的教育價值。舉例來說，筆者將北師大版小學數學教材四年級上冊“角的度量”單元中的一道習題（利用一副三角尺你能畫出哪些不同度數的角），開發成了一節“探秘三角板”的數學活動課。全課以“利用一副三角尺你能畫出哪些不同度數的角”這一啟發性問題為引領，引導學生自主探究畫角、合作交流匯總，教師在關鍵處點撥――“把這些角從小到大排成一行，你有什麼發現”，引導學生發現角度之間的規律――每個角度都是15的倍數、相鄰兩個角的度數總是相差15°，但有一個例外――150°和180°之間卻相差30°。教師進一步引導――“看到這樣的結果，你有什麼想說的嗎”，啟發學生提出“可能我們漏掉了一個165°的角”的猜想。接著，驗證猜想之後再引導學生回顧165°角的發現過程，歸納出“推理―猜想―驗證”的思維方法，讓學生增長了智慧。然後，又把學生的視野從數學課堂引向廣袤的課外世界，“海王星的發現”和“數學史上的著名猜想”的介紹讓學生看到上述數學思維方式在人類文明史上的應用價值，感受到數學思考的力量，讓學生長了見識！
二、學什麼？
當下，課程創新方興未艾，數學繪本、數學魔術、數學步道、數學實驗、數學遊戲等各種課程內容形態不斷湧現。筆者認為，上述“跨界”的創新內容只是數學課程的有益補充，更一般且有效的創新課程應當源自教材內的基礎內容。數學的魅力在於“冰冷的外表”下蘊藏著“火熱的思考”，體現在它的神奇和美妙上，人們從中能夠得到智與美的滿足。同時，核心素養的培育須依靠學生經由日常的課程教學長期習得，逐漸積澱，日積月累而成，因此，數學基礎內容的課堂教學應當是核心素養培育的主渠道，深入挖掘基礎內容的教育價值，“點亮”常態課堂更具現實意義。畢竟，日常的教學時間是有限的，把“時髦”的“跨界”內容過多地引入課堂，必然會把原來一些應該好好學習的偏基礎的數學內容給淡化甚至給擠掉了，必然會影響學生對數學內容的理解、掌握和熱愛，這是不合算的。
教材是教師教學最重要的文本和依據，教師對教材的解讀直接影響自己的教學行為，進一步影響學生的學習，並最終決定了學生在課堂上“實際體驗到的課程”（古德萊德語）。因此，研究“學什麼”首要的就是研讀教材，弄清楚學科知識本身的結構體系，把握數學本質、融入數學思想、突出數學思考，讓數學課堂煥發出應有的魅力，讓學生感受數學的神奇和美妙，讓學生體驗數學思考的樂趣。比如，設計“冰雹猜想”的自主閱讀單，讓學生在富有啟發性的問題驅動下進行整數加法練習；提出“你能用‘可能性’的知識來評價一下‘守株待兔’裡的人和事兒嗎”的問題，讓學生體會數學知識在生活中的應用；設計“1億張紙有多厚”的活動，讓學生以小推大、以局部推算整體，直觀感受“1億有多大”；設置“用一副三角板能畫出哪些不同度數的角”的探究性任務，組織學生尋找角度中的規律，並以此作出有價值的推測；讓學生調查2016年和2017年北京空氣質量數據，再用統計表和統計圖整理數據，並對數據進行對比分析，以現實性任務驅動學生進行實踐性學習……凡此種種，課程內容還是以前的內容，只是載體換了模樣，不同的載體所彰顯出的數學課程魅力也大相徑庭。
另外，對於當前大熱的“課程整合”也須冷靜看待，擇善而從。課程整合絕非一件易事，不能只是形式上的簡單組合，更不能隨意“去學科化”或“泛學科化”。一方面，各門課程都有其獨特的育人功能，任何課程整合都要以各學科內在教育價值的開發為前提；各門課程內容都有其自身的發生、發展邏輯，課程整合需要立足課程目標，基於學科特點，向學生展現學科本身的魅力，將核心素養的培養這一總體性教育目標很好地落實於學科課程之中。另一方面，也不能畫地為牢，搞“學科主義”，以“學科價值”遮蔽“育人價值”，而應當以整體性教育目標為指導積極地進行學科融合。“著力點是打破那些已經固定的不同學科之間界線分明的邊界，穿越那些近乎僵化的學科與知識界限，使課程內容更加豐富多彩。”（謝維和語）為此，教師要結合實際，因地制宜，創造更能滿足學生發展需求的多元的課程內容、多樣化的課堂形態和教學方式，真正實現“為素養而教，用學科育人”。
當我們視野打開，會發現有很多的路徑，但我們始終要提醒自己：不能因為走得太遠，而忘記為什麼而出發。
三、怎麼學？
研究與實踐均表明，學生核心素養的形成和發展，在本質上，不是靠教師“教”出來的，而是靠學生“悟”出來的，“是學生通過自己的獨立思考，以及和他人的討論與反思，日積月累，逐漸養成的一種思維習慣”（史寧中語）。不能單純依賴記憶與模仿，而是需要依賴學生深度參與其中，在解決一系列問題的過程中形成理解與感悟。
為此，我們的數學課程與教學探索，應當遵循如下價值邏輯：
1. 轉變課堂結構，以學定教，先學後教
所謂“以學定教”，就是依據學情確定教學的起點、方法和策略。這裡的學情包括學生的知識、能力基礎，學生的身心特徵和內在需要等學習主體的基本情況。而“定教”，就是確定教學的起點不能過低或過高，在恰當的起點上選擇最優的教學方法，圍繞著學生的學習展開教學。
所謂“先學後教”，就是充分信任學生，鼓勵學生大膽嘗試、自主探索，讓自學、質疑、爭辯、補充、修正等充盈其間，教師在關鍵處點撥、引導，在指導學法、深化思維、提升學習力上下功夫。
例如，教學“長方形的面積”，教師給學生提供長4cm、寬2cm，長5cm、寬3cm，長8cm、寬6cm，長30cm、寬20cm的四個長方形，引導學生借助手中的8個邊長1cm的小正方形去探索長方形的面積公式。教師循序漸進地引導學生經歷了如下的探究過程：第一個長方形，直接擺就可以得到面積，體會面積的本質是若干個面積單位之和。面積單位是小正方形，長方形的大小就是看它包含多少個小正方形。第二個長方形，如果擺滿的話，手中的小正方形不夠，這是一次思維的跳躍，學生需要想到只沿著長方形的長和寬擺，這就實現了從形象到抽象的提升，部分學生可能還會依賴具體的操作，但一些學生可能會利用表像進行思考了。最後呈現的兩個長方形，用小正方形擺太麻煩了，促使學生在抽象層面進行思考，長是多少就是一行擺多少個，寬是多少就是擺這樣的幾行，從而經歷推理的過程，“創造”出長方形面積的計算公式。上述“具體操作―表像操作―抽象概括”的數學化的探究過程，引導學生逐步深刻地理解了長方形面積公式的本質意義，發展了學生的數學思維，增強了空間觀念。
“以學定教，先學後教”的關鍵在於能夠把握知識本質並準確為學生的學情“把脈”，正本清源，刪繁就簡，實施真正促進學生素養發展的針對性教學。
2.重建教學關係，學為中心，相機誘導
有效的教學活動是學生學與教師教的統一。一方面，上課是以實現每一個學生的“學習”為目的的，核心素養培養的過程也側重學生的自主探究和自我體驗，更多地依靠學生自身在實踐中的摸索、積累和體悟。因此，教師要從“以教師講授為主”轉向“以學生學習活動為主”來組織教學，為學生提供充分的“悟”的時間與空間。另一方面，學生高質量的學習也離不開教師的組織、引導與點撥，尤其是數學教學有其特殊性――學生在數學上的發展主要依賴於後天的學習，並表現為教師指導下的不斷“優化”，有些東西光靠學生“自悟”，達不到應有的高度。教師只有通過與學生的互動對話、點撥引導，才能真正促進學生思維（包括方法等）的優化。
教學中，應注重創設合適的教學情境，提出合適的問題，啟發學生獨立思考或與他人進行有價值的討論，整堂課的核心問題要少而精，提的問題不能太小，教學環節不能太細。教師不能代替學生探究，代替學生分析，要提供充分的時間讓學生去獨立探究與分析。教師少說話，學生多活動，讓學生經歷知識創建過程中的思考與發現，體驗知識形成過程中的曲折與智慧，在探索與體驗中形成對知識的理解與感悟，進而形成和發展數學核心素養。
比如，學習“複式統計表”。課始，筆者創設了“統計全班同學的家裡分別有幾個小孩”的教學情境。現場調查，整理成如下兩個統計表：
怎樣讓學生經歷複式統計表的產生過程，從而對統計表的價值有更深刻的體驗呢？上述教學中，從兩張單式統計表入手，創設問題情境――“如果想瞭解全班同學家裡分別有幾個小孩，又該怎樣整理數據呢”，激發學生的認知興趣和探索願望。接著，放手讓學生自主嘗試製作複式統計表，並把之後的交流重點放在新知――“表頭”的表示方式上。最終，在師生的深度對話過程中，學生的思維不斷得以優化，複式統計表也不斷得以修訂、完善。整節課，學生始終處於積極參與的狀態之中，數學思維逐漸深入，創新火花不斷迸發。
3. 改變教學意義，素養導向，數學育人
不管是教什麼學科的老師，歸根結底都是教學生的！要堅持素養導向，根據學習目標和學生實際，選擇一條讓學生經歷更多事物、看到更多風景、獲得更多發展的路，從而由學科教學走向學科教育。
教學不應停留於孤立的“知識點”的學習，要讓學生清楚數學知識的來龍去脈：是從哪兒來的？又可以到哪兒去？很多知識後面都隱含著豐富的文化因素，有很多故事。結合這些生動的故事來講數學，學生對數學的感覺就會不一樣。要引導學生知道，生活和工作中有這麼多問題都需要用數學來解決，數學很有用，從而讓學生真正走進數學、瞭解數學、領悟數學，激發學生學習數學的持續的積極性。
教學不應停留於單純知識（包括數學基礎知識和基本技能）的學習，而應多關注知識內涵的掌握及知識的實踐應用，由知識向思維過渡，由具體知識引向背後的數學思想和方法，幫助學生逐步學會思維，不斷提升學生的思維品質，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”，讓知識成為素養，變成智慧。
不應停留于單一的課堂形態和學習方式，一成不變只會生出無趣來，而應將直接教學與合作、探究式學習相結合，通過多樣化的課堂形態和豐富、靈活的學習方式來展現學習本身的魅力，比如問題引領下的探索性學習、自學基礎上的分享式學習、基於主題研究的實踐性學習等等。數學課應該總是因為“不同”而讓學生心生期待。

001 代序 以課程視野重建課堂



第一章 學為中心，點亮常態課堂



002 引 言 回歸“兩個吃透”的常識

009 案例1 教不越位，學要到位

――“小數的初步認識”教學案例與思考

018 案例2 精確分化，突破難點

――“乘法分配律”教學案例與思考

024 案例3 為遷移而教

――“三位數乘兩位數”教學案例與反思

032 案例4 選擇更合適的“腳手架”

――“小數乘整數”教學案例與反思

038 案例5 把握本質，深入淺出

――“認識釐米”教學案例與思考

043 案例6 從“疑惑處”展開教學

――“真分數與假分數”教學案例與反思

048 案例7 任務驅動，變教為學

――“正比例”教學案例與反思

056 案例8 分析概念結構，促進有效建構

――“認識周長”教學案例與反思



第二章 素養導向，引發深度學習



064 引 言 素養導向下的深度學習

073 案例1 讓素養在知識建構中生長

――“路程、時間與速度”教學案例與思考

078 案例2 在活動中突出數學思考

――“公倍數和最小公倍數”教學案例與思考

082 案例3 正本清源，回歸本質

――“比的認識”教學案例與思考

089 案例4 在問題解決中感悟模型

――“工程問題”教學案例與反思

094 案例5 比“公式”更重要的是什麼？

――“長方體的體積”教學案例與反思

103 案例6 從研究學生入手

――“體積與容積”教學案例與反思

108 案例7 “理”不在說，而在於悟

――“折線統計圖”教學實踐與反思

115 案例8 圍繞重點做文章

――“打電話”教學案例與思考



第三章 一題一課，放大教育價值



124 引 言 由一道題拓展成一堂課

128 案例1 月曆表中的奧秘

――“製作月曆表”的拓展教學與思考

136 案例2 探秘三角板

――“用一副三角尺畫角”的拓展教學與思考

141 案例3 學會“聰明地算”

――“兩位數乘11”的拓展教學與思考

147 案例4 有趣的“對稱算式”

――“兩位數乘兩位數的練習”的拓展教學與思考

151 案例5 以疑促思，以思蘊學

――“長方形周長與面積的關係”教學案例與思考

157 案例6 潤“數”有形，踏“學”無痕

――“和的奇偶性”的拓展教學與思考

165 案例7 溝通聯繫，突出思想

―― “雞兔同籠”教學案例與思考

173 案例8 課內導學，課外研學

――“正方體的展開圖”教學案例與思考



第四章 創意教學，讓學習更有趣

數學閱讀課

182 引 言 數學閱讀，讓數學課程更有魅力

191 案例1 “神奇的'數字黑洞'”閱讀單

193 案例2 “阿基米德巧破皇冠案”閱讀單

數學實驗

195 引 言 讓學生在“做”中學數學

201 案例1 體驗“1億究竟有多大”

207 案例2 越“實驗”，越困惑

――“可能性的大小”教學實踐與思考

創意作業

213 引 言 研究作業，成就專業

216 案例1 實踐性作業

218 案例2 探究性作業

223 案例3 數學周記



227 後 記 品味成長

――我專業成長中的幾個關鍵詞

案例3 為遷移而教
――“三位數乘兩位數”教學案例與反思

許多老師認為，三位數乘兩位數沒有什麼可講的，學生都會；即使有不會的學生，只要告之計算法則，學生也能“照貓畫虎”地計算。老師的想法與學生的實際情況相符嗎？學生的真實學習需求又是什麼？不妨作個學情調研。
課前調研發現，筆者任教的班級中有將近15%的學生並不能正確計算“三位數乘兩位數”，問題（或者說“學生的需求”）集中在“百位上的數是否計算”。隨後在計算正確的學生中，隨機選擇幾人進行訪談，他們大多知道算法，但是並不明白這樣計算的道理，說明這類學生也有學習的需求。綜上所述，透徹地理解“三位數乘兩位數”的算理是學生共同的學習需求。
那麼，應該怎樣幫助學生理解算理呢？在計算教學中，經常選用操作、圖示等直觀方式，但直觀方式並不是唯一選擇。計算教學往往從簡單到複雜螺旋上升，最基礎的計算原理和方法支持著這樣的發展和提高。學生的計算能力，一方面表現在掌握了算法，能正確地進行有關計算；另一方面表現為能運用已有的計算知識與經驗，探索並解決數目更大、過程更複雜的計算問題。三位數乘兩位數的豎式計算與兩位數乘兩位數的豎式計算的算理與算法是相同的，讓學生運用已有數學知識和經驗去自主探索，利用先前獲得的認知結構對後繼學習施以積極影響，使新知通過遷移而同化於原有的認知結構，並使原有的認知結構得以不斷擴展和壯大，不僅有利於整體把握筆算乘法的內涵，溝通新知與舊知的聯繫，也有利於學生學會自主學習，提升學習力。
那麼，如何實現“為遷移而教”呢？筆者作了如下嘗試。
教學片段一
師：今天我們一起研究“三位數乘兩位數”（板書課題），在研究新問題之前，先來回憶一下我們學習過哪些筆算乘法。
生：三位數乘一位數、兩位數乘兩位數。
師：我們先來複習，請大家獨立計算114×2和14×23。
（學生獨立計算，全班反饋、交流。）
師：說一說14×23是怎麼算的。
生：個位上的3乘14等於第一層積42，十位上的2乘14等於第二層積28，兩層積加起來是322。
出示：
師：三位數乘一位數的計算方法，其實就依據了兩位數乘兩位數法則中的哪一句？
生：個位上的數依次去乘因數每一位上的數。
【思考】學生已經會筆算三位數乘一位數和兩位數乘兩位數，與三位數乘一位數相比，三位數乘兩位數只需要多乘一位，並把兩次的部分積相加；與兩位數乘兩位數相比，三位數乘兩位數只是其中的一個乘數從兩位數變成了三位數，豎式計算的方法完全可以從兩位數乘兩位數遷移出來。可見，新舊知識之間的聯繫是多麼緊密。學生原有的認知結構是學習遷移的最關鍵因素。為此，在學習新知識之前，引導學生複習賴以形成新知的相關舊知，搭建聯繫新舊知識的橋樑，為學生自主研究新問題、實現知識的正遷移提供了必要保障。