大人的數學教室：透過114項定律奠立數學基礎

想理解現代科學，就絕對不能不知道20世紀初葉前的科學知識。
2000年之前就被發現，至今仍活躍的公式、定理們
只需一本書，搞定所有數學公式和定理！

向量的內積、平面圖形的向量方程式、立體圖形的向量方程式、一次函數的圖形、
二次函數的圖形、機率的定義、獨立事件與重複試驗的定理、平均值與變異數、
中央極限定理、母體均值的估計、比率的估計、貝氏定理……

本書介紹的公式、定理、和觀念，大多是數學中堪稱「古典中的古典」。
其中更有比『萬葉集』或『古事記』更加古老，早在1000多年前就已經發現的知識。
理解這些超越了時空、傳承至今的真理，或許會對我們的日常生活發揮難以想像的妙用。


第1章　證明與邏輯
第2章　數與式
第3章　圖形和方程式
第4章　複數、向量、與矩陣
第5章　函數
第6章　數列
第7章　微分
第8章　積分
第9章　排列、組合
第10章　機率、統計

涌井良幸

◎1950年生於東京。於東京教育大學（現筑波大學）理學院數學系畢業後擔任教職。目前任教於高中教授數學之餘，也運用電腦研究教育法和統計學。
◎著有《3小時掌握速算》（世茂出版）、《統計力クイズ》（實務教育出版），並合著有《道具としてのフーリエ解析》、《道具としてのベイズ統計》（皆為日本實業出版社）、《誰都看得懂的統計學超圖解》（楓葉社文化）等書。

前言

只需一本書，搞定所有數學公式和定理！

本書網羅國高中數學教過的公式和定理，以及所有數學上的重要觀念。透過本書，您將可以毫無遺漏地學到所有日本高中程度的公式、定理、和觀念。而高中時代數學學不好的人，肯定也能藉由本書得到新的發現，或是重新體驗到數學的樂趣。
本書介紹的公式、定理、和觀念，大多是「數學的公式、定理」中堪稱“古典中的古典”。其歷史之悠久，更非萬葉集和古事記所能比擬。不少公式和定理更早在2000多年之前，甚至在西元前就已經被人們發現。即使從現代的角度來看，也不禁為古人們對「思考」的執著感到驚訝。尤其是在古希臘的自由城邦活躍發展的數學之美，更令人油然產生敬畏之情。
學習這些歷經2000年以上的漫長考驗，時至今日仍活躍於現代的公式和定理，我們將能透過數學之眼，洞察日常所見的各種現象和事物。就像是音樂家用音樂家的耳朵凝聽聲音，畫家用畫家的眼睛觀看風景。雖然也有人認為「高中所學的數學跟日常生活毫無關係」，但那麼想就太可惜了。請各位讀者務必透過本書，重新學習數學之美。
話雖如此，數學是一門積累性的學問，如果基礎的部分沒有弄清楚，將很難理解建立在基礎之上的部分。然而，若要獨立地介紹所有的部分，本書的篇幅恐將異常膨脹，而且充滿很多重複。
因此本書將各種公式、定理、和數學上的重要觀念整合成數個分野，循序漸進地加以解說。這麼一來，讀者們只需依序讀完重要的分野（章節），不僅容易理解，也可以像辭典一樣回頭查閱對照，相信將能建立起數學的自信。
最後，筆者想藉此篇幅，對從本書企劃階段便一路提供指導的出版社的?東一郎先生，以及編集工房シラクサ的畑中隆先生兩位致上感謝之意。
2015年秋　作者筆

前言

第1章 證明與邏輯
§1 命題與集合
§2 德摩根定律
§3 全稱命題‧特稱命題與否定
§4 必要條件與充分條件
§5 換質換位律
§6 反證法

第2章 數與式
§7 簡單倍數判別法
§8 剩餘類與同餘
§9 輾轉相除法
§10 二項式定理
§11 p進制與10進制的變換公式
§12 方程式f(x)＝0的實數解和圖形
§13 餘式定理和因式定理
§14 綜合除法
§15 解與係數的關係
§16 二次方程式的公式解
§17 三次方程式的公式解

第3章 圖形和方程式
§18 畢氏定理
§19 三角形的五心
§20 三角形面積公式
§21 孟氏定理
§22 塞瓦定理
§23 正弦定理
§24 餘弦定理
§25 平移圖形方程式
§26 旋轉圖形方程式
§27 直線方程式
§28 橢圓‧雙曲線‧拋物線方程式
§29 橢圓‧雙曲線‧拋物線的切線
§30 利薩茹曲線
§31 擺線

第4章 複數、向量、與矩陣
§32 複數與四則運算
§33 極座標形式與棣美弗公式
§34 歐拉公式
§35 向量的定義
§36 向量的線性獨立
§37 向量的內積
§38 分點公式
§39 平面圖形的向量方程式
§40 立體圖形的向量方程式
§41 與兩向量垂直的向量
§42 矩陣的計算規則
§43 逆矩陣的公式
§44 矩陣和聯立方程式
§45 矩陣與線性變換
§46 特徵值和特徵向量
§47 矩陣的n次公式
§48 凱萊－哈密頓定理

第5章 函數
§49 函數圖形的平移公式
§50 一次函數的圖形
§51 二次函數的圖形
§52 三角函數和基本公式
§53 三角函數的加法定理
§54 三角函數的結合公式
§55 指數的擴張
§56 指數函數及其性質
§57 反函數及其性質
§58 對數函數及其性質
§59 常用對數及其性質

第6章 數列
§60 等差數列之和的公式
§61 等比數列之和的公式
§62 數列{n^k}之和的公式
§63 遞迴關係式a_(n＋1)＝pa_n＋q的解法
§64 遞迴關係式a_(n＋2)＋pa_(n＋1)＋qa_n＝0的解法
§65 數學歸納法

第7章 微分
§66 可微性與導數
§67 導函數與基本函數的導函數
§68 導函數的計算公式
§69 複合函數的微分法
§70 反函數的微分法
§71 隱函數的微分法
§72 參數式的微分法
§73 切線‧法線的公式
§74 與函數增減和凹凸性有關的定理
§75 近似公式
§76 麥克勞林級數
§77 牛頓－拉弗森方法
§78 數直線上的速度與加速度
§79 平面上的速度與加速度
§80 偏微分

第8章 積分
§81 區分求積法
§82 積分法
§83 微積分學的基本定理
§84 不定積分及其公式
§85 分部積分法（不定積分）
§86 換元積分法（不定積分）
§87 用不定積分計算定積分的方法
§88 分部積分法（定積分）
§89 換元積分法（定積分）
§90 定積分與面積公式
§91 定積分與體積公式
§92 定積分與曲線長公式
§93 古爾丁定理
§94 年輪蛋糕形積分
§95 等冪等積定理
§96 梯形公式（近似式）
§97 辛普森積分法（近似式）

第9章 排列、組合
§98 集合之和的定律
§99 集合之積的定律
§100 個數定理
§101 排列的公式
§102 組合的公式

第10章 機率、統計
§103 機率的定義
§104 機率的加法法則
§105 餘事件的定理
§106 機率的乘法法則
§107 獨立試驗的定理
§108 重複試驗的定理
§109 大數法則
§110 平均值與變異數
§111 中央極限定理
§112 母體均值的估計
§113 比率的估計
§114 貝氏定理