量子力學Ⅰ（簡體書）

顧樵

現代科學家，發表114篇論文和5本專著，完成30多個科研項目，兩項專利。主要研究激光物理學和量子光學。

《量子力學Ⅰ》適合用作物理學和相關理工科專業的本科生和研究生的教材，可供高等院校教師和科研院所技術人員在理論研究與工程技術中使用，也可供具有一定物理學及數學基礎的自學者自修，還可供在國外學習的本科生、研究生及訪問學者參考。

第1章量子力學基礎第1章量子力學基礎自1900年德國物理學家馬克思·普朗克(Max Planck)提出“量子”概念並建立黑體輻射公式以來，量子力學已經走過了100多年。量子理論在眾多科學和技術領域取得了巨大的成功。今天，我們應當如何理解和掌握這門重要學科的核心思想與基本原理？法國著名實證主義哲學家奧古斯特·孔德(Auguste Comte)指出：“要了解一門科學，必須知道它的歷史。”如果只注重橫向地了解一門知識，而忽略追踪這門知識的縱向演化，這是一種缺憾。不知道一門科學的歷史，就不可能透徹理解它的現狀。本章在綜述經典物理學基本知識的基礎上，介紹量子力學產生、發展和完善的歷史過程。這些背景知識對於理解量子理論體系的形成具有十分重要的意義。11經典物理學綜述在歷史上，經典物理學(classical physics)經過兩個多世紀的發展，到19世紀末葉已經達到它的鼎盛時期。這表現在諸多物理學科的建立、完善及其廣泛的應用。主要涉及牛頓力學、熱力學與統計物理、光學、電磁學與電動力學。本節對經典物理學的基本知識予以綜述，它們對於量子力學(quantum mechanics)的建立具有重要的奠基作用。111牛頓力學首先，1687年牛頓(Newton)在其著名的《自然哲學的數學原理》一書中，對萬有引力和質點動力學的三個定律進行了細緻的描述。特別是牛頓第二定律在數學上表示為F=md2rdt2(111)
其中，m表示質點的質量，r是質點在時刻t的位移，而F則是質點受到的合力。牛頓力學（Newtonian mechanics）的研究思路是非常明確的：只要知道了質點的初始位移r(0)和初始動量m(0)，通過求解微分方程(111)，就可以得到任意時刻的位移r(t)，並進而得到任意時刻的動量m(t)。因此牛頓力學的物理圖像是質點的軌道(圖111)，反映在哲學上，則是因果律(causality)。在這裡，初始條件與微分方程同屬“因”，二者是同等重要的。牛頓力學在當時解決了無數個工程上的問題，沒有遇到任何理論上的障礙。因此物理學家中普遍存在一種樂觀的情緒，認為力學在物理上已經發展到盡頭了，已經成為所謂“經典力學”(classical mechanics)，剩下的問題“只是求解微分方程而已”。圖111牛頓力學的物理圖像：質點的軌道
經典力學的巨大成功還表現在物理模型(physical model)的成功。經典力學的主要研究對像是“質點” (particle)，質點是一個“幾何點”：只有位置和質量，沒有大小。但是，質點動力學可以用來描述天體的運行，如月亮和地球的運動。特別是，牛頓力學的質點模型直接導致了海王星的發現(Neptunes discovery)。海王星作為太陽系的第八行星，其發現過程非常奇特。之前發現的眾多行星，都是首先通過肉眼或望遠鏡觀測，然後根據觀測數據，計算出運動軌道。而海王星的情況恰恰相反，它的發現是根據太陽系的第七顆行星天王星運動軌道觀測值與理論計算結果不相符合的事實，推測太陽系應該還有一顆未知行星。然後按照計算的結果，用望遠鏡去觀測，果然在預言的位置發現了太陽系的第八行星——海王星。海王星的發現是牛頓力學質點模型最重要、最激動人心的科學成果。“質點”是一個最基本、最抽象、最實用的物理模型。一般來講，物理模型的基本特點在於：（1） 它概括了大量實際系統所共有的最為本質的特點；（2） 它相對於實際系統簡化到了極點；（3） 物理模型的精確解可以描述無數實際系統的物理狀態和變化規律。模型是物理學的精髓，也是物理學內在之美的具體表現。什麼是“美”？“簡單”才是美。正如美學大師埃迪·蒙托(Idee Monto)所說：“Less is more. increase)。根據這個原理，熱力學第二定律可以表示為SII－SI≥∫IIIdQT(113) increase)。根據這個原理，熱力學第二定律可以表示為SII－SI≥∫IIIdQT(113)
式中，不等號對應於不可逆過程；等號對應於可逆過程；下標Ⅰ和Ⅱ分別表示系統的初狀態和末狀態；T和S分別表示系統的溫度和熵。（3） 熱力學第三定律的基本表述為：絕對零度不可能達到(即不可能通過有限個步驟使物體冷卻到絕對零度)。而化學熱力學中普遍採用的表述為：在絕對零度時任何純物質的完整晶體的熵等於零。這裡所謂完整晶體是指晶體中的原子或分子都只有一種排列形式。熱力學第三定律的內容與熵的概念是一致的。在絕對零度時，純物質的完整晶體中，所有的微粒都處於理想的晶格結點位置上，沒有任何熱運動，是一種理想的完全有序狀態，所以其熵值為零。這個定律在數學上可表示為limT→0S=0(114)熱力學理論中最具學術意義和應用價值的結果之一是范德瓦耳斯方程(van der Waals equation)P+aV2V－b=RT(115)
它描述了1mol氣體的壓強P、體積V和溫度T之間的關係，其中，R是普適氣體常數，a和b是實際氣體的參數。若a=b=0，則給出眾所周知的理想氣體(ideal gas)的狀態方程。方程(115)描述真實氣體的狀態，它與理想氣體的狀態方程有很大的區別。事實上，它計及了分子之間的引力和斥力以及分子自身的有限體積，這些因素被修正項a/V2和b刻畫。圖112顯示了不同溫度下的PV曲線，每一條曲線都是方程(115)的等溫線。在溫度較高的情況下(T>Tc)，壓強隨體積的增加單調下降，這就是理想氣體的狀態變化。等溫線在溫度低於臨界值Tc時顯示奇異的性質，它有極大值和極小值。在實際氣體狀態變化的實驗觀察中發現，隨著氣體壓強的緩慢增加，處於溫度T從式(116)和式(115)，容易得到壓強、體積、溫度的臨界值：Tc=827aRb，Vc=3b，Pc=127ab2(117)
它們表徵氣體和液體之間的相變(phase transition)臨界點，這是典型的一階相變。范德瓦耳斯方程所描述的氣液相變過程不但在熱力學技術中具有廣泛的應用價值，而且因為提供了一個最簡單、最直觀的相變模型而具有十分重要的學術意義。由此范德瓦耳斯在他73歲高齡時獲得了1910年諾貝爾物理學獎。我們再來看統計物理學(statistical physics)。有人說，統計物理學是最美妙的科學，它的全部基礎就是所謂“等概率原理”(the principle of equal probability)，如擲骰子，擲足夠多次以後，每個點數出現的概率均為1/6。之所以稱之為“原理”，因為它不是推導出來的，也不是人為的“假設”，而是公認的道理。就是這樣一部出發點最為簡單的統計物理學卻演繹出了許多美妙的統計方法(玻爾茲曼統計、費米狄拉克統計、玻色愛因斯坦統計等)。圖112范德瓦耳斯方程(115)的等溫線溫度較高的情況(T>Tc)相應於理想氣體的狀態變化，溫度較低時(T出現氣液相變。臨界溫度由P對於V的一階和二階偏微商為零來確定
根據等概率原理，一個系統處於溫度為T的熱平衡狀態時，系統所包含的微觀粒子在能級上的分佈(或布居數)N1，N2，…服從玻爾茲曼統計(Boltzmann statistics)NiN=1Zexp－EikBT(118)
式中Z=∑iexp－EikBT(119)
稱為配分函數(partition function);N為系統的總粒子數;Ni是處於能級Ei上的粒子數。按照玻爾茲曼分佈，能量越高的狀態所分佈的微觀粒子越少(圖113（a）)。在許多情況下，微觀粒子表述為熱振動的振子。在熱平衡系統中，振子的振動幅度越大，其數目越少(圖113（b）)。圖113熱平衡系統的玻爾茲曼分佈
圖114一個三態分佈
統計物理學的另一個重要概念是統計熵(statistical entropy)S=－kB∑ipilnpi(1110)
其中，pi是一個任意的歸一化分佈；kB是玻爾茲曼常量(Boltzmann constant)。計算一個分佈的統計熵時常取kB=1，例如，對於圖114所示的三態分佈，其統計熵為S=［－(03ln03)］+［－(05ln05)］+［－(02ln02)］=1030(1111)
統計熵是一個分佈的不確定性的度量，即信息含量的度量。如果一個系統有W個微觀狀態，所有狀態以相同概率pi=1/W出現，則係統的統計熵為S=－∑ipilnpi=－∑Wi=11Wln1W=lnW(1112)
這正是玻爾茲曼熵(Boltzmann entropy)：對於三態分佈，S=ln3=1099。這時，系統的熵最大，表示系統沒有任何傾向性，其狀態完全不確定，不給出任何信息。另外，如果系統處在狀態i的概率為1，處於其他狀態的概率為零，則S=－∑ipilnpi=－pilnpi=－1·ln1=0(1113)
這時，系統的熵為零，其狀態完全確定，具有最大信息量。統計熵具有極為廣泛的用途，涉及物理學、統計學、概率論、信息論以及眾多的新興交叉學科，甚至包括生命科學和經濟學。基於統計熵表述的最大熵原理則進一步指出如何從隨機變量的測量數據推導出最合理概率分佈(the most reasonable probability distribution)，一個基本的問題是下面的例題。例利用最大熵原理推導出玻爾茲曼分佈，並進而導出相關的熱力學關係式。解對一個系統的能量值進行多次隨機性測量，設測量值Ei出現的概率為pi，則該系統能量的平均值為∑i=1Eipi=U(1114)
這裡，概率分佈pi是歸一化的：∑i=1pi=1(1115)
下面我們按照最大熵原理(maximum entropy principle)，由約束條件(1115)和測量值(1114)推導出最合理概率分佈。為此利用式(1110)對pi求變分，得到δS=∑i1+lnpiδpi=0(1116)
進一步在約束條件和測量值中取變分∑iδpi=0(1117a)