數學，為什麼是現在這樣子？：一門不教公式，只講故事的數學課

臺灣師範大學數學系退休教授　洪萬生 專業審訂

任維勇　北一女中數學科教師
陳記住　資深雲端數理課程教師──好評推薦

▎內容簡介
推翻所有理所當然，數學的演變史比你想的還要漫長精采！
你知道為什麼大部分地區的人都是用阿拉伯數字嗎？你知道√2在古代曾經被判定是不合法，不可以公開宣揚的祕密嗎？
另外，你知道如果把全世界的東西都變成墨水，仍然無法寫完那個「有史以來最大的數字」嗎？
一堂不用計算，沒有標準答案，充滿精采故事的數學課即將開始……。

所有我們知道的事物都包含數字，因為倘若沒有數字，我們便無法想像或了解任何事。──菲洛勞斯（Philolaus）

不論你有沒有發現，數學已經和我們的日常生活和語言密不可分。不論是提及時間、方位或是形狀，多多少少都會和數學沾到一點邊，更不用說數數或計算了。

今日的數學之所以能和我們這麼親密，必須歸功於數千年來人類智慧的累積。人們從用數學解決日常溝通上的不便，到現在已經將數學推廣到各個領域解決甚至擴及宇宙的問題。然而，我們往往忽略了在科學成就背後的故事，也就是研究工作最迷人也最重要的「過程」。

因此本書要彌補這道知識缺口，向你娓娓道來從小到大學數學卻從來沒有聽過的數學奇聞趣事。
●天文數字有多大？
●你知道小數點最早不是一個「點」嗎？
●你知道有些三角形的內角和不一定等於180度嗎？
●想畫出平面的世界地圖必須用到幾何學的方法？
●為什麼阿基里斯沒有辦法追上烏龜？
●你知道在賭場裡，你和莊家的勝算其實不是一半一半嗎？
●如果用演繹法能證明出1=2這種謬誤，這個方法的邏輯問題到底出在哪裡？

閱讀本書後，當有人和你說起畢達哥拉斯，你腦中浮現的不再只是畢氏定理，還有他聽到學生說無理數而憤怒拍桌的畫面；你也可能在讀到古希臘三大難題的時候，會想提筆畫圓為方，和古代的數學家較勁一下；或是當你看著一幅用透視法完成的畫作時，除了欣賞其本身的色彩與氛圍，也開始發現幾何學在畫中展現的美感。這是一本不喜歡數學的你可以看得懂的數學書，更是一本喜歡數學的你必讀的故事書，它將讓你心中描繪出的數學輪廓更加鮮活，也讓你更能看清楚這門科學的全貌。

安．魯尼Anne Rooney
在劍橋大學的三一學院拿到博士學位，專研中世紀文學。她曾經研究並教授中世紀的英國和法國文學，而現在是專職寫作者，和一群動物以及女兒們定居劍橋。她為幼小的孩童寫輕鬆易懂的書、為年長一點的孩子寫篇幅稍長的書，也為大人們寫任何形式和篇幅長短不拘的書籍。


陳敏晧
畢業於宜蘭高中、國立高雄師範大學數學系、國立臺灣師範大學數學研究所教學碩士、國立清華大學歷史所博士（主修數學史與科學史）。曾任教於宜蘭縣羅東國中、蘭陽女中、佛光大學、宜蘭大學。對數學專題、數學史、科學史研究有濃厚興趣。

第一章 數字的起源

◆數字從哪裡來？
數字與我們的日常生活息息相關，以至於我們將其視為理所當然。當早晨起床掃視時鐘時，數字也許就是一天之中最先映入你眼簾的東西，從早到晚我們也持續面對數字的密集攻擊。然而，數字和計數系統並非無中生有的，數字的發現─或發明─在人類文化與文明的發展過程中都占據重要的一環，它讓所有權、貿易、科學和藝術有了可能，並促成社會結構與階級制度的發展，當然另如遊戲、猜謎、運動、賭博、保險業、甚至是生日派對，都跟數字脫不了關係！

◆四隻長毛象或更多長毛象？
想像一個原始人正看著一群可能的午餐──水牛，或是毛茸茸的長毛象。這群獵物數量龐大，而獵人既沒數字系統的概念也不會數數，他只知道，不管數量為何，落單的長毛象比較容易下手，而且如果有更多的夥伴，這項狩獵任務會變得更簡單、更安全。
在「1」與「多於1」之間、「很多」和「很少」之間有明顯的差別，而這並非數數得來的。在某些情況下，量化額外的長毛象或額外所需的狩獵人力是會有幫助的，但精確的數目仍非絕對必要，除非獵人想較量彼此的狩獵能力。

動物會計算嗎？
長毛象能夠計算牠們的敵人有多少嗎？有些動物顯然能夠計算小數目，目前已知鴿子、喜鵲、老鼠和猴子都能夠計算小的數目，還能在較大的數目之間做大概的區分，許多動物也能判斷牠們的孩子是否少了任何一個。

不用數數如何計算羊群數目
當每一隻羊離開圍欄時，在一根骨頭上標記刻痕，或者一次一顆小卵石放在一堆。到羊群就寢時刻，當每一隻羊回欄時檢查每一道刻痕或每一顆小卵石：
●如果有卵石或刻痕未被計算到，就去尋找失蹤的羊。
●如果有羊隻死亡，就丟掉卵石或削去刻痕。
●如果有羊隻出生，便加入一顆卵石或一道刻痕。

◆嘿！計算
接著，長毛象獵人把他們的牲畜安置妥當。當人們開始圈養動物時，就需要一種記錄方式，以檢視是否所有的綿羊、山羊、犛牛、豬都安全待在圍欄內，最簡單的方法是使用符木（tally）做為記錄，將每一隻動物對應為一個記號或一顆石頭。
這套方法不需要計數便能確認是否少了任何一隻動物，就如同我們可以一眼看出餐桌上一百個用餐位置是否都有用餐的人。此種一對一的對應方式人類在幼年便已習得，小孩子會將幾何形狀的積木放進形狀相應的洞口，或將玩具熊跟床配對等，這是人類很早就領悟到的集合論基礎：一組物件能夠和另外一組物件做比較。如此一來，我們不需要數目的概念就能簡單處理集合問題，所以早期的農夫不需要計算，就能把卵石從這一堆搬移到另一堆。
由於記錄物件數目的需要促使最早的符號──即文字書寫的前身──出現。考古學家在捷克發現一根有三萬年歷史的狼骨，上面有刻痕，而且刻痕顯然為計數符號，這也是目前所知最早的數學物件。

◆從二到二的性質
能用來計算羊群數目的符木條（或卵石堆）亦能用做其他用途。如果手上有30個代表綿羊的籌碼，它們也能用以表示30隻山羊、30條魚或30天，這些籌碼可能很早就被用來計算時間，例如小孩出生前的月數或天數，或從播種到收成的時間。當人們領悟到「30」的概念可以在物體間轉移並可獨立存在，這便預示了數目概念的來臨。人們不僅知道4顆蘋果可以以1人2顆的方式分給2個人，更發現任何數量為4個的物件都可以平分成2組，每組2個──確切而言，4「就是」2個2。
在此階段，計數已不只是為了清點數量，而且每個數目都需要一個名稱。

◆身體計算
許多文化發展出利用身體部位來計數的方法，經由指出身體部位或以公訂順序指出身體上一段範圍來表達不同數字，最後，該身體部位的名稱可能進一步用以代表數字本身，「從鼻子到大腳趾」可意指（比如說）34，此段身體部位能用來表示34隻綿羊、34棵樹或其他任何數量為34的事物。

◆步向數字系統
用每個物件對應成一個符號的方法來計數，在數目不大的情況下非常適用，但很快人們就發現這方法不敷使用。為了能將數字運用於比清點或計數更複雜的計算上，首先需要一套比刻畫短線、圓點更簡單明瞭的方法來記錄數字。雖然目前我們只能從觀察未工業化地區的民族，來推測口語計數系統的發展，但手工製品為計數的書寫留下了實體證據，記錄了數字書寫系統的發展。
最早的數字系統與符木有關，人們以一連串的符號一對一地對應計數的物件，所以「Ⅲ」或「…」可能代表3。在西元前三四○○年，古代埃及人已經發展出一套象徵系統（或象形文字）來代表10的倍數，他們以一條短線表示1，並以一個符號代表10，另一不同符號代表100，再一符號表示1,000，如此直到1,000,000。每一個符號會重複至多九次，符號的一致性會使數字較容易被辨認。美索不達米亞（今伊拉克）在西元前三千年（或更早）也曾有過類似的數字系統。
另一種眾所皆知的簡單計數系統是羅馬數字，數字一到四以垂直的短線表示：Ⅰ、II、III、IIII
羅馬人放棄使用IIIII，轉而以另一個符號V代表五，之後他們有時用IV來代表IIII，如此一來垂直短線的位置決定數字的意義：五減一。同理，IX用以表示九（十減一）。以下符號用做代表五和十的倍數：
各數字是由結合一、十及其倍數所建立的，所以，2008的表示法是MMVIII。5、50和500的符號在一個數字中不能使用超過一次，因為VV已經由X作為代表，其餘同理。有些數字在書寫上是相當麻煩的，例如：38寫成XXXVIII。在這套系統中，減法只能發生在位數相同的符號上，所以，49不能寫成IL（50減1），必須寫成XLIX（50減10；10減1）。
數字符號發展的下一階段是1到9各用一個不同的符號表示，不再以重複符號的方式來表示一個數字（例如：XXX代表30），接著將1到9的符號與表示10、100等等的符號
結合，以指出有多少個十、百和千。目前中文的數字系統就是採取這項原則：
四十=4×10=40但是，十四=10+4=14而且，四十四=4×10+4=44
這是我們知道的乘法系統，用以表示數字的符號數量較為固定，1到10由一個字元表示（一、二……十），11到20由兩個字元表達（十一、十二……二十），其後，10的倍數直到90由兩個字元表達（二十、三十……九十），而最大至99的其他數字由三個字元表示（二十一、二十二……九十九）。與此相比，羅馬數字1到10需要一到四個字元，而1到100的數字需要一到八個字元才能表達。

一個、兩個、許多個
位於巴西的派拉哈部落只有表示「一個」、「兩個」和「許多個」的文字。科學家發現，沒有數字的文字系統會限制部落對數目的概念，他們在一項實驗中發現，派拉哈人只能仿畫有一個、兩個、三個物件的圖案，一旦要求處理四個或更多物件時就會發生錯誤。有些哲學家認為，這是語言決定論目前為止最強烈的證據，這項理論認為理解力建構在語言上，至少就某些方面而言，一旦一件事沒有相對應的詞彙，我們就無法思考。

這一頭牛幾歲v.s.你領到多少薪水
巴比倫人（從伊拉克南部到波斯灣）使用兩種數字書寫系統。一個是楔形文字，包含由尖筆在潮濕的黏土上製成的楔形符號，製成後再烘乾；另一個系統是曲線文字，利用尖筆的另一端製成，為圓形。楔形文字用以表示年代、動物的年紀和應支付的薪水，曲線文字則用來表示已經支付的薪水。

◆密碼系統
前面所提及的象形文字系統只是三種古埃及文字系統的其中之一，另外還有兩種數碼系統（cipheredsystem），世俗體（demotic）與僧侶體（hieratic）。這兩種數碼系統不僅用不同的符號來表示數字一到九，十、百、千的倍數的表示方式也各有不同。僧侶體是目前所知最古老的數碼系統，以非常簡潔的形式表達數字，但使用者也因此必須學習大量的符號。這種數字形式可能有其社會目的：保持數字的「特殊性」以賦予懂得使用的人額外力量，形成一群數學精英分子。在許多文化中，數字與神威和魔力緊密結合，而維護數字的神祕性有助維持神職人員的地位，中世紀時，即使是天主教會也沉浸在這種唯恐失去數字的守護活動之中。其他的數碼系統包含埃及古語、印度的婆羅門語、希伯來語、敘利亞語和早期的阿拉伯語。數碼系統通常使用其字母系統的文字來呈現數碼。

◆各就各位
數字的位值制就像我們現代的系統，以一個數字的位置來呈現意義。位值制的發展來自乘法系統，像是中國字省略代表10、100等等的符號，僅依賴數碼的位置來呈現它的意義（如1,400用「一千四」表達；1,004用「一千零四」表達），這種方式只在表示零的符號存在時才有效，否則就無法分辨24、204和240，此問題巴比倫人便曾遭遇過。
位值制使非常大的數變得更容易呈現，因為不需要新的名稱或符號即可為一個更大的位數命名。（例如：五位數的單位為「萬」，而六位數的單位則以「十萬」記載即可。）
目前所知最早的位值制可以追溯至西元前三千至兩千年的蘇美文明，但它是一個同時使用十進位與六十進位的複雜系統。直到西元前三世紀為止都沒有「零」的概念出現，此時數字的概念依然不明確而且容易造成混淆；即便是在「零」的概念出現之後，我們也從未將它用在數字的末端表示，所以只能從上下文推敲得知（比如說究竟指的是2還是200）。這有時容易有時則不然，「我有7個兒子」的陳述句不可能被解釋為「我有70個兒子」；但若是「有『3』個敵軍正在接近中」的陳述句便有模稜兩可的危險，也許是300人的陣容？或許還能應付，但若是一支3,000人、30,000人甚至300,000人的大陣仗，那就非同小可了。
古希臘時期使用的兩種數字系統中，在雅典最為盛行的系統使用希臘字母呈現數字，從頭開始以α（alpha）代表一，β（beta）代表二，如此直到九，接著以個別字母代表十的倍數與百的倍數，如此一來，任何一個三位數字可以用三個字母表示，任何一個四位數字能用四個字母表示，其餘同理。由於此字母系統沒有足夠的字母（編按：希臘字母只有24個，但若要三個位數都有對應的符號，需要27個字母才夠用），因此有些數字是以希臘人不再用於書寫的古體字母呈現。對超過999的數字，他們會在字母的左方加上一個打勾的符號代表「×1,000」，或者用字母μ（mu）代表「×10,000」。為了區別文字跟數字，他們會在數字上畫上一條槓。當時有人認為大數目並不存在，因為它們無法以字母表示，於是希臘哲學家便想出書寫極大數字的方法，不是因為需要它們，而是為了反駁這種言論。
馬雅人使用一套完整的位值制系統，並靈活應用其中的零。目前所知最早使用在馬雅碑文上的零是在西元前三十六年。十六世紀時，馬雅文化被來到猶加敦（Yucatan）的西班牙侵略者發現，連同馬雅文明一起被徹底摧毀。馬雅數字系統以5和20為基底，基而非10，所以使用上仍有限制。最的完早美位值制系統是印度人的傑作，他們使用「點」來表示空著的位置（零）。

蘇美人和巴比倫人
美索不達米亞的肥沃地區位於底格里斯河和幼發拉底河之間，一直以來都被稱為文明的搖籃。現在的伊拉克便是由蘇美人開墾的，他們在西元前四世紀中葉就已建立可能是世界上最早的文明，在西元前兩千三百年入侵的阿卡德人（Akkadians）大致上也是採用蘇美文化。西元前兩千年至西元前六百年左右，亞摩利人（Amorite）在這裡建立了巴比倫王國。之後，來自波斯的入侵者接管兩河流域，他們同樣地承續這個地區的文化。

◆印度－阿拉伯數字的誕生
我們現在所使用的數字系統已存在了一段漫長的時間，它發源自超過兩千年前的印度河流域文明，最早出現在佛教的碑文上。
此數字系統使用一條短線來代表「一」，這很符合直覺，很多文化有相同的想法也不令人意外。不過筆畫的方向不同：西方世界沿用印度－阿拉伯的垂直筆畫「1」，而中國人使用水平筆畫「一」。然而，我們現在用來代表2、3、4等的彎曲線條又是怎麼來的呢？
最早的1、4和6至少可追溯至西元前三世紀，於印度阿育王（Ashoka）的碑文（記錄了西元前三○四至二三二年間，以佛教為國教的印度孔雀王朝統治者─阿育王的思想與功績）上被發現。西元前二世紀的娜娜吉哈（NanaGhat）碑文為數字表加上2、7和9，而3和5則最早被發現於西元一或二世紀時的納西克（Nasik）洞穴中。西元六五○年，生活在美索不達米亞的景教（Nestorian）主教西弗勒斯‧薩布喀（Severus Sebokht）所寫的文本中提到九個印度數字：
在婆羅門（Brahmi）的文字系統中，分別在「二」的兩道水平筆畫之間加上一條對角線，以及在「三」的右邊加上一條垂直線，就變成我們現在所用的「2」跟「3」了。婆羅門數字是數碼系統的一員，10、20和30等也有個別的對應符號。

◆向西移動
阿拉伯作家伊本‧格弗第（Ibnal-Qifti,1172-1242）在他的著作《科學家列傳》（Chronology of the Scholars）中，記載了西元七六六年時，一位印度學者如何將一本書帶到伊拉克巴格達，交給阿拔斯王朝（Abbasid）的第二任哈里發（caliph，伊斯蘭世界對統治者的稱呼）統治者阿布‧加法爾‧阿卜杜拉‧伊本‧穆罕默德‧阿爾‧曼蘇爾（Abu Ja'far Abdallah ibn Muhammad al- Mansur,712-75）。這本書有可能是印度數學家婆羅摩笈多（Brahmagupta）在西元六二八年所寫的《婆羅門曆數全書》。這位哈里發建立了智慧宮（the House of Wisdom），以此教育機構引領著中東知識的發展，並將印度文和古典希臘文本翻譯成阿拉伯文，《婆羅門曆數全書》就是在這裡被翻譯成阿拉伯文，印度數字也向西方世界邁出第一步。

印度數字之所以能遍及中東，是智慧宮的兩本重要文本的功勞：波斯數學家阿爾‧花拉子米（Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi）的《印度數碼算術》（On the Calculation with Hindu Numerals, 825）和阿拉伯數學家阿爾‧肯迪（Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Kindi）的《印度數碼的用途》（On the Use of the Indian Numerals, 830）。
印度數碼以計算「角的數量」的方式來描繪數碼一至九，我們很容易就可看出印度數碼是如何加入線段以變換數字來呼應這個系統─數數看，我們現在所使用的數碼以直線形式呈現時，有幾個角？
零也大約是在此時被採用的；零，當然，沒有角度。一群阿拉伯學者設計了我們現在所使用的完整位值制系統，放棄印度數學家使用的十的倍數數碼。
不久之後，煥然一新的印度－阿拉伯數字系統從西班牙（當時的西班牙是由阿拉伯人統治）傳入歐洲大陸。第一本提及印度－阿拉伯數碼系統的歐洲著作在西元九七六年於西班牙出版。

婆羅摩笈多（Brahmagupta,589-668）印度的數學家暨天文學家婆羅摩笈多生於北印度拉賈斯坦邦（Rajasthan）的賓模爾（Bhinmal），他在烏闍衍那（Ujjain）掌管一間天文觀測所，且出版了兩本關於數學和天文學的著作。他的著作介紹零和零在算術中的使用規則，並提供解出一元二次方程式的方法，這個方法我們至今仍使用著：
婆羅摩笈多所著之《婆羅門曆數全書》（Brahmasphuta-siddhanta）是用來解釋智慧宮裡面天文學所需要用到的印度算術。

阿爾‧花拉子米（Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi,約780-850）
波斯數學家和天文學家阿爾‧花拉子米生於花拉子（Khwarizm），即今烏茲別克共和國的希瓦（Khiva），曾經在巴格達的智慧宮工作，他將印度文本翻譯成阿拉伯文，並負責將印度數字帶進阿拉伯數學中，他的作品後來被翻成拉丁文，歐洲不僅因此獲得數字和算術方法，也出現了源自他的名字的「演算法」（algorithm）一詞。當阿爾‧花拉子米的作品被翻譯時，人們確信是他發明了他所提倡的新數字系統，此套系統被稱為「阿拉伯數字計數法」（algorism），而那些使用印度－阿拉伯位值系統的人稱為演算學家（algorists），他們與使用羅馬數字系統和算盤計算的算盤學家（abacists）有所衝突。

◆羅馬出局
在印度－阿拉伯記號傳入西班牙時，想當然爾，歐洲已經有了一套他們使用的數字系統。但西方的羅馬帝國垮台後（一般記為西元四七六年），羅馬文化只能逐漸走向凋零。
羅馬數字系統當時已經超過五百年未受到挑戰，雖然印度－阿拉伯數字在十世紀時的一些創作和抄本著作中有被提及，但事實上，它們有一段長時間一直未進入主流之列。
隨著帝國的擴張和漸趨成熟，羅馬人需要越來越大的數字，他們發展出一套算數系統，把數字寫在方格中，或寫在方格的三個邊上，以表示該數字應乘以1,000或100,000。然而這個系統的使用並不一致，Ｖ可能意指5,000或500,000。
羅馬數碼基本上無法用來算數，這導致它最終被取代。
為了會計記帳、課稅、人口普查等目的，羅馬會計人員總是使用算盤。印度－阿拉伯數碼在算數上有很大的優勢，因為位值制使得算術變得非常容易。此外廣為周知的費布那西（Fibonacci,Leonardo Pisano, 1170- 1250）和帕喬利（Luca Pacioli），對印度－阿拉伯系統的普及也功不可沒，商人和會計人員尤其受惠。即使如此，歐洲也是經過好幾世紀的努力，才徹底轉向使用印度－阿拉伯系統（請見〈不能說的數字〉，頁54）。
雖然羅馬數碼在算數上的功能被取代，但在許多情況下，它們仍然被使用著，舉例來說，時鐘或電影和電視節目的版權日期便常以羅馬數字呈現。

對無物大驚小怪
零的概念看起來好像與計算對立，由於零意謂著在計算上缺席，所以一開始並不需要自己的符號，但是當位值制出現時，它就需要一個符號，最初是用一個空格或一個點來表示沒有數字占用該位置，目前所知，最早使用這種方式的是西元前一五○○年的巴比倫人。
馬雅人也有零的記號，是用貝殼紋路呈現：
這種方式的使用起碼始於西元前三十六年，但是在古代數學世界中毫無影響力。第一個把零的概念用在實際用途上的民族可能來自中美洲。
現代世界的零來自印度，目前所知最早提及零的文本，是西元四五八年時耆那教徒（Jain）的《路卡米哈嘎》（Lokavibhaaga）。婆羅摩笈多在他的《婆羅門曆數全書》中寫下零的運算規則，例如任何數乘上零都得到零，這是目前所知第一本將零視為一個具有自身特性數值的著作。
阿爾‧花拉子米將零傳入阿拉伯世界。現在所使用的「零」（zero）的名稱，便是源自阿拉伯文「zephirum」一字，並以威尼斯文的形式呈現（是義大利威尼斯所用的語言），威尼斯數學家帕喬利（Luca Pacioli, 1445-1517）出版了歐洲第一本正確使用零的著作。雖然歷史學家在西元前一年與西元元年間沒有畫定「西元零年」，但基本上天文學家都認為應該要有。

異國來的字母
在羅馬人能夠閱讀和書寫文字前，就已經會書寫數字了。他們使用的數字來自於統治羅馬大約一百五十年的伊特拉士坎人（Etruscans），後來他們征服了說希臘語的庫邁城（city of Cumae）後，開始學習讀和寫，並以伊特拉士坎人使用的數字來創造羅馬字母。

◆尚未結束
如果你認為我們的數字已經停止演化，那可就錯了。在上個世紀，我們已經看到斜線零的發展與隨後的衰退，這個記號是為了和電腦資料輸出的大寫字母「O」做區分；我們也看到LED數字顯示器上，以直線的形式呈現的數字。電腦可判讀的條碼組也已經發展成能在支票和其他金融文件上使用，數字的呈現再也不限於原本的書寫體。
此外，我們已發展出一種新的記號方式，可用來書寫大到不可思議的天文數字，我們的祖先是無法想像這些數字的（見第24至31頁）。

紀年銘
紀年銘（chronograms），指的是併入羅馬數碼的詞組，通常用於墓碑和書籍，藉由挑出某些特定字母並重新排列，便能揭示出一個日期，例如「My Day Is Closed In Immorality」這個句子是紀念英國女王伊莉莎白一世在一六○三年去世，其字首大寫字母可排成MDCIII，即對應到羅馬數字的1603；一個由古斯塔夫‧阿道夫（Gustavus Adolphus）在一六二七年鑄造的硬幣，上面寫著拉丁文銘文「ChrIstVs DuX ergo trIVMphVs」（Christ the Leader , therefore triumphant：基督是主，所以得勝），將大寫字母重新排列，便是代表MDCXVVVII或1627的紀年銘。

◆數字與進位
以十為基底的系統稱為十進位系統，但事實上，無論哪種進位系統，都是以「10」為進位單位。有了進位的概念之後，從此計算的對象不再限於單個數量，而開始能夠以群體數量作為計算單位。以位值制系統而言，這意指我們重覆使用「10」來表示「我們擁有的最大數字加上一」，在二進位系統中，我們熟知的2以10表示；在五進位系統中，5以10表示；所以對我們而言，「9+1」代表10。

◆手指與拇指
我們之所以會發展出十進位系統，大概是因為絕大多數的人都有十根手指頭，儘管我們會覺得用手指算數似乎是很自然而然的，但事實上各個時期的不同文化延伸出各自獨特的算數方式。手指可以伸直或彎曲來表示數字；關節也可以像手指一樣被用來計算；一隻手掌可以用來代表十的倍數或其他單位，而有時候也許需要與人互動，例如需要互相握住手指或拉住手指。
在歐洲和中東曾使用一套高度發展系統，比一般手指算數更複雜，它有點像手語，可以計算到10,000，甚至可以利用手指彎出不同形狀來表示更大的數字。這套系統顯然使用了一段很長的時間，七世紀的英國作家比德（Venerable Bede, 672-735）描述過此系統，十六世紀的波斯辭典《Farhnagi Djihangiri》也曾提及。

語言數字
這是一種新的數字書寫系統，由海梅‧雷丁（Jaime Redin）在一九九三年發展出來，是特別為了輸入計算機或其他機器所設計，稱為「語言數字」，其目的是使數字的輸入在使用上比位值制更直覺、快速，例如數字4,060,087將寫成4M60T87，輸入計算機時按4-M（百萬）、60-T（千）及87；數字4,000,007寫成4M7，以4-M-7的方式輸入。

◆回到基底
儘管人類很容易依賴手指作為計算工具，但並非所有的文化都使用十進位系統，實際上，我們使用的某些奇怪的重量和測量單位便是來自不同進位系統的文化。
以2為基底的二進位，用於電腦，因為它可以表明兩種狀態：真或假，或者電荷的正或負。但除了電腦之外，也有人類使用二進位系統，一些澳洲的古老部落使用的計算系統定義數字名稱的方式與2和1有關；在米爾恩灣（Milne Bay）的格帕帕窪部落（Gapapaiwa），sago代表1，rua代表2，然後rua ma sago表示「3」，其字面上的意義為「2和1」，rua ma rua 即「2和2」代表「4」，rua ma rua ma sago（2和2和1）表示「5」。這套方法雖然使用數字1和2而非0和1，相異於電腦的二進位，但仍只有兩個數字。
火地島（Tierradel Fuego）和部分南美洲的原住民使用以三和四為基底的進位系統。以四為基底的系統之所以出現，是因為四為大部分人看著一排物件時，不需計算即可直覺領會的最大數，正因如此，「五根柵欄」的記錄方法廣泛使用在計算各種事物上，從原野上的羊群到在監獄裡待的天數。
「四的法則」的背後突顯許多文化的奇特性，舉例而言，在古羅馬，前四個小孩以「適當」的名字命名，如馬克斯（Marcus：火星，代表戰神）或朱利斯（Julius：凱薩的名字）；但是，接續的四個小孩會以序數命名：昆圖斯（Quintus：第五）、賽克斯（Sixtus：第六）、塞普蒂默斯（Septimus：第七）等等。
少數文化使用五進位（以五為基底）的系統，包含莎拉薇肯（Saraveca）語言的使用者以及伊隴格人（Ilongot）；前者是南美阿拉瓦肯語系（Arawakan）的語言，後者為來自菲律賓和印尼的獵人頭部落。印加人利用五進位系統來命名的數字可上至10,000，顯而易見地，五進位是從計算一隻手的手指逐步發展起來的。
其他常見的系統有六進位（以六為基底）、十二進位（以十二為基底）和二十進位（以二十為基底），十二進位與二十進位通常與其他基底並用，這個複雜的系統將小的基底用於小的數目（到五或十），超過特定數目大小時就使用大的基底。在法語中二十進位制的殘跡依然存在，例如「四個二十」（quatre-vingts）代表八十。十二進位制也在我們身旁處處留下遺跡，如廣泛使用的打與籮（144=12×12）、十二吋為一呎，以及一年有十二個月。
古代蘇美人有六十進位系統，以六十為基底。要記得六十個不同數字的名稱顯然是相當困難的，所以比較小的數字使用十進位。我們至今仍沿用巴比倫人的一分鐘為六十秒和一小時為六十分鐘的觀念，當我們寫下二小時十八分三十八秒時，就是在使用他們的六十進位制系統。他們使用六十為基底的原因已不可考，但是，六十有很多個因數（可以整除六十的數），因此成為一個好用的基底。阿拉伯數學家在天文學上使用六十進位，通常在計算困難時會轉換到十進位，在發表最終計算結果時再回到六十進位。

東方的手指交易法
幾個世紀以來，利用手指的神祕買賣交易系統在阿爾及利亞和中國廣泛流傳，兩位參與者必須知道他們所協商的大概價錢，不論是個位、十位、百位或千位。協商者之一將握住對方的食指來表示1或10或100，食指加上中指表示2，諸如此類，抓住整隻手的手指則代表5。不同的地區使用不同的方法來表示5以上的數，例如：
有些地區，6是以緊握兩次代表3的手指來表達，其他地方則以張開拇指和小指，其餘指頭握於掌心來表示。協商的雙方通常會將手藏在袖子或長袍內，這樣旁觀者就無法看見議定的價格。

◆一部電腦到底有幾根手指頭？
當基底超過十，我們需要加入其他符號來代表十進位系統所沒有的數字。電腦運算不是使用二進位就是十六進位（以16=24為底），為了表示十六進位中9到10（等於十進位中的16到23）之間的數，我們使用英文字母來表示。
所有10以上的數字顯然都隨進位方式而具有不同意義，也因此有混淆之虞，如十六進位的「11」意指十進位的「17」，電腦用書常在十六進位數字前標上#，所以，「#11」就是17（而23會以#17表示）。
除了電腦計算採用十六進位，一些奇怪的進位方式也躡手躡腳地重回我們的日常生活中，就像我們有時會以「打」為單位買雞蛋，我們也會買512MB的記憶卡或有8G容量的iPod，十進位制絕對尚未主宰我們的生活。

卡通計算
卡通人物常被畫成有三根手指和一根拇指，我們是否會變得越來越像辛普森（Homer Simpson）？我們可能沒那麼黃，也比較瘦，而且有較多的頭髮，卻有可能像他一樣使用八進位的計算方式，如此一來，「10」個甜甜圈將只有八個。