數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解

不知道數學怎麼用？
杜．索托伊用故事告訴你！

• 模式捷徑可從過去推得未來，
高斯從舊有資料找出失蹤小行星的位置。
• 圖示捷徑讓數據一目了然，
南丁格爾藉此說服英國女王改善軍方醫療設備。
• 機率捷徑能有效管理風險，
股神索普用來少量投資賺取超額報酬。

數學是一種高層次的思維能力，當中充滿捷徑，
可以解決我們生活中遇到的複雜問題，
文明也因數學這項強力工具而加速發展。

矛盾的是，好用的捷徑通常需要花費很長的時間才能發現。
有趣的是，我們在找到捷徑前，就已激發出許多奇思妙想。
正是這種捷徑的誘惑，使得杜．索托伊成為牛津大學數學家。

為了尋找生活中的其他捷徑，他跨領域深入研究許多主題，
涵括商場創業、藝術、自然學科和經濟學，
並和大師進行對話，打聽解決問題的捷徑。

我們可能無法依靠電腦或AI來解決生活中的所有問題，
但我們可以學習如何聰明思考，省下時間與金錢。

杜．索托伊（Marcus du Sautoy）
牛津大學西蒙義公共科學教育講座教授、數學教授、牛津皇家學會的成員。2009年倫敦皇家學會麥可．法拉第獎得主。由於他對科學的貢獻，在2010年獲得大英帝國勛章。善於解說數字使用歷史、涵義等基本概念，著有《桑老師的瘋狂數學課》、《知識邊緣》、《創造力代碼》等書。

畢馨云／譯者
清華大學數學系畢業，曾任科普書編輯十多年，現為自由譯者及業餘交響樂團團員。譯有《邏輯的藝術》、《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《數字裡的真相》等書。

啟程

1 模式捷徑
休息站：音樂
2 計算捷徑
休息站：新創公司
3 語言捷徑
休息站：記憶力
4 幾何捷徑
休息站：路途
5 圖示捷徑
休息站：經濟學
6 微分捷徑
休息站：藝術
7 資料捷徑
休息站：心理治療
8 機率捷徑
休息站：理財
9 網路捷徑
休息站：神經科學
10 不可能的捷徑

抵達
致謝

【內文試閱】
第3章　語言捷徑
在我以數學家自居時，我所發現的最強大捷徑之一是，找到合適的用語來討論問題。很多時候，我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題，只要能找到另一種說法，把這道謎題轉化成新的用語，答案就會突然明朗許多。換個語言，我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中，辨認出奇特的相關性。
人生的大部分時間都是一場遊戲，但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲，可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候，發現了最令我興奮的啟示之一：把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間――也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。
除非找到合適的語言來描述，否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在，「湧現」（從組成成分產生的性質）的概念就是一例。舉例來說，如果講水的個別分子H2O，很難描述水的溼潤性質。
儘管科學似乎暗示，你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式，但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言，就不容易了解總體經濟學；即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因，但使用個別財貨本身的語言，仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念，實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。
找到不同的措辭來談論情緒狀態，可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」（這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號），你大可改說「悲傷與我同在」，於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯（William James）所寫的：「我這代人最重要的發現是，人能藉著轉變心智態度來改變生活。」
然而語言的力量不單單影響個人，語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面，而民族國家的概念既是從語言中變出來的，也是由地理或一群人變出來的。
轉換語言有時意味著，某些能用某種語言清楚表達的想法，改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分，所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅（Heinrich Heine）寫說，覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚；在德文中，松樹是陽性名詞，棕櫚是陰性名詞，但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。
有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」，但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起，變成「sa voiture et sa voiture」（他的車和他的車），因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中，你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞，但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過，模式（pattern）對我來說是重要的概念，然而當我嘗試把pattern這個字翻譯成法文時，卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。
我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡，老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上，接受布朗施維克公爵資助的高斯，差點就選擇讀語文學（研究語言史的學門），而不是數學。
我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜，以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能，所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課：法語、德語、拉丁語，甚至開始收聽BBC的俄語廣播課程。只不過，我在外語學習方面不像高斯那麼有天分，這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎，我變得非常沮喪。
此時貝爾森先生給我一本書，書名叫做《數學的語言》（The Language of Mathematics），我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言，但他也知道，我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。
我在這本書裡發現，數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事，對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀，數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙，你需要的不是德語、俄語或英語，而是數學。
《數學的語言》還告訴我，數學不只是一種語言，而是許多種語言，它很擅長創作詞典，可把一種語言轉換成另一種，好讓捷徑在新的語言中出現。
數學史上不時會有類似的輝煌時刻。

※休息站：記憶力
雖然成功學會了數學的語言，但我一直很沮喪，因為我學不好那些更變幻莫測的語言，比如我為了成為間諜而努力學習的法語或俄語。儘管高斯也擱下對語言的熱愛，轉向數學生涯，但晚年還是重拾學習新語言的挑戰，例如梵文和俄語。經過兩年的學習，六十四歲的高斯已經把俄語學得很好，能夠讀普希金（Alexander Pushkin）的原著。
以高斯為榜樣，我決定嘗試再學一次俄文。我遇到一個問題是如何記住奇怪的新單字。我的記憶捷徑是看出模式，但假如沒有模式怎麼辦？我想知道其他人有沒有利用什麼替代的捷徑。如果要找人指點，還有誰比記憶大師兼語言學習新企業憶術家（Memrise）的創辦人庫克（Ed Cooke）更適合呢？
要獲得記憶大師的稱號，必須能夠在一小時內記住一個1,000位數字，在下一個小時，你面臨的挑戰是記住十副紙牌的順序，最後你有兩分鐘的時間記住一副牌。這聽起來的確像是相當無用的技能，但我知道如果你能設法學到這個技能，那麼記住一串俄文單字應該是小事一件。
考慮到1,000位數字是隨機挑選的，尋找模式的策略就不會有太大幫助。那麼庫克應付1,000個隨機挑選數字的捷徑是什麼？原來是某個叫做記憶宮殿（memory palace）的方法。
庫克說：「捷徑是把難記住的事情轉換成比較容易記住的替代物。我們會記得感官上的、視覺上的、可觸碰到的、喚起情感的事物。所以你想要做的就是，轉化成像這類會徵召初步腦力的東西。」
「若要記住1,000位的數字，我的做法是在空間周圍安排許多影像，讓每個影像都代表一個數字。如果我想回憶像7,831,809,720這樣的數字，那通常是很難記住的，因為它們只是數字，聽起來幾乎一樣，沒有什麼意義。但在我的腦袋裡，78是曾在學校霸凌我，讓我穿著四角褲用一條腿倒吊在樓梯間的傢伙，這是非常難忘的一刻，比數字78難忘多了。」
每一個兩位數字都變成一個人物。套用庫克的私人語言，31是「雪鐵龍廣告中身穿令人難忘的黃色內衣」的超模克勞蒂亞．雪佛（Claudia Schiffer）。為影像多添一點顏色很重要。「影像愈是鮮活怪誕，記憶力就愈好。」數字80是臉部非常好笑的朋友。97是板球選手弗林托夫（Andrew Flintoff）。20是庫克的父親。
庫克說：「我在十八歲左右存放了這本數字詞典，所以我十幾歲時的想像、我的心情、我在雜誌上讀到的美麗人物、我的家人、我最好的朋友，都以不變的形式記錄下來。」
儘管庫克說得沒錯，但在大多數人眼裡，數字看起來的模樣就像是數字。身為漫遊數字世界的數學家，我知道一旦投入愈來愈多時間，就會開始懂得每個數字的特徵，它們開始有自己的個性。
據說印度大數學家拉馬努金了解每一個數字，彷彿私交很好。跟他一起做研究的哈代，有一次到醫院探望他，一時想不出要說什麼話撫慰這位數學家，就回憶說他坐的計程車車牌號碼相當無趣：1729。拉馬努金聽了立刻回答：「不會啊，哈代，這個數字非常有意思，它是可用兩種寫法表示成兩個立方數之和的最小整數。」1729 = 123 + 13 = 93 + 103。但大部分的人跟數字之間沒有這種親密的情感，穿著黃色內衣的超模可能會比立方和更難忘記。
不過，庫克是怎麼使用這組人物記住1,000位數字的呢？關鍵是把那些人物放在空間中。「如果你想做出非常非常長串的資訊鏈，就需要一個讓你投射影像的支柱，而我們剛好有超凡的空間記憶潛能。哺乳動物已經發展出不可思議的導航能力，有辦法記住全部的空間。即使自己不這麼認為，我們還是非常擅長這件事，在複雜的建築物裡四處走動幾分鐘之後，我們就能記住它的布局。因此，我們可以用這種強大的技能，背負起代表數字的影像。這種捷徑就叫做建造記憶宮殿。」
記憶宮殿不僅是故事，也是穿越空間的故事，而後者是關鍵。「跟單純的故事比起來，記憶宮殿的優勢在於故事比較容易中斷。你不只要利用純粹的空間位置，也要讓敘述合乎邏輯，這會給你帶來額外的負擔，因此會稍微多費一些想像力。」
幾年前我看過庫克建造這樣的宮殿。我們都參加了在蛇形藝廊（Serpentine Gallery）舉辦的「記憶力馬拉松」（Memory Marathon），這項週末活動是為了探索記憶概念，我記得他帶現場觀眾繞著整個藝廊走了一圈，利用他看到的景物創造出一座記憶宮殿，讓觀眾用來記住歷任每位美國總統的名字。每個名字都轉換成非常鮮活的意象，例如亞當斯（John Adams）總統變成亞當與夏娃在馬桶上保持平衡的意象，john這個英文字也是「廁所」的俚語。接著他把這些意象放在園區的各處，觀眾如果要記住總統，只須在腦袋中重走一遍（我們的大腦似乎非常擅長做這件事），然後用途中各地點放置的搞笑意象來回想起總統。
運用空間記憶似乎是記住長串事物的絕佳捷徑，不管是數字、總統還是任何一個你想努力牢記的清單，都能適用。空間記憶是很棒的方案，因為靠硬背的方式死記，難度似乎會升高得愈來愈快，前10個還算容易，接下來的10個比較難了，超過100個之後幾乎就不可能記得住。但正如庫克向我解釋的：「空間記憶無比特別的一點是，它的難度似乎呈線性升高。我可以在一分鐘左右記住一副牌，如果又檢查一下，也許就需要兩分鐘，問題是它是線性升高的，所以我可以在一個小時記住30副牌。」
當我指出，對我的讀者來說也許記住一副牌並不是他們迫切需要獲得的技能，庫克也熱心強調紙牌並不重要。無論你想記住什麼，這個策略都有效。他向我解釋說，他在沒有做筆記的情況下演講時，也會使用同樣的策略；把演講內容變成到你熟悉的地方去，例如你的房子，然後把你想說的重點放在每個房間裡。在你講述時，你會發現只要走過自己在腦海中建起的記憶宮殿，記住演講內容就容易多了。
「在記憶宮殿中，隨著我們踏上旅程，動作場景會不斷前進，正因為有了激發新記憶的新情境，就減少了記憶互相干擾的危險。」