撞球檯邊的數學家：拉拉雜雜扯數學

推薦序
華德．迪士尼（Walt Disney）公司在1959年曾製作一部以數學為主題的卡通動畫影片《唐老鴨遊歷數學幻境》(Donald in Mathmagic Land)，該片於同年並獲得奧斯卡最佳紀錄短片提名，片中描述外出打獵迷路的唐老鴨因緣際會，打開數學之門，進入了「數學幻境」，那裡有用數字形成的花草樹木、井字遊戲及會計算「圓週率（π）」的小鳥，還有許多色彩的數字，順著小河不斷流動。而在「數學精靈」（The True Spirit of Adventure）的旁白引領下，唐老鴨認識了古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）和他的朋友們手掌上的五角星形的數學秘密，接著介紹音樂、藝術、建築及自然界的「黃金比例」現象，還有隱藏在交通工具、生活器具、運動競賽場地中的數學概念，最後提到西洋棋及撞球等與數學相關的遊戲，本片期盼讓觀眾體悟到，原來數學不只是計算而已，「所有的事物都根據數字來運行」，生活中萬事萬物都與數學相關。
本書《撞球檯邊的數學家》作者黃敏晃教授，多年來從事中小學數學師資培育、參與國民小學數學課程標準修訂，發展實驗教材並編寫可普及應用的小學數學教科書等工作。自台大數學系退休後，黃教授仍勤於筆耕，從日常生活中親身經歷的人、事、物取材，發表許多數學科普文章，曾著有《人間處處有數學》、《讓我們來玩數學吧：當個遊戲大贏家！》、《數學年夜飯》、《規律的尋求》、《另類數學教室》、《生活數學故事》等數學科普書籍，針對台灣的中小學數學教育提出建言，並希望藉此提升社會大眾的數學素養。一如前段所提到的「數學精靈」，黃教授也嘗試透過書寫數學科普文章的方式，協助讀者打開腦子裡那扇獨特的數學之門。
延續先前著作的基調，黃教授堅持「人間處處有數學」、「把數學的知能用到生活上去」的理念，本書12篇文章以淺白活潑的筆觸，循序引導讀者思考數學教學方法與生活中的數學問題，習得重要的數學概念，諸如「購物結帳」、「空間大小」、「數學題目設計」、「運動賽事與數學」、「數學遊戲」等等，其中〈女兒的生日宴〉、〈香港之行〉、〈淺談數學題目中的資訊量〉、〈估算的意義〉、〈科學研究的模擬遊戲〉、〈加與乘的遊戲〉及〈福建友人來訪記事〉等文章曾於國立臺灣科學教育館《科學研習》月刊發表，現在連同其他文章集結成冊出版。
謹以此序，推薦各位讀者一同探索黃敏晃教授所建構的「Mathmagic Land」吧!
國立臺灣科學教育館館長 朱楠賢

〈平亂之數〉──黃敏晃教授《撞球檯邊的數學家》觀後感 詩人 謝予騰

看了《撞球檯邊的數學家》一書，我的腦中竟浮現法國足球名將席丹，在他生涯的最後一場世界足球賽裡，用他那顆有名的大光頭，在義大利對手馬特拉齊的胸前狠狠地垂下去的那個畫面。
後來，法國在十二碼對決中，輸掉了那場冠軍賽。
所有的一切，不過比較和選擇的結果；而我多想請黃敏晃教授，幫我們寫出那張席丹所領到的，紅牌的算式與數據。
人生本來就是無止盡的參數與亂碼，沒有人可以知道未來如何，如同五十年前的那五個年輕的軍官，再也回不到那個響哨集合前的大樹下，解救他們心中年輕而漂亮，卻要被用天價賣掉青春年華的水餃店女孩。但這一切其實都不過數字，只是我們掌握到了多少罷了──無有一件事情沒有因果，像沒有一顆將射門足球與已擊發的一○五顆榴砲飛行的軌跡無法被計算，是一樣的道理。
那些夾雜於看似嚴謹的數據組合中的，是一次又一次生命沒有把握到的隱藏數質，如同港幣的匯率與臺灣的地價，都沒有辦法簡單地「＝」（彼此等於），畢竟太多的不確實，太多人為因素的暗湧波動，如同沒有人會想到當年以英雄之姿帶領法國殺入冠軍戰的席丹，竟如此輕易被馬特拉齊用嘴皮算計了。（所以英雄的結局雖然不等於，但也往往趨近於悲劇。）
而我們不禁要問，作者到底想要說出什麼？是那些發生在學校數學課裡簡單的錯誤？店家刻意貪圖的小便宜？又或者一切看似合理，實際上卻是大企業操縱社會的騙局？還是整個島嶼，在這個時代下思維的困境？
若撇除了人的因素，數字、乃至於整個宇宙，其實不過巨大無瑕的純粹。所有的渾沌不清，所有的靉靆不明，都成形於人類的大腦與眼睛。（如此說來，人類的靈魂除了21公克之外，是否還能用數字計算？）那些教育中簡單的題目，究竟封鎖了原來，能夠讓一個孩子探索到的多少可能性？
包括那些微小而相互磨蹭的生存空間，人擠人的餐館廁所，後殖民時代的寸土寸金，一桌繽紛的球路與出桿角度，以及隱身於食物氣味中，飄忽不定的人際關係，在作者的敘述裡，完全是一串又一串的數字組合，也是一圈又一圈的人生經歷。
Fisher、砲聲、尚義機場、世足賽、無緣的肥鵝、國小老師與學生、家中的女性主義、對岸老師的來訪……諸如此類巨大集合的最大公約數，我們可以從《撞球檯邊的數學家》一書中，看出些許端倪，自最感性的來往之中，涉入最理性的次元，那些漫天紛飛的一切故事，就這樣穩穩當當地，被安排在已然被證明過無數次的算式與表格之中：像一頭豢養了十多年的臺灣犬那樣，正忠心耿耿地，為你等在那裡。

推薦序—朱楠賢(臺灣科學教育館館長)

女兒的生日宴
香港之行
淺談數學題目中的資訊量
估算的意義
傳統砲兵中的數學
科學研究的模擬遊戲
加與乘的遊戲
福建友人來訪記事
世足賽中的數學
撞球檯邊談數學
花式撞球的數學聯想
閒話點算—從頭談起

淺說數學題目中的資訊量
題目考什麼？
參加台師大數學系林福來教授主持的，由教育部和國科會一起資助的，國中小學數學科輔導的亮點計畫後，退休多年的筆者多了許多在教學現場走動的機會，碰到不少想要精進教學能力的老師。
和他們的談話中，難免討論到數學教育現實的事務，諸如考試卷的命題，批改給分等的種種問題。有次和一些教授及老師一起喝咖啡時，對這方面議題竟然談出一些共識，於是商量合作寫幾篇文章。
無奈教授們忙著寫論文，老師們不善於寫文章，寫科普文章的工作就落在我頭上了。這篇文章就是頭次的嘗試，希望得到讀者的肯定，才會有第二篇文章。順便也在此聲明，本文的點子是很多人共同討論出來的結晶，我只是負責把想法用白紙黑字呈現出來。
當我們這些數學老師命一道題目，將它放在考試卷上給學生做答時，都有其特定的目的，譬如說，下面羅列出來的，都可能是其原因或部分原因：
1.學生對某個特定的概念如質數，知識如畢氏定理等，是否有某種程度的瞭解？
2.學生對某些運算、技能是否能夠執行，或已經熟練到某種程度？
3.在某些學生算是熟悉的情境中發生之問題，學生能否應用已經學過的知識和技能加以解題嗎？
4.在數學內部的知識之間，或是和別的科目的知識，常會有些關係，這些結構成學生腦海中的知識網路。這些上述的某些局部連結，學生腦中是否存在？
5.學生在展現上述能力的過程中，邏輯是否清晰，想法思路是否合理？
這些條列當然可以分得更細，列得更長。不過，如此就得要寫很長的文章，討論更深沉的課題。第一篇就這樣，實在不符合本文標題「淺談」的旨趣。不談這些，又該說些什麼呢？不如從一些實例說起。
我們這些合作的夥伴，找了一些題目，商量下做了一些小實驗，即借用了某些台北附近的學生做了一些測試。分析後，得到了一些初步的結果。不如就寫些這樣的實例吧！以下就是一道可以考四、五、六年級的題目。
題目1小明拿一張500元大鈔，到附近的一家早餐店替家人買5份早餐。媽媽說，每份早餐都要有餐點和飲料，每份的組合不能相同，且合起來的價錢每份不得超過70元。此點的點選單如下：

　問小明可以買怎樣的5份早餐？請填入下表中。

　5份餐點共要多少元？可找回多少元還給媽媽？
資訊知多少？
親愛的讀者，你覺得這道題目如何？很簡單嘛，是不是？它是附在生活情境中的四則應用問題，所牽涉到的數學內容是整數的加、減（也有人可能會用到乘法），這方面應沒問題。但是，由於題目用文字呈現，也許會造成某些學生因閱讀不良，而產生解題困難。這是我們在做測試前的自我評估，結果並不完全如我們所想的那樣。
此題在台北市某小學的四年級某班測試時，十八位學生中只有兩人全對，四人零分，其他人則得到部分分數。下面，讓我們概略地分析這些學生的錯誤原因。很遺憾，我們無法附出學生的答案卷（會佔太大篇幅），只能單純的敘述如下：
1.四人完全空白，表示什麼？讀不懂題目的意思？還是不會解題？或者是他們覺得這個測試不算學校成績，故不屑做答？最後這個原因，我們在問過他們班導師後，立即排除—他們四人沒聰明到如此地步。
至於，前兩個原因，我們懷疑是前者。因為只要湊出一組合起來不超過70元的早餐，就會得到一些分數。除非他沒上街買過早餐，這樣的小孩（總是在家裡吃過早餐才出門，真是幸福）現在應該很少了。他們因缺乏實際的經驗，很難期望他們能形式地購買早餐。
2.被扣去部分分數的一位學生，被扣分的原因是，他沒寫出餐點和飲料的名稱，只在表格上填出個別項目的價格。他這樣子不耐煩（學會耐煩似乎應該也是人生中很重要的功課），我們可以理解。之後命題，也許會加上餐點和飲料的編號，學生在答題時圓要寫出這些編號即可。如此也比較合乎數學裡講究形式抽象的精神。
3.很多被扣分的原因，竟然是計算錯誤。讀者也許會歸因於學生計算能力之薄弱。可是，我們並不認同如此的理由，譬如說有位學生在計算5份早餐共要多少元時，無端端地多加了1份65元（前面已經加過）。類似這樣的錯誤並不少，為什麼？原因請看第4.點的說明。
另外，有好幾位小朋友用350元去減5份早餐的總價額，我們相信350元的出現（題目中沒有），是70元5得到的（每份早餐不得超過70元）。有位學生更是離譜，竟然用700元去減5份早餐的總價額。700元如何來的？我們能想得到的唯一連接，是350元的2倍。但為什麼會有如此奇怪的連接？我們完全摸不著頭緒。
4.基於上述證據，我們認為對四年級的小學生而言，本題的資訊量太多了—餐點（及其單價）有5個，飲料（及其單價）又5個，500大鈔，以及每份早餐之價額之上限70元。這12個資訊的掌握，是小孩解此題的前置。這樣的要求，對還不到十歲大的小孩，真的負擔稍重。
我國有些成語，透露了人類對隨機資訊量的掌握限度，諸如亂七八糟、七手八腳、七嘴八舌、七上八下、七零八落等等。這些說法總結了我們前輩的寶貴經驗—七、八常是太多了，同時處理腦袋會亂掉。這件事可以找到一些佐證：一星期為什麼是七天？很多地方的電話號碼是七或八個數碼的，為什麼？親愛的讀者，你認為這些是不相關的嗎？
解題運作量
現代社會越來越趨複雜，逼使我們人類的腦袋持續進化，同時要處理八個以上的亂碼。譬如說，台北和台中地區的電話號碼是八碼，手機通通十碼，我們為了記住這些而努力，久而久之，記憶力和連接力就變強了。
當然，腦袋瓜進化這種事情，以往都是以長時間為單位來計算的，沒有萬年也需幾千年以上。人類有史最多不超過三、四千年，所以一種說法是史前人類的腦袋和現代人的其實相差並不是那麼多。
另一種說法則是，進入二十一世紀之後，社會運作的複雜程度，已到了逼使我們的腦袋到了不調整進化就很難存活的地步。我和老婆大人學用3C產品時的困難（只要碰錯一個按鈕就滿盤迷失，回不到想要的介面，被迫找年輕人求救），其實就是最佳的案例—現代的年輕人比我們年輕時候優秀才行。
若是如此，下一代的教育中應該加入一些新的元素，使他們的頭腦能順利掌握複雜事物裡的眾多訊息。數學科能在這方面幫忙的有兩樣：一是讓學生學會剝開重重的情境障礙，看到事物的基本結構；二是訓練學生在擁有一大堆資訊（也許會有多餘的，甚至矛盾的）狀況中，釐清並掌握有用的資訊，進一步運用來解決問題。
本文想討論的是上述方向中後者之最前端。我們選擇的是小學生所生活的真實情境，裡面的資訊剛好很豐富（我們已經刪去一些如包子、酥餅等）。我們以為這樣的資訊量，應該對四、五與六年級學生適合，但測試結果，四年級學生可能在維高斯基所說的近測發展區。在此狀況下，能做的事情是先調整資訊量，並藉機會討論，使學生學到掌握資訊的手法。
5.若是12項資訊太多，該如何改變呢？我們認為，給三年級學生題目中的餐點和飲料各3項，買2人份的早餐；四年級的餐點和飲料各4項，買3或4人份；五年級的則保持原題就行了；六年還可更多些。
6.如果學生融入情境沒問題，又能掌握題目中的資訊，則解題的難度並不高，運算的數量計有—每份早餐加一次（條件限制，不得超過70元），總額加1次（或是4次？），用500元減去總額1次。算是不多。若如5.之建議，三、四年級的版本，運算量還會少些。所以，這裡不是障礙。
7.解題運作最困難的部分在組成5份早餐。題目中的條件有三項，即每份早餐含一個餐點及一杯飲料，合起來不超過70元，每份早餐的組合不能相同。所以，餐點和飲料並不能隨便配，例如，豬排堡不能配咖啡，雞腿堡只能配豆漿等等。這是隱藏在題目裡，沒寫在考卷上的運作，在解題時要記住這些，肯定增加了不少心理負擔。
8.「每份早餐的組合不能相同」的意義，許多學生的解讀不盡相同。命題者本來的意思是，只要餐點和飲料中的一項不同，就算是不同的組合了。但這個意思全班只有得滿分的二人懂（其中一人餐點重覆，另一人飲料有重覆）。正確解讀題目的意思，會使餐點和飲料的配對簡單許多，譬如說，只要飲料選豆漿，配任何餐點時價額都不會超過70元。
9.若認為「不同組合的早餐」是餐點和飲料都要不相同，則要多做一些功夫。首先，每樣餐點和飲料都會被用到，故較高價的餐點只能配便宜的飲料—雞腿堡只能配豆漿，豬排堡只能配紅茶或果汁，其他就可以隨便配了。讀者不難看到，這些運作的先後順序之確立，也會造成解題的困難。這就是我們在5.裡建議的，減少題目中的資訊量和運作量的原因。
能力的提升
近年來在台灣倍受爭議的數學素養議題，首先提創的是歐洲的數學教育界。他們認為，學生單單學會數學內部的知識和技能是不夠的。完整的數學教育目標，一定要讓學生學會，把學到手的數學應用到數學之外的世界去。理工方面的人才當然會把數學用到他們的本業上，一般人則要把數學知識用來解決，他在日常生活遇到的問題。
大多數制式科目的學習，都依賴紙筆測試來檢驗其學習的成果，數學當然不例外。要將數學題目所依附的生活情境寫清楚，有時候題幹的文字會稍長。若學生不習慣這樣的命題方式，又沒學會如何掌握題目中的關鍵資訊，以及它們之間的數學結構（這是閱讀理解的重要功能），他們的數學考試成績絕對不會令家長滿意。
10.所以，我們在命題時有考慮過，對「每份早餐的組合不能相同」的意義，是否要舉例方式加以解釋，但這樣不是又增加了「文字說明」的長度了嗎？對學生解題的難度是增加了，還是減輕？當然，我們也可以故意將餐點或（和）飲料少列幾項。如此，學生就沒那麼多選項來進行配對，因此降低了配對運作的工作量，解題成功率就會大幅提升。
「配對」的能力，雖不是重要的數學內涵，但卻是本題隱含的數學運作（除了加、減、乘和與生活相接外），而且若沒那麼多項，好像無法強迫學生理解「選項可以重複選用」的意義。我顯然失算了。
11.這裡考讀者一下，這道題目中有個漏洞，請你花幾分鐘找找看！這個漏洞並非有意設計，而是打字後校對的疏忽。為了減輕讀者尋找的負擔，特別指出，漏洞在　的部分。這下應該不難找到了吧！
沒錯，就是「5份餐點共要多少元？」這句話了。在題幹中「餐點」指的是如三明治、蛋餅之類的食物，不包含飲料在內。故此題本來的意思，是要學生能把5份早餐的價錢總加起來，然後，再算能找回多少錢。
有趣的是，14位有作答的學生，都算了5份「早餐」的和，而我們也是在閱卷後，無意間發現的。這讓我們警覺到，不但是學生，連我們做老師的在「閱讀理解」這方面的能力，真的很有成長的空間。在我國目前的數學教育領域中，這方面的講究還是空白，迫切需要研究和實驗。
考試的目的並非對學生的能力加以評等，而是要發現學生學習上的錯誤，或是不是之處，事後進行反省與檢討，再作進一步的補救教學。本文的目的，就是做這方面的分析，也希望能對考試提供一些改進意見，以及進一步研究的課題。只是，我們大多數是退休人員，沒有長期帶班，故補救教學的細節，就有待現職老師們去努力啦！