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本書共分五章。第一章數學思想概述；第二章兩大“基石”思想；第三章兩大“支柱”思想；第四章兩大“主梁”思想；第五章數學思想的運用與領悟。本書可作為高等師范院校教育學院、教師進修學院數學專業及國家級、省級中學數學骨干教師培訓班的教材或教學參考書。
作者簡介
沈文選，男，1948年生。湖南師范大學數學與計算機科學學院教授、碩士生導師，湖南師范大學數學奧林匹克研究所所長，中國數學奧林匹克高級教練，湖南數學奧林匹克培訓的主要組織者與授課者(湖南中學生已獲得IH0金牌10塊，銀牌2塊)。已出版《競賽數學教程》、《奧林匹克數學中的代數問題》、《奧林匹克數學中的幾何問題》、《奧林匹克數學中的組合問題》等數學競賽著作10余部，在《數學教育學報》等雜志上發表《奧林匹克數學研究與數學奧林匹克教育》、《奧林匹克中的幾何問題研究與幾何教學探討》等數學競賽論文40余篇。多年來為全國初、高中數學聯賽，數學冬令營提供試題20余道，是1997年全國高中數學聯賽、2002年全國初中數學聯賽、2003年第18屆數學冬令營等命題組成員。長期從事數學奧林匹克教育研究、中學數學教育研究、初等數學研究，并出版學術著作近20部，發表論文200余篇。任全國初等數學研究協調組成員、全國高師教育研究會常務理事、全國教育數學研究會常務理事、《數學教育學報》編委、湖南省高校數學教育研究會理事長、湖南省數學會中學數學專業委員會副主任、《現代中學數學》常務副主編等。
目次
第一章 數學思想概述
1.1 對數學思想重要性的認識漸趨深刻
1.1.1 經驗的總結
1.1.2 現實的需要
1.1.3 認知的實現
1.2 大力加強對數學思想的探討
1.2.1 思想和數學思想
1.2.2 數學思想與科學思想
1.2.3 歷史上數學思想的幾次重大突破與中學數學教材內容的階段性轉折
1.2.4 數學思想中的基本數學思想
1.2.5 思路、思緒、思考和意識(觀念)
1.2.6 數學思想與數學方法的關系
思考題
第二章 兩大“基石""思想
2.1 符號化與變元表示思想
2.1.1 換元思想
2.1.2 方程思想
2.1.3 參數思想
2.2 集合思想
2.2.1 類分思想(并集思想)
2.2.2 求同思想(交集思想)
2.2.3 互補思想(補集思想)
思考題
思考題參考解答
第三章 兩大“支柱""思想
3.1 對應思想
3.1.1 映射思想
3.1.2 函數思想
3.1.3 變換思想
3.1.4 對稱思想
3.1.5 遞歸思想
3.1.6 數形結合思想
3.2 公理化與結構思想
3.2.1 公理化思想
3.2.2 演繹思想
3.2.3 日納思想
3.2.4 類比思想
3.2.5 結構思想
3.2.6 極限思想
3.2.7 模型思想
思考題
思考題參考解答
第四章 兩大“主梁”思想
4.1 系統與統計思想(一)
4.1.1 系統思想
4.1.2 整體思想
4.1.3 分解組合思想
4.1.4 運動變化思想
4.1.5 最優化思想
4.2 系統與統計思想(二)
4.2.1 統計思想
4.2.2 隨機思想
4.2.3 統計調查思想
4.2.4 假設檢驗思想
4.2.5 量化思想
4.3 化歸與辯證思想(一)
4.3.1 化歸思想
4.3.2 縱向化歸
4.3.3 橫向化歸
4.3.4 同向化歸
4.3.5 逆向化歸
4.4 化歸與辯證思想(二)
4.4.1 辯證思想
4.4.2 對立統一思想
4.4.3 互變思想
4.4.4 轉換思想
4.4.5 一分為二思想
思考題
思考題參考解答
第五章 數學思想的運用與領悟
5.1 集合問題
5.1.1 學習集合應注意的幾個問題——符號化與變元表示思想的運用
5.1.2 集合的圖形表示及應用——數形結合思想的運用
5.1.3 關注集合元素的特征——符號化與變元表示思想的運用
5.1.4 重視空集的特殊性和重要作用——一分為二思想的運用
5.1.5 反面求解——補集思想的運用
5.2 簡易邏輯與推理問題
5.2.1 邏輯聯結詞與真假命題的集合語言表示——結構思想的運用
5.2.2 用集合觀點處理充要條件問題——集合思想的運用
5.2.3 對數學歸納法的深入理解——遞歸思想的運用
5.3 函數問題
5.3.1 映射、函數等概念的正確把握——特殊與一般轉換思想的運用
5.3.2 函數的單調區間及單調性的應用——模型思想的運用
5.3.3 指數函數、對數函數的單調性及應用——類分思想的運用
5.3.4 冪函數、指數函數、對數函數的參變量漫談——運動變化思想的運用
5.3.5 從反函數的定義談起——對應思想的運用
5.3.6 函數奇偶性的判定與應用——符號化變元表示思想的運用
5.3.7 關于對稱問題的求解——對稱思想的運用
5.4 三角問題
5.4.1 對角的概念推廣與符號表示的深刻認識——符號化與變元表示思想的運用
5.4.2 弧度制及應用——對應思想的運用
5.4.3 誘導公式的新概括——符號化與變元表示思想的運用
5.4.4 函數y=Asin(舛+驢)的圖象——變換思想的運用
5.4.5 單位圓的應用——數形結合思想的運用
5.4.6 三角函數的性質及應用——特殊與一般轉換思想的運用
5.4.7 角的代換與變換——化歸思想的運用
5.4.8 三角式余弦定理——特殊與一般轉換思想的運用
5.4.9 弦函數的“平方差”公式——整體思想的運用
5.4.10 三角中的三倍角公式——變換思想的運用
5.4.11 余弦定理的簡單應用——轉換思想的運用
5.5 立體幾何問題
5.5.1 平面的屬性與描述——符號化與變元表示思想的運用
5.5.2 公理3的三個推論的證明——公理化思想的運用
5.5.3 空間直線位置關系的識別與證明——類分思想的運用
5.5.4 線面垂直判定定理的證明——轉化思想的運用
5.5.5 直線和平面所成的角及其求解——轉化思想的運用
5.5.6 平面與平面平行、垂直的判定與性質——歸納思想的運用
5.5.7 二面角的求解方法——歸納思想的運用
5.5.8 立體幾何求解題的規范化表述——最優化思想的運用
5.5.9 立體幾何中的反證法證明——補集思想的運用
5.5.10 平面圖形的翻折問題及求解——運動變化思想的運用
5.5.11 異面直線上兩點問的距離公式——化歸思想的運用
5.5.12 底面為矩形的棱錐的一個美妙結論——化歸思想的運用
5.5.13 平行六面體的妙用——模型思想的運用
5.5.14 立體幾何中的幾何變換——運動變化思想的運用
5.5.15 一種重要的思維方式——類比思想的運用
5.5.16 一種有效的處理途徑一轉換思想的運用
5.5.17 一種常用的求解方法——分解組合思想的運用
5.5.18 射影法與解析法的配合運用——轉化思想的運用
5.5.19 三類角的珠聯璧合關系——系統思想的運用
5.5.20 立體幾何中的“定比分點”公式——特殊向一般轉換思想的運用
5.6 平面解析幾何問題
5.6.1 解析法證題淺談——數形結合思想的運用
5.6.2 定比分點公式淺析——公式所包含的多種思想
5.6.3 直線及直線方程的建立——數形結合思想的運用
5.6.4 簡單的線性規劃及應用——最優化思想的運用
5.6.5 直線系方程——參數思想的運用
5.6.6 直線與圓有公共點的運用——參數思想的運用
5.6.7 圓的各種形式的方程及應用——符號化與變元表示思想的運用
5.6.8 談圓的直徑式方程——分解組合思想的運用
5.6.9 動點到兩定點距離的和差最值——類比思想的運用
5.6.10 圓、橢圓、雙曲線的定義問題——縱向化歸思想的運用
5.6.11 利用圓錐曲線的定義解題——化歸思想的運用
5.6.12 一串優美的定值結論——特殊與一般轉化思想的運用
5.6.13 圓錐曲線焦半徑公式的應用——模型思想的運用
5.6.14 過圓錐曲線上一點的切線方程問題——變換思想的運用
5.6.15 軌跡方程的求法——交集思想的運用
5.6.16 處理圓錐曲線問題應注意的一個方面——對稱思想的運月
5.6.17 設而不求——整體思想的運用
5.6.18 簡化計算的妙方——對稱思想的運用
5.6.19 一道拋物線問題的求解——結構思想的運用
5.6.20 圓錐曲線的光學性質及應用——結構思想的運用
5.7 排列組合與二項式定理問題
5.7.1 兩個計數原理的理解與運用——類分思想的運用
5.7.2 從集合的角度看排列組合——集合思想的運用
5.7.3 二項式定理的應用舉例——模型思想的運用
5.8 概率問題
5.8.1 對事件及概率的辨析理解——類比思想的運用
5.8.2 從集合角度看事件與概率——集合思想的運用
5.9 向量問題
5.9.1 向量的概念及加減運算——模型思想的運用
5.9.2 平面向量的基本定理及應用——符號化與變元表示思想的運用
5.9.3 平面向量的數量積及應用——類比與轉化思想的運用
5.9.4 空間向量在立體幾何中的應用——數形結合思想的運用
5.10 數列問題
5.10.1 關于數列一般概念的理解——結構思想的運用
5.10.2 對等差數列的深化認識——結構思想的運用
5.10.3 用函數觀點處理等差數列問題——函數思想的運用
5.10.4 對等比數列的深刻認識——類比與結構思想的運用
5.10.5 等差、等比中項的巧用——化歸思想的運用
5.10.6 可化為等差、等比數列的數列問題——模型思想的運用
5.10.7 數列求和的若干方法——化歸思想的運用
5.11 不等式問題
5.11.1 由實數的性質到不等式的性質——化歸思想的運用
5.11.2 實系數一元不等式的統一解法——函數思想的運用
5.11.3 兩個不等式的一般形式——模型思想的運用
5.11.4 二元與三元均值不等式的巧用——轉換思想的運用
5.11.5 構作函數證明不等式——函數思想的運用
5.11.6 運用放縮法證明不等式——化歸思想的運用
5.12 復數問題
5.12.1 對復數概念的深刻認識——對應思想的運用
5.12.2 復數豐富多彩的性質——變換思想的運用
5.12.3 處理復數問題的一條有效途徑——方程思想的運用
5.12.4 借圖速解復數題——數形結合思想的運用
5.12.5 復數幫了三角的忙——橫向化歸思想的運用
5.12.6 復數在求解代數、平面幾何問題中的應用——模向化歸思想的運用
5.12.7 復數與解析幾何問題——化歸思想的運用
思考題
思考題參考解答
參考文獻
作者出版的相關書籍與發表的相關文章目錄
編后語
1.1 對數學思想重要性的認識漸趨深刻
1.1.1 經驗的總結
1.1.2 現實的需要
1.1.3 認知的實現
1.2 大力加強對數學思想的探討
1.2.1 思想和數學思想
1.2.2 數學思想與科學思想
1.2.3 歷史上數學思想的幾次重大突破與中學數學教材內容的階段性轉折
1.2.4 數學思想中的基本數學思想
1.2.5 思路、思緒、思考和意識(觀念)
1.2.6 數學思想與數學方法的關系
思考題
第二章 兩大“基石""思想
2.1 符號化與變元表示思想
2.1.1 換元思想
2.1.2 方程思想
2.1.3 參數思想
2.2 集合思想
2.2.1 類分思想(并集思想)
2.2.2 求同思想(交集思想)
2.2.3 互補思想(補集思想)
思考題
思考題參考解答
第三章 兩大“支柱""思想
3.1 對應思想
3.1.1 映射思想
3.1.2 函數思想
3.1.3 變換思想
3.1.4 對稱思想
3.1.5 遞歸思想
3.1.6 數形結合思想
3.2 公理化與結構思想
3.2.1 公理化思想
3.2.2 演繹思想
3.2.3 日納思想
3.2.4 類比思想
3.2.5 結構思想
3.2.6 極限思想
3.2.7 模型思想
思考題
思考題參考解答
第四章 兩大“主梁”思想
4.1 系統與統計思想(一)
4.1.1 系統思想
4.1.2 整體思想
4.1.3 分解組合思想
4.1.4 運動變化思想
4.1.5 最優化思想
4.2 系統與統計思想(二)
4.2.1 統計思想
4.2.2 隨機思想
4.2.3 統計調查思想
4.2.4 假設檢驗思想
4.2.5 量化思想
4.3 化歸與辯證思想(一)
4.3.1 化歸思想
4.3.2 縱向化歸
4.3.3 橫向化歸
4.3.4 同向化歸
4.3.5 逆向化歸
4.4 化歸與辯證思想(二)
4.4.1 辯證思想
4.4.2 對立統一思想
4.4.3 互變思想
4.4.4 轉換思想
4.4.5 一分為二思想
思考題
思考題參考解答
第五章 數學思想的運用與領悟
5.1 集合問題
5.1.1 學習集合應注意的幾個問題——符號化與變元表示思想的運用
5.1.2 集合的圖形表示及應用——數形結合思想的運用
5.1.3 關注集合元素的特征——符號化與變元表示思想的運用
5.1.4 重視空集的特殊性和重要作用——一分為二思想的運用
5.1.5 反面求解——補集思想的運用
5.2 簡易邏輯與推理問題
5.2.1 邏輯聯結詞與真假命題的集合語言表示——結構思想的運用
5.2.2 用集合觀點處理充要條件問題——集合思想的運用
5.2.3 對數學歸納法的深入理解——遞歸思想的運用
5.3 函數問題
5.3.1 映射、函數等概念的正確把握——特殊與一般轉換思想的運用
5.3.2 函數的單調區間及單調性的應用——模型思想的運用
5.3.3 指數函數、對數函數的單調性及應用——類分思想的運用
5.3.4 冪函數、指數函數、對數函數的參變量漫談——運動變化思想的運用
5.3.5 從反函數的定義談起——對應思想的運用
5.3.6 函數奇偶性的判定與應用——符號化變元表示思想的運用
5.3.7 關于對稱問題的求解——對稱思想的運用
5.4 三角問題
5.4.1 對角的概念推廣與符號表示的深刻認識——符號化與變元表示思想的運用
5.4.2 弧度制及應用——對應思想的運用
5.4.3 誘導公式的新概括——符號化與變元表示思想的運用
5.4.4 函數y=Asin(舛+驢)的圖象——變換思想的運用
5.4.5 單位圓的應用——數形結合思想的運用
5.4.6 三角函數的性質及應用——特殊與一般轉換思想的運用
5.4.7 角的代換與變換——化歸思想的運用
5.4.8 三角式余弦定理——特殊與一般轉換思想的運用
5.4.9 弦函數的“平方差”公式——整體思想的運用
5.4.10 三角中的三倍角公式——變換思想的運用
5.4.11 余弦定理的簡單應用——轉換思想的運用
5.5 立體幾何問題
5.5.1 平面的屬性與描述——符號化與變元表示思想的運用
5.5.2 公理3的三個推論的證明——公理化思想的運用
5.5.3 空間直線位置關系的識別與證明——類分思想的運用
5.5.4 線面垂直判定定理的證明——轉化思想的運用
5.5.5 直線和平面所成的角及其求解——轉化思想的運用
5.5.6 平面與平面平行、垂直的判定與性質——歸納思想的運用
5.5.7 二面角的求解方法——歸納思想的運用
5.5.8 立體幾何求解題的規范化表述——最優化思想的運用
5.5.9 立體幾何中的反證法證明——補集思想的運用
5.5.10 平面圖形的翻折問題及求解——運動變化思想的運用
5.5.11 異面直線上兩點問的距離公式——化歸思想的運用
5.5.12 底面為矩形的棱錐的一個美妙結論——化歸思想的運用
5.5.13 平行六面體的妙用——模型思想的運用
5.5.14 立體幾何中的幾何變換——運動變化思想的運用
5.5.15 一種重要的思維方式——類比思想的運用
5.5.16 一種有效的處理途徑一轉換思想的運用
5.5.17 一種常用的求解方法——分解組合思想的運用
5.5.18 射影法與解析法的配合運用——轉化思想的運用
5.5.19 三類角的珠聯璧合關系——系統思想的運用
5.5.20 立體幾何中的“定比分點”公式——特殊向一般轉換思想的運用
5.6 平面解析幾何問題
5.6.1 解析法證題淺談——數形結合思想的運用
5.6.2 定比分點公式淺析——公式所包含的多種思想
5.6.3 直線及直線方程的建立——數形結合思想的運用
5.6.4 簡單的線性規劃及應用——最優化思想的運用
5.6.5 直線系方程——參數思想的運用
5.6.6 直線與圓有公共點的運用——參數思想的運用
5.6.7 圓的各種形式的方程及應用——符號化與變元表示思想的運用
5.6.8 談圓的直徑式方程——分解組合思想的運用
5.6.9 動點到兩定點距離的和差最值——類比思想的運用
5.6.10 圓、橢圓、雙曲線的定義問題——縱向化歸思想的運用
5.6.11 利用圓錐曲線的定義解題——化歸思想的運用
5.6.12 一串優美的定值結論——特殊與一般轉化思想的運用
5.6.13 圓錐曲線焦半徑公式的應用——模型思想的運用
5.6.14 過圓錐曲線上一點的切線方程問題——變換思想的運用
5.6.15 軌跡方程的求法——交集思想的運用
5.6.16 處理圓錐曲線問題應注意的一個方面——對稱思想的運月
5.6.17 設而不求——整體思想的運用
5.6.18 簡化計算的妙方——對稱思想的運用
5.6.19 一道拋物線問題的求解——結構思想的運用
5.6.20 圓錐曲線的光學性質及應用——結構思想的運用
5.7 排列組合與二項式定理問題
5.7.1 兩個計數原理的理解與運用——類分思想的運用
5.7.2 從集合的角度看排列組合——集合思想的運用
5.7.3 二項式定理的應用舉例——模型思想的運用
5.8 概率問題
5.8.1 對事件及概率的辨析理解——類比思想的運用
5.8.2 從集合角度看事件與概率——集合思想的運用
5.9 向量問題
5.9.1 向量的概念及加減運算——模型思想的運用
5.9.2 平面向量的基本定理及應用——符號化與變元表示思想的運用
5.9.3 平面向量的數量積及應用——類比與轉化思想的運用
5.9.4 空間向量在立體幾何中的應用——數形結合思想的運用
5.10 數列問題
5.10.1 關于數列一般概念的理解——結構思想的運用
5.10.2 對等差數列的深化認識——結構思想的運用
5.10.3 用函數觀點處理等差數列問題——函數思想的運用
5.10.4 對等比數列的深刻認識——類比與結構思想的運用
5.10.5 等差、等比中項的巧用——化歸思想的運用
5.10.6 可化為等差、等比數列的數列問題——模型思想的運用
5.10.7 數列求和的若干方法——化歸思想的運用
5.11 不等式問題
5.11.1 由實數的性質到不等式的性質——化歸思想的運用
5.11.2 實系數一元不等式的統一解法——函數思想的運用
5.11.3 兩個不等式的一般形式——模型思想的運用
5.11.4 二元與三元均值不等式的巧用——轉換思想的運用
5.11.5 構作函數證明不等式——函數思想的運用
5.11.6 運用放縮法證明不等式——化歸思想的運用
5.12 復數問題
5.12.1 對復數概念的深刻認識——對應思想的運用
5.12.2 復數豐富多彩的性質——變換思想的運用
5.12.3 處理復數問題的一條有效途徑——方程思想的運用
5.12.4 借圖速解復數題——數形結合思想的運用
5.12.5 復數幫了三角的忙——橫向化歸思想的運用
5.12.6 復數在求解代數、平面幾何問題中的應用——模向化歸思想的運用
5.12.7 復數與解析幾何問題——化歸思想的運用
思考題
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