復變函數教程（簡體書）

本書主要介紹了復變函數的微積分理論，并強調從實分析的某些內容過渡到復分析的過程中可能出現的新現象及遇到的障礙。前7章為復變函數課程的基本內容，包括復數、復變函數（微積分理論）、全純函數、調和函數、解析函數、奇點理論和亞純函數等內容。第8章和第9章介紹三個重要的特殊函數：Γ函數、Riemann ζ函數、Weierstrass p函數。
本書適合高校數學專業師生及相關專業科研人員閱讀參考。

前言
第1章 復數
1.1 復數域
1.1.1 代數運算
1.1.2 共軛復數
1.1.3 絕對值（模）
1.2 復數的幾何表示
1.2.1 復平面
1.2.2 三角表示
1.2.3 二項方程
1.2.4 球面表示
1.3 復平面的拓撲
1.3.1 拓撲概念
1.3.2 連通性
1.3.3 完備性
1.3.4 簡單曲線
1.4 復數的指數表示
1.4.1 復數級數
1.4.2 指數表示
1.5 線性變換
1.5.1 線性變換轉化條件
1.5.2 分式線性變換
1.5.3 交比
1.5.4 對稱性
1.5.5圓族
第2章 復變函數
2.1 連續函數
2.1.1 函數概念
2.1.2 函數極限
2.1.3 連續性
2.2 導數
2.2.1 導數概念
2.2.2 可導必要條件
2.2.3 高階導數
2.3 微分與全微分
2.3.1 微分
2.3.2 全微分
2.3.3 可導充分條件
2.4 可積函數
2.4.1 積分概念
2.4.2 積分性質
2.5 一致收斂性
2.5.1 函數序列
2.5.2 函數級數
2.6 正合微分
2.6.1 積分與路徑無關條件
2.6.2 不定積分
2.7 多值復變函數
2.7.1 輻角函數
2.7.2 對數函數
2.7.3 反三角函數
第3章 全純函數
3.1 全純與共形
3.1.1 全純概念
3.1.2 共形映射
3.2 Cauchy定理
3.2.1 單連通區域情形
3.2.2 多連通區域情形
3.3 Cauchy公式
3.3.1 積分表示
3.3.2 導數公式
3.4 導數公式的應用
3.4.1 全純與偏導數
3.4.2 Cauchy不等式
3.5Cauchy定理一般形式
3.5.1 單連通性
3.5.2 同調閉鏈
3.6全純與閉路徑積分
3.6.1 Morera定理
3.6.2 Weierstrass定理
第4章 調和函數
4.1 Laplace方程
4.2 調和與全純
4.2.1 共軛微分
4.2.2 共軛調和函數
4.3 均值性質
4.4 Poisson公式
第5章 解析函數
5.1 冪級數
5.2 全純與解析
5.3 解析函數的零點
5.3.1 唯一性定理
5.3.2 零點孤立性
5.4 解析延拓
5.4.1 延拓概念
5.4.2 冪級數延拓法
5.4.3 對稱原理
第6章 奇點理論
6.1 Laurent理論
6.1.1 Laurent級數
6.1.2 Laurent展式
6.2 奇點分類及特徵
6.2.1 孤立奇點
6.2.2 極點特徵
6.2.3 本性奇點
6.2.4 無窮遠點
6.3 留數計算
6.3.1 留數定理
6.3.2 極點留數
6.4 求定積分
6.4.1 三角函數有理式積分
6.4.2 有理函數無窮積分
6.4.3 含三角函數無窮積分
第7章 亞純函數
7.1 輻角原理
7.1.1 亞純概念
7.1.2 輻角原理
7.1.3 Rouche定理
7.2 極值原理
7.2.1 開映射
7.2.2 極值原理
7.3 Mittag-Leftler定理
7.4 Poisson-Jensen公式
7.4.1 Poisson-Jensen公式
7.4.2 Jensen公式
第8章 整函數
8.1 無窮乘積
8.1.1 收斂與發散
8.1.2 絕對收斂
8.1.3 一致收斂
8.2 整函數因子分解
8.2.1 因子分解問題
8.2.2 因子分解定理
8.3 Γ函數
8.3.1 Gauss公式
8.3.2 典型乘積表示
8.3.3 Γ函數特徵
8.4 Riemann ζ函數
8.4.1 Euler乘積
8.4.2 延拓公式
8.4.3 函數方程
第9章 橢圓函數
9.1 模與格
9.1.1 模
9.1.2 格
9.2 周期函數
9.2.1 周期概念
9.2.2 周期平行四邊形
9.2.3 四個基本定理
9.3 Weierstrass理論
9.3.1 Weierstrass p函數
9.3.2 Weierstrass σ函數
9.3.3 微分方程
9.4 自守函數
參考文獻
符號索引
名詞索引