數學的發現趣談(四版)

如果你不知道一個定理（或公式）是怎樣發現的，那麼你對它並沒有真正的了解，因為真正的了解必須從邏輯因果掌握到創造的心理因果。一個定理的誕生，基本上跟一粒種子在適當的土壤、風雨、陽光、氣候…之下，發芽長成一棵樹，再開花結果，並沒有兩樣。雖然莎士比亞說得妙：「如果你能洞穿時間的種子，知道哪一粒會發芽，哪一粒不會，那麼請你告訴我吧！」但是，本書仍然嘗試儘可能呈現這整個的生長過程。最後，請不要忘記欣賞和品味花果的美麗！

蔡聰明
一生在臺大數學系從事數學研究與數學教育，最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。平時喜愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。雖然寫作是快樂中有辛苦，甚至是甜蜜中有痛苦，但是仍然樂此不疲。衷心的願望是：幫助年輕學子也喜愛數學，體驗數學的妙趣，並且扭轉他 (她) 們普遍對數學是面目可憎的刻板印象。

我與Zeitung（讀做「蔡通」）師弟之間，極其相得；認識他，可說是我（到此為止的）後半生的一件好運！

我們討論過很多，大學或中學裡一些數學問題的思路，當然這些都歸結到數學教育的問題。我們同處一辦公室已逾廿年，這樣子經常的討論，使得我常忘掉我正在說的意見是否源自Zeitung。

單就寫數學的教科書來說，我們也有長久的合作經驗。最早的兩部書，是（五專）《工專數學》的一到四冊，以及《普通數學教程》，現在兩者都已經絕版了。不過，我還是會偶爾聽到不甚熟悉的朋友，稱讚其中之一，那給我很大的快慰！我確信：兩者都是佳作，因為那是Zeitung的手筆。

我認為Zeitung文章寫得很好，也許不如我的朋友林正弘（臺大哲學系教授），但是比我好是不成問題的。他的長處有兩點。其一，「脾氣好」、清楚、又很親切！（這是很有趣的：其實我的脾氣比他好！但是，在寫文章時，我就不耐煩了，他卻恰好顛倒。）其二，他是「知之者」、「好之者」、「樂之者」，寫文章時，自己陶醉其中，讀者必然體會，甚或感染得到。

長久以來，我經常把找我做的工作，推他去做，我覺得有些不好意思：因為這通常是錢極少（或竟是做義工），而工作又煩。我唯一的心安理得乃是：「我知道的人當中，他最適合。」就在這樣的精神下，他在《數學傳播》與《科學月刊》都大量參與，熱心於數學的普及工作。

今天晚上我要去基隆社區大學第一次授課。幾週前，在閒聊中，我提到這件事，我說很需要適當的教材，「差不多是中學生程度的，以數學方法論為主要著眼點。」他笑著說：「現在我正想把這些年來所寫的一些小文章集結成書，也許適合老師的意思呢！」那我就趕快催三民書局吧！

我不必用力推介書中文詞的清晰流暢，深入淺出；當讀者讀完本書，你一定和我一樣地要催促下一冊，再下一冊的問世。當然我們的理由不必一樣，你是純享受，我呢，是授課時，給學生的課本或最佳參考讀物！

楊維哲

編者序
本書收集我八年多以來所寫的，刊登於《數學傳播》與《科學月刊》的一些數學通識文章，稍經增刪，適合中學生閱讀。

數學家波利亞(G. Pólya)對於數學教育所寫的許多書與文章，皆精彩絕倫，是我最喜愛研讀的。他強調：先猜測再檢驗(guess and test)以及教學要教人思考(teach to think)。再加上科學哲學家波柏(K. Popper)的否證論(falsification theory)與知識的演化論等美妙的觀點。這些都是我寫文章與教學所奉行的指導原則。何謂好的文章？有人說，首先作者必須對自己所寫的東西要有感動，然後又有熱情與技巧將這分感動傳達給讀者。這恰是我的夢想，本書雖不能至，但心嚮往之。

科學哲學家萊茵巴赫(H. Reichenbach)將科學的求知活動分成前後兩個階段：發現的過程(the context of discovery)與驗證的過程(the context of justification)。應用到數學來，數學的求知活動是由問題出發，先有探索的發現過程，然後才有邏輯證明與整理成嚴謹的知識系統，兩個階段兼備才算完美。然而，一般數學教科書、教學、或文章，往往只展示冰冷且抽象的後半段，而忽略掉最精彩且最能啟迪思想的前半段。因此，阿倍爾(Abel)批評高斯(Gauss)說，他就像一頭狡猾的狐狸，在沙漠上，一面走一面用尾巴抹掉足跡。這是造成許多學生不喜歡數學，甚至討厭數學的主因。

為了彌補這個不足，我從中學數學選取一些有趣的論題，寫成本書，但是在處理上，我特別著重在前半段的思路過程，強調數學方法論，並且注重歷史發展與人文背景，期望能夠提供給中學生另類的選擇。

數學是人類不斷地叩問自然，跟自然對話而產生出來的。數學家追求邏輯上可能的模式(pattern)，尋找數與形可能的規律，這是一種驚心動魄的觀念探險之旅(the exciting adventures of ideas)。數學家樂在其中，流連忘返。

從古到今，人類的文明經歷過三波的發展：第一波是農業革命，第二波是工業革命，以及第三波是目前正在進行的資訊革命與分子生物學革命。對於後兩波，數學扮演了很重要的角色，例如牛頓與萊布尼茲創立微積分，幫忙促動了十七世紀的科學革命，接著是十八世紀的啟蒙運動，以及十九世紀的工業革命。誠如伽利略所說的「自然之書(the Book of Nature)是用數學語言寫成的，不懂數學就讀不懂這本偉大的書」。懷海德(A. N. Whitehead)也說得好：「數學是了解模式與分析模式之間的關係最有力的技術。……如果人類的文明繼續進展，今後兩千年人類思想的新奇事物都將盡是數學理解的天下。」因此，期盼中學生都把數學學好！

未來第三波的資訊文明，需要會思考，會提問題，具有創意，敢於作出開創性的決策，並且具有地球村宏觀視野的公民。如何培育這樣的公民？在社會文化和思想上，也許必須經歷一次「新的文藝復興運動」的洗禮；在教育上，必須讓知識重新注入「創造性」的活水，而不再以大量的死知識作「填鴨式」的傳承；這樣才能達到脫胎換骨的境地，進一步開創出21世紀更燦爛的新文明。

三民書局一向都只出版大學與專科學校的數學教科書，不曾出版過如本書的數學通識文集，本書是第一次的嘗試。因此，我衷心感謝且欣賞劉振強先生的魄力，還有他的風趣！

其次，本書在寫作的過程中，接到許多讀者與朋友的鼓勵和幫忙，讓我內心溫暖。特別地，我要感謝：臺大的陳榮銳教授，彰師大的張靜嚳教授，科學月刊的主編吳松春先生與張孟媛小姐，數學傳播編輯呂素齡小姐，一女中的阮貞德與蘇麗敏兩位老師、楊謹榕同學，臺南市聖功女中的蕭健忠老師，師大附中的莫迪達同學，新竹女中的蔡卓凌、何宜軒、王雨荷三位同學，以及臺大數學營的可畏後生們，還有吾師楊維哲教授與吾兒弘霖的長期討論，三民書局編輯部的細心、高效率和頂真的精神。這些都直接或間接地促成了本書的形成。在這個世界上，沒有人是孤島！正如沒有知識是孤立的！然而，我深知本書的缺失與疏漏在所難免，尚祈讀者不吝批評指正。

最後，我要感謝吾妻陳月華，在漫長的歲月中，她所給予的容忍與支持。此中有真意，但我言有盡而意無窮，本書就獻給她。

蔡聰明