初等數學研究（簡體書）

《初等數學研究》內容全面結合中學數學課程改革的內容，借鑒最新初等數學研究方面的理論與實踐成果，力求適應新世紀高等師範院校數學教育教學改革實踐要求。《初等數學研究》分緒論和正文十章，緒論主要闡述代數學和幾何學的發展簡史，正文的內容包括數的理論、解析式與不等式、方程、函數、數列、平面幾何、立體幾何、統計與概率、平面解析幾何和球面幾何初步等。《初等數學研究》在闡述理論內容的同時，結合中學數學內容，特別是近幾年高考、各種競賽的試題等，給出具體的例子，并做詳細解答。
《初等數學研究》既可作為高等師範院校數學教育專業本、專科初等數學研究的教材，也可作為中學數學教師繼續教育以及其他各級、各類數學教育教學工作者的教學科研參考書。

劉影

1987年本科畢業于四平師範學院數學系，碩士研究生畢業于東北師範大學數學與統計學院。現為吉林師範大學數學學院教授、碩士生導師、吉林省高等師範院校數學教育研究會副理事長、全國高等師範院校數學教育研究會理事。主講的數學教學論課程自1994年至今一直是吉林省高等學校優秀課程。主持或參與完成教育部軟科學重點研究項目和省級高等教學改革項目多項。在《吉林大學學報（理學版）》、《中小學教師培訓》、《中學數學的教與學》等刊物上發表學術論文30余篇。

·全面結合中學數學課程改革的內容，借鑒最新初等數學研究方面的理論與實踐成果，力求適應新世紀高等師範院校數學教育教學改革實踐要求。
·在闡述理論內容的同時，結合中學數學內容，特別是近幾年高考、各種競賽的試題等，給出具體的例子，並做詳細解答。

緒論
第一節 代數學發展簡史
一、代數學概述
二、代數學的發展
第二節 幾何學發展簡史
一、幾何學概述
二、幾何學的發展
習題
參考文獻
第一章 數
第一節 數的形成與數系的擴充
一、數系的五次擴充
二、數系擴充的途徑
三、數系擴充遵循的原則
第二節 自然數理論
一、自然數的基數理論
二、自然數的序數理論
三、自然數集的一些重要性質
四、擴大的自然數集
第三節 整數集
一、整數的概念與運算
二、整數的順序關係
三、整數集的性質
第四節 有理數集及其性質
一、有理數的運算
二、有理數的順序關係
三、有理數集的性質
第五節 實數集
一、無理數的引入
二、實數的概念
三、實數的順序關係
四、實數的運算
五、實數的性質
第六節 復數集
一、復數的概念
二、復數的運算
三、復數的表示
四、復數的性質
習題
本章參考文獻

第二章 解析式與不等式
第一節 解析式
一、數學符號發展簡史
二、解析式
第二節 絕對不等式的證明
一、分析法與綜合法
二、數學歸納法
三、微積分法
四、其他方法
第三節 條件不等式的求解
一、解條件不等式的相關定理
二、一元有理不等式
三、一元無理不等式
四、絕對值不等式
第四節 重要不等式
一、平均值不等式
二、柯西不等式
三、伯努利不等式
四、琴森不等式
五、排序不等式
習題二
本章參考文獻

第三章 方程
第一節 方程的概念
一、方程的基本概念
二、方程組的基本概念
第二節 同解方程
一、方程的同解性
二、方程組的同解性
第三節 解方程的常用方法
一、方程的常用解法
二、三次方程和四次方程的公式解法
三、五次以上高次方程的解法
第四節 方程組的解法
第五節 方程根的性質
一、韋達定理
二、方程的變換
三、關於方程根的近似計算
四、根的性質的綜合運用
第六節 不定方程
一、二元一次不定方程
二、商高不定方程
三、高次不定方程與費馬大定理
四、整除與同余
習題三
本章參考文獻

第四章 函數
第一節 函數概念的三種定義
一、函數的定義
二、反函數的定義
三、復合函數
四、函數的常用表示法
第二節 初等函數
一、基本初等函數
二、基本初等函數的特徵性質
三、初等函數及其分類
四、函數超越性的證明
第三節 函數的性質與圖像
一、函數的定義域和值域
二、函數的性質
三、函數的圖像及其畫法
第四節 函數概念的教學
一、把握不同學段對函數教學的不同要求
二、把握函數與代數式、方程的關係
三、把握函數符號表示的變量之間的依賴關係和建立函數模型
習題四
本章參考文獻

第五章 數列
第一節 等差數列與等比數列
一、基本概念與簡單性質
二、與二項展開式系數相關的兩個公式
三、綜合運用
第二節 數列的通項公式與求和
一、求數列的通項公式
二、數列求和
第三節 數列的差分與高階等差數列
一、數列的差分
二、高階等差數列
三、高階等差數列的應用
第四節 線性遞歸數列
一、基礎知識
二、齊次線性遞歸數列
三、非齊次線性遞歸數列
習題五
本章參考文獻

第六章 概率與統計初步
第一節 隨機事件與樣本空間
一、必然現象與隨機現象
二、隨機試驗與隨機事件
三、事件間的關係與運算
第二節 概率的概念與計算
一、兩種概率模型
二、條件概率
三、全概率公式與貝葉斯公式
四、事件的獨立性
五、獨立試驗概型
第三節 隨機變量及其分布
一、隨機變量的概念
二、隨機變量的概率分布
第四節 統計初步
一、總體、個體與樣本
二、統計量
習題六
本章參考文獻

第七章 平面幾何
第一節 平面幾何的幾個重要定理
第二節 平面幾何中的若干重要不等式
一、關於周長與面積的若干結論
二、三角形中的基本不等式
第三節 平面幾何問題的證明
一、平面幾何問題的基本證明方法
二、添加輔助線
三、問題證明實施的具體辦法
習題七-
本章參考文獻

第八章 立體幾何
第一節 直線與平面的平行、垂直關係的對偶性
一、對偶原則
二、對偶原則的理論解釋及其啟示
第二節 空間向量的數量積與向量積及其在幾何中的應用
一、空間向量的數量積(內積)及其應用
二、空間向量的向量積(外積)及其應用
三、利用空間向量求解立體幾何問題綜合舉例
第三節 求解立體幾何問題的方法
一、立體幾何問題轉化為向量問題
二、空間問題與平面問題的轉化
三、化歸方法在立體幾何問題中的應用
習題八
本章參考文獻

第九章 平面解析幾何
第一節 曲線、方程與函數
一、坐標與坐標系
二、曲線與方程
三、方程與函數
四、函數與曲線
第二節 曲線的生成與類型的判別
一、曲線的生成
二、圓錐曲線類型的判別
第三節 解析幾何問題的求解
一、曲線的方程問題
二、曲線的離心率問題
三、與曲線相關的最值問題
四、與曲線相關的直線問題
習題九
本章參考文獻

第十章 球面幾何初步
第一節 球面幾何的有關概念
一、平面與球面的位置關係
二、直線與球面的位置關係和球冪定理
三、球面上的距離與角
四、球面上的基本圖形
第二節 球面三角形
一、球面三角形三邊之間的關係
二、球面“等腰”三角形
三、球面三角形的周長
四、球面三角形的內角和
五、球面三角形全等
六、球面三角形的正弦定理與余弦定理
七、球面多邊形與歐拉公式
習題十
本章參考文獻

1.幾何學的萌芽時期
這個時期是指幾何學成為一門獨立的數學分支之前的整個歷史時期，其主要特點是，人們從生活、生產實踐的豐富經驗中，總結出幾何圖形及它們關係的一些結論，逐步形成了圖形、幾何命題及證明的概念。這個時期主要是在埃及、巴比倫、中國和希臘等國家初創，而在希臘得到發展。
幾何學最早有記錄的開端可以追溯到古埃及、古印度和古巴比倫，其年代大約始於公元前3000年，早期的幾何學是關於長度、角度、面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪、建築、天文和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的複雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們，例如，古埃及和古巴比倫人都在畢達哥拉斯（Pythag-oras）之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；古埃及有計算方形棱錐的錐台（截頭金字塔形）體積的正確公式；而古巴比倫有三角函數表，
我國對幾何學的研究也有悠久的歷史。公元前1000年以前，在我國的黑陶文化時期，陶器上的花紋就有菱形、正方形和圓內接正方形等許多幾何圖形。公元前500年，在墨翟所著的《墨經》裡有幾何圖形的一些知識，在《九章算術》裡，記載了土地面積和物體體積的計算方法，在g周髀算經》裡，記載了直角三角形的三邊之間的關係，這就是著名的勾股定理——“勾三股四弦五”，也稱為商高定理，祖沖之的圓周率也是著稱世界的。還有我國古代數學家劉徽、王孝通等對幾何學都作出了重大的貢獻。
古希臘人由於跟古埃及人通商，學到了測量與繪畫等的幾何初步知識。古希臘人在這些幾何初步知識的基礎上，逐步充實並提高成為一門完整的幾何學。
2.幾何學成為獨立分支時期
這個時期的標誌是，公元前3世紀希臘大數學家歐幾里得把在他以前的古埃及和古希臘人的幾何學知識加以系統的總結和整理，編寫成《幾何原本》，這部書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作，也是歐幾里得最有價值的一部著作，在《幾何原本》裡，歐幾里得把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理的幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學，這標誌著幾何學成為一個獨立分支。
……