工程數學SOP閃通指南

◎◎◎SOP閃通教材◎◎◎
老師在解題時，會把題目的標準解題流程（SOP）記在頭腦裡，
依此標準解題流程（SOP）解給學生看，可是並不是每個學生看完老師教的標準解題流程（SOP）後，就能記住此標準解題流程（SOP）。
本書是將每個題型的標準解題流程（SOP）寫下來，學生只要將題目的數值代入標準解題流程(SOP)內，就可以把該題目解答出來。
等學生學會了後，此SOP就可以丟掉了。

林振義

現職
明新科技大學電機系副教授
榮獲教育部105年度師鐸獎
第10屆（2022年）星雲教育獎

學歷
屏東高中
交通大學控制(電機)工程學系
交通大學計算機工程研究所碩士
交通大學資訊工程研究所博士

經歷
工業技術研究院機械所
中山科學研究院
國立空中大學學科委員

我利用「SOP閃通教學法」教我們系上的工程數學課，學生普遍反應良好。學生在期末課程問卷上，寫著「這堂課真的幫了大家不少，以為工數很難，但在老師的教導下，工數就跟小學的數學一樣的簡單，這真的都是拜老師所賜的呀！」、「老師很厲害，把一科很不容易學會的科目，一一講解的很詳細。」、「老師謝謝您，讓我重新愛上數學。」、「高三那年我放棄了數學，自從上您的課後，開始有了變化，而且還有教學影片可以在家裡複習，重點是上課也很有趣。」、「一直以來我的數學是學過就忘，難得有老師可以讓我學之後記得那麼久的。」、「老師讓工程數學變得非常簡單。」我們的前工學院李院長（目前任教於中山大學）說：「林老師很不容易，將一科很硬的科目，教得讓學生滿意度那麼高。」
我也因而得到了：教育部105年師鐸獎、明新科大100、104、107、109學年度教學績優教師、技職教育熱血老師、私校楷模獎等。我的上課講義《微分方程式》、《拉普拉斯轉換》，分別申請上明新科大104、105年度教師創新教學計畫，並獲選為優秀作品。
很多理工商科的基本計算題，如：微積分、工程數學、電路學等，有些人看到題目後，就能很快地將它解答出來，這是因為很多題目的解題方法，都有一個標準的解題流程〔註〕（SOP，Standard sOlving Procedure），只要將題目的數據帶入標準解題流程內，就可以很容易地將該題解答出來。
現在很多老師都將這標準解題流程記在頭腦內，依此流程解題給學生看。但並不是每個學生看完老師的解題後，都能將此解題流程記在腦子裡。
SOP閃通教學法是：若能將此解題流程寫在黑板上，一步一步的引導學生將此題目解答出來，學生可同時用耳朵聽（老師）解題步驟、用眼睛看（黑板）解題步驟，則可加深學生的印象，學生只要按圖施工，就可以解出相類似的題目來。
SOP閃通教學法的目的就是要閃通，是將老師記在頭腦內的解題步驟用筆寫出來，幫助學生快速的學習，就如同：初學游泳者使用浮板、初學下棋者使用棋譜、初學太極拳先練太極十八式一樣，這些浮板、棋譜、固定的太極招式都是為了幫助初學者快速的學會游泳、下棋和太極拳，等學生學會了後，浮板、棋譜、固定的太極招式就可以丟掉了。SOP閃通教學法也是一樣，學會後SOP就可以丟掉了，之後再依照學生的需求，做一些變化題。
有些初學者的學習需要藉由浮板、棋譜、SOP等工具的輔助，有些人則不需要，完全是依據每個人的學習狀況而定，但最後需要藉由工具輔助的學生，和不需要工具輔助的學生都學會了，這就叫做「因材施教」。
我身邊有一些同事、朋友，甚至IEET教學委員們直覺上覺得數學怎能SOP？老師們會把解題步驟（SOP）記在頭腦內，依此解題步驟（SOP）教學生解題，我只是把解題步驟（SOP）寫下來，幫助學生學習，但我的經驗告訴我，對我的學生而言，寫下SOP的教學方式會比SOP記在頭腦內的教學方式好很多。
我這本書就是依據此原則所寫出來的。我利用此法寫一系列的數學套書，包含有：
1. 第一次學微積分就上手
2. 第一次學工程數學就上手(1)―微積分與微分方程式
3. 第一次學工程數學就上手(2)―拉氏轉換與傅立葉
4. 第一次學工程數學就上手(3)―線性代數
5. 第一次學工程數學就上手(4)―向量分析與偏微分方程式
6. 第一次學工程數學就上手(5)―複變數
7. 第一次學機率就上手
8. 工程數學SOP閃通指南（為《第一次學工程數學就上手》(1)～(5)之精華合集）
9. 大學學測數學滿級分（I）（II）
它們的寫作方式都是盡量將所有的原理或公式的用法流程寫出來，讓讀者知道如何使用此原理或公式，幫助讀者學會一門艱難的數學。
最後，非常感謝五南圖書股份有限公司對此書的肯定，此書才得以出版。本書雖然一再校正，但錯誤在所難免，尚祈各界不吝指教。

第一篇　微積分
第一章　微分
1.1 微分的定義
1.2 微分的方法
第二章　積分
2.1 積分的定義
2.2 積分的方法

第二篇　微分方程式
第一章　基本觀念
第二章　一階常微分方程式
2.1 變數分離法
2.2 正合微分方程式
2.3 積分因子
2.4 一階齊次微分方程式
2.5 含一次式之非齊次微分方程式
2.6 一階線性微分方程式
2.7 白努力方程式
第三章　常係數微分方程式
3.1 二階常係數微分方程式的齊次解
3.2 二階常係數非齊次線性方程式
3.3 二階常係數非齊次線性方程式的特例
3.4 參數變換法
3.5 含初值的二階常係數微分方程式
3.6 高階微分方程式
3.7 常係數線性微分方程組
3.8 電路學的應用 87
第四章　其他類型微分方程式
4.1 Euler-Cauchy微分方程式
4.2 冪級數法
附錄 證明用參數變換法求特解（求yp）

第三篇　拉普拉斯轉換
第一章　拉普拉斯轉換
1.1 拉氏轉換的定義
1.2 線性性質
1.3 第一移位性質：s軸的移位
1.4 微分的拉氏轉換
1.5 積分的拉氏轉換
1.6 拉氏轉換的微分
1.7 拉氏轉換的積分（或除以t的拉氏轉換）
第二章　反拉氏轉換
2.1 反拉氏轉換
2.2 分母是二次式的反拉氏轉換
2.3 用部分分式法解反拉氏轉換
2.4 旋捲―求二函數相乘的反拉氏轉換
第三章　其他類型的拉氏轉換
3.1 t軸之移位（第二移位性質）
3.2 週期函數的拉氏轉換
3.3 利用拉氏轉換法來解線性常係數微分方程式
3.4 拉氏轉換在電路學的應用
3.5 拉氏轉換在積分上的應用

第四篇　傅立葉級數
第一章　傅立葉級數
1.1 週期函數
1.2 週期為2的傅立葉級數
1.3 偶函數與奇函數的傅立葉級數
1.4 任意週期函數之傅立葉級數
1.5 半週期展開（或稱為半程展開）
1.6 複數傅立葉級數
1.7 傅立葉積分
附錄
附錄一：證明週期是2的期週函數，其傅立葉級數
附錄二：證明週期是2L的週期函數，其傅立葉級數
附錄三：證明f(x)的傅立葉積分
附錄四：證明複數傅立葉級數

第五篇　線性代數
第一章　線性方程式
1.1 線性方程組
1.2 求線性方程組的解
1.3 線性齊次方程組
第二章　矩陣
2.1 矩陣的基礎
2.2 列階梯形矩陣
2.3 反矩陣
2.4 矩陣與線性方程組
第三章　行列式 1
3.1 行列式性質
3.2 行列式降階
3.3 反矩陣
3.4 克拉瑪法則
第四章　向量與向量空間
4.1 向量的基本觀念
4.2 線性組合
第五章　維度與基底
5.1 線性相依與線性獨立
5.2 維度與基底
第六章 線性映射、特徵值與特徵向量
6.1 線性映射基礎
6.2 特徵值與特徵向量

第六篇　向量分析
第一章　向量的基礎
1.1 向量的基礎
1.2 向量的夾角
第二章　向量的內積與外積
2.1 向量內積
2.2 向量的外積
2.3 向量的內外積的應用
第三章　向量的梯度、散度、旋度
3.1 向量微分運算子
3.2 向量的梯度
3.3 向量的散度
3.4 向量的旋度
3.5 向量微分運算子的性質
第四章　向量積分
4.1 向量的一般積分
4.2 向量的線積分
4.3 向量的面積分
4.4 向量的體積分

第七篇　偏微分方程式
第一章　偏微分方程式
1.1 簡介
1.2 由實際問題所產生的偏微分方程式
1.3 變數分離法

第八篇　複變數
第一章　複數
1.1 複數
1.2 複數的極坐標
第二章　複數函數
2.1 複數函數簡介
2.2 常見的複數函數
2.3 複數函數的反函數
第三章　複數微分與柯西―黎曼方程式
3.1 極限
3.2 連續性
3.3 複數函數的導數
3.4 複數基本函數的微分
第四章　複數積分
4.1 封閉曲線與連通區域
4.2 複數的不定積分
4.3 複數的線積分
第五章　柯西定理與柯西積分公式
5.1 柯西積分定理
5.2 柯西積分公式
第六章　無窮級數
6.1 數列
6.2 級數
6.3 冪級數
6.4 泰勒級數與馬克勞林級數
6.5 奇點與零點
6.6 羅倫級數
第七章　留數
7.1 留數定理
7.2 以留數積分法解實數定積分